1. 变上限的定积分（积分上限函数）；
2. 牛顿—莱布尼茨公式（微积分基本定理）。
1. 理解积分上限函数的概念，掌握其求导方法；
2. 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式计算定积分。
上一讲我们知道：连续函数 $f(x)$ 的定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 存在。
问题：用定义（黎曼和取极限）来算定积分太麻烦！有没有简便的计算方法？
思路：如果能找到 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$（即 $F'(x) = f(x)$），计算就简单了。
关键问题：连续函数的原函数一定存在吗？如果存在，怎么找到它？
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，对 $[a, b]$ 上每一个 $x$，积分 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 都有一个确定的值。
因此它是 $x$ 的函数，称为积分上限函数（变上限积分）：
观察：$x$ 增大 → 阴影面积增大 → $\Phi(x)$ 增大。$\Phi(x)$ 就是"面积关于上限的函数"。
定理1 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\Phi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且
意义：连续函数 $f(x)$ 一定有原函数，而且 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 就是它的一个原函数！
例1 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt$
解 直接用定理：$= e^{x^2}$
例2 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \dfrac{\sin t}{t}\,dt$
解 $= \dfrac{\sin x}{x}$（$x \ne 0$）
例3 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^a \cos t^2\,dt$
解 $= \dfrac{d}{dx}\left(-\displaystyle\int_a^x \cos t^2\,dt\right) = -\cos x^2$
（交换上下限变号，再用定理）
若上限是 $x$ 的函数 $\varphi(x)$（$\varphi$ 可导），则：
（链式法则：先把上限代入 $f$，再乘上限的导数）
例4 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} e^{-t}\,dt$
解 $= e^{-x^2} \cdot (x^2)' = 2x \cdot e^{-x^2}$
例5 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{\sin x} \sqrt{1+t^2}\,dt$
解 $= \sqrt{1+\sin^2 x} \cdot \cos x$
若上下限都是 $x$ 的函数，用区间可加性拆分：
例6 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} \sin t\,dt$
解 $= \sin(x^2) \cdot 2x - \sin x \cdot 1 = 2x\sin x^2 - \sin x$
例7 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\int_0^x \sin t\,dt}{x}$
解 这是 $\dfrac{0}{0}$ 型，用洛必塔法则：
$= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(\int_0^x \sin t\,dt)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{1} = 0$
例8 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\int_0^x e^{t^2}\,dt}{x}$
解 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}}{1} = e^0 = 1$
定理2（微积分基本定理） 若 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，则
也记为 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\bigg|_a^b = F(b) - F(a)$
意义：把求定积分（极限运算）转化为求原函数（不定积分）+ 代入上下限，计算大大简化！
直觉理解：$F(x)$ 是"累积面积函数"，从 $a$ 到 $b$ 的面积 = 累积到 $b$ 减去累积到 $a$。
例1 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\bigg|_0^1 = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}$
例2 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = \sin x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1$
例3 $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x\bigg|_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$
例4 $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e^x\bigg|_0^1 = e - 1$
例5 $\displaystyle\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\bigg|_0^4 = \dfrac{2}{3} \cdot 8 = \dfrac{16}{3}$
例6 $\displaystyle\int_0^{\pi} (2\sin x - 3\cos x)\,dx$
解 $= (-2\cos x - 3\sin x)\bigg|_0^{\pi} = (-2\cos\pi - 3\sin\pi) - (-2\cos 0 - 3\sin 0)$
$= (2 - 0) - (-2 - 0) = 4$
例7 $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^2 + 1}{x}\,dx = \int_1^2 \left(x + \dfrac{1}{x}\right)dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + \ln x\right)\bigg|_1^2 = 2 + \ln 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} + \ln 2$
例8 设 $f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 1 \\ x, & 1 < x \le 2 \end{cases}$，求 $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$。
解 利用区间可加性：
1. 求导：$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \cos t\,dt$
答 $3x^2\cos x^3$
2. 计算 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x\,dx$
答 $\tan x\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} = 1$
3. 计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1} |x|\,dx$
答 $\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_0^1 x\,dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$
4. 求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\int_0^x \cos t^2\,dt}{x}$
答 洛必塔：$\dfrac{\cos x^2}{1}\bigg|_{x=0} = 1$
一、积分上限函数
$\Phi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数
核心公式：$\left(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\right)' = f(x)$
推广：$\left(\displaystyle\int_a^{\varphi(x)} f(t)\,dt\right)' = f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$
二、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理：把定积分转化为"求原函数 + 代端点"，是最重要的计算工具。