1. 定积分的元素法（微元法）；2. 平面图形的面积；3. 旋转体的体积。
1. 理解微元法的思想；
2. 熟练掌握用定积分求平面图形面积；
3. 熟练掌握用定积分求旋转体体积。
思想：所求量 $Q$ 与区间 $[a,b]$ 有关，在典型小区间 $[x, x+dx]$ 上，$Q$ 的微元为
则总量：
关键步骤：① 确定积分变量和范围 $[a,b]$；② 写出微元 $dQ = f(x)\,dx$；③ 积分。
$y = f(x)$ 与 $y = g(x)$，$x = a$ 到 $x = b$：
例1 求 $y^2 = x$ 与 $x = 1$ 围成的面积。
解 利用对称性：$A = 2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{x}\,dx = 2 \cdot \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\bigg|_0^1 = \dfrac{4}{3}$
例2 求 $y = x^2$ 与 $y = x$ 围成的面积。
解 交点：$x^2 = x \Rightarrow x = 0, 1$。在 $[0,1]$ 上 $x \ge x^2$，
$A = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$
例3 求 $y = e^x$，$y = e^{-x}$，$x = 1$ 围成的面积。
解 交点：$e^x = e^{-x} \Rightarrow x = 0$。在 $[0,1]$ 上 $e^x \ge e^{-x}$，
$A = \displaystyle\int_0^1 (e^x - e^{-x})\,dx = (e^x + e^{-x})\bigg|_0^1 = (e + e^{-1}) - 2 = e + \dfrac{1}{e} - 2$
例4 求 $y = \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。
解 注意 $[0,\pi]$ 上 $\sin x \ge 0$，$[\pi, 2\pi]$ 上 $\sin x \le 0$
$A = \displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx + \int_\pi^{2\pi}(-\sin x)\,dx = 2 + 2 = 4$
曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转：
例5 $y = \sqrt{x}$，$y = 0$，$x = 1$ 围成的图形分别绕 $x$、$y$ 轴旋转。
绕 $x$ 轴：$V_x = \pi\displaystyle\int_0^1 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^1 x\,dx = \dfrac{\pi}{2}$
绕 $y$ 轴：$V_y = 2\pi\displaystyle\int_0^1 x \cdot \sqrt{x}\,dx = 2\pi\int_0^1 x^{\frac{3}{2}}\,dx = 2\pi \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4\pi}{5}$
例6 求由 $y = x^2$ 与 $y = \sqrt{x}$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转的体积。
解 交点 $x=0,1$。$[0,1]$ 上 $\sqrt{x} \ge x^2$
$V = \pi\displaystyle\int_0^1 [(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2]\,dx = \pi\int_0^1 (x - x^4)\,dx = \pi\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{3\pi}{10}$
例7 求圆 $x^2 + y^2 = R^2$ 绕 $x$ 轴旋转所得球体的体积。
解 $V = \pi\displaystyle\int_{-R}^{R}(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(R^2 x - \dfrac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-R}^R = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
参数方程形式：$x = x(t)$，$y = y(t)$（$\alpha \le t \le \beta$）
直角坐标形式：$y = f(x)$（$a \le x \le b$）
例8 求 $y = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 在 $[0, 1]$ 上的弧长。
解 $y' = x^{\frac{1}{2}}$，$s = \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1+x}\,dx = \dfrac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\bigg|_0^1 = \dfrac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$
1. 求 $y = x^3$，$x = 2$，$y = 0$ 围成面积。
答 $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx = 4$
2. 求 $y = x^2$，$x = y^2$ 围成面积。
答 交点 $(0,0),(1,1)$。$A = \displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$
3. $y = 2x - x^2$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $x$ 轴旋转的体积。
答 $V = \pi\displaystyle\int_0^2 (2x-x^2)^2\,dx = \dfrac{16\pi}{15}$
一、微元法——确定积分变量和范围，写出微元 $dQ = f(x)\,dx$，积分得总量。
二、平面图形面积
单曲线：$A = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$；两曲线：$A = \int_a^b |f-g|\,dx$
三、旋转体体积
绕 $x$ 轴：$V_x = \pi\displaystyle\int_a^b f^2\,dx$；绕 $y$ 轴：$V_y = 2\pi\int_a^b x|f|\,dx$
四、弧长：$s = \displaystyle\int_a^b \sqrt{1+f'^2}\,dx$