第五章第一讲定积分的概念与性质

内容提要与教学要求

内容提要

1. 定积分的概念（从面积和路程问题引入）；

2. 定积分的几何意义；

3. 定积分的基本性质。

教学要求

1. 理解定积分的概念及"分割→近似→求和→取极限"的思想；

2. 了解定积分的几何意义（正、负面积）；

3. 掌握定积分的基本性质。

一、引入：曲边梯形的面积

设 $y = f(x) \ge 0$ 在 $[a, b]$ 上连续，求由 $y = f(x)$、$x = a$、$x = b$、$x$ 轴围成的曲边梯形面积。

▲ 曲线 $y = 0.3x^2 + 0.5$ 与 $x$ 轴围成的曲边梯形（蓝色阴影）

问题：这个面积不是规则图形，无法用公式直接算。怎么办？

核心思想：分割 → 近似 → 求和 → 取极限

① 分割：将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$

② 近似：在每个小区间上用矩形近似，面积 $\approx f(\xi_i) \cdot \Delta x_i$

③ 求和：$S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$（黎曼和）

④ 取极限：$A = \displaystyle\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$（$\lambda = \max\{\Delta x_i\}$）

直觉：分得越细，矩形越窄，近似越精确，极限就是精确面积。

📊 黎曼和演示

分割数 $n$： 15

拖动滑块：矩形数越多 → 近似越精确 → 面积值趋于一个确定的数。这就是定积分！

另一个实际问题：变速运动的路程

物体以速度 $v = v(t)$ 做变速直线运动，求从 $t = a$ 到 $t = b$ 的路程 $s$。

若匀速：$s = v \cdot (b-a)$。变速呢？

同样的思路：分割时间 → 每小段近似匀速 → 求和 → 取极限

s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} v(\xi_i) \Delta t_i = \int_a^b v(t)\,dt

面积问题和路程问题本质相同——都是"分割→近似→求和→取极限"。

二、定积分的定义

定义设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，将 $[a, b]$ 任意分成 $n$ 个小区间，$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，任取 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，若极限

\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i

存在且与分法和 $\xi_i$ 的取法无关，则称此极限为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分，记为

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i

其中 $a$ — 积分下限，$b$ — 积分上限，$f(x)$ — 被积函数，$x$ — 积分变量。

定积分存在的条件 & 补充规定

定理若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 一定存在。

补充规定：

① $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$（上下限相同）

② $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$（交换上下限变号）

定积分的值只与 $f$ 和区间 $[a,b]$ 有关，与积分变量用什么字母无关：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$。

三、定积分的几何意义

几何意义：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ = $x$ 轴上方面积 $-$ $x$ 轴下方面积（代数面积，可正可负）。

用定义求定积分（例题）

例利用定义求 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$。

解将 $[0,1]$ 等分成 $n$ 份，$\Delta x = \dfrac{1}{n}$，取 $\xi_i = \dfrac{i}{n}$，

\sum_{i=1}^{n} \xi_i^2 \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

= \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \xrightarrow{n \to \infty} \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

故 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$。

四、定积分的性质

线性性质

性质1（线性）$\displaystyle\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$

性质2（常数提出）$\displaystyle\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$

区间可加性

性质3 不论 $a, b, c$ 的大小次序如何，

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx

▲ 区间可加性：$[a,c]$ 上的面积（蓝）+ $[c,b]$ 上的面积（红）= $[a,b]$ 上的总面积

保序性与估值

性质4（保序性）若 $f(x) \le g(x)$（$x \in [a,b]$），则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$

推论 $\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx$

性质5（估值定理）若 $m \le f(x) \le M$（$x \in [a,b]$），则

m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)

▲ 估值定理：积分值被最小矩形和最大矩形框住

积分中值定理

定理（积分中值定理）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则至少存在 $\xi \in [a, b]$，使得

\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)

几何意义：曲边梯形面积 = 以 $f(\xi)$ 为高、$(b-a)$ 为底的矩形面积。

也就是说，$f(\xi) = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值。

练习

1. 利用定积分的几何意义求 $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$。

解 $y = \sqrt{1-x^2}$ 是单位圆上半部分。$\displaystyle\int_0^1$ 对应第一象限的四分之一圆，面积 $= \dfrac{\pi}{4}$。

2. 比较大小：$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ 与 $\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx$。

解在 $[0,1]$ 上 $x^3 \le x^2$，由保序性 $\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx \le \int_0^1 x^2\,dx$。

3. 估计 $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ 的范围。

解 $0 \le x \le 1$ 时 $e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1$，故 $e^{-1} \le \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \le 1$。

小结

一、定积分的概念

核心思想：分割 → 近似 → 求和 → 取极限。

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$

二、几何意义——代数面积（上方正、下方负）。

三、基本性质

线性性 | 区间可加性 | 保序性 | 估值定理 | 积分中值定理

四、关键公式

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$，$\displaystyle\int_a^b = -\int_b^a$，$\displaystyle\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$