1. 原函数与不定积分的概念；2. 不定积分的性质；3. 基本积分公式表。
1. 正确理解原函数和不定积分的概念及它们与导数的关系；
2. 熟记基本积分公式和不定积分的性质；
3. 会利用恒等变形和基本公式计算简单的不定积分。
回顾：导数（微分）是已知 $F(x)$ 求 $f(x) = F'(x)$。
新问题：反过来，已知 $f(x)$，能否求出 $F(x)$ 使得 $F'(x) = f(x)$？
实际需求：
① 已知速度 $v(t)$，求路程 $s(t)$；
② 已知边际成本 $C'(x)$，求总成本 $C(x)$；
③ 已知曲线的切线斜率 $y' = f(x)$，求曲线方程 $y$。
定义1 若在区间 $I$ 上 $F'(x) = f(x)$（或 $dF(x) = f(x)\,dx$），则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个原函数。
例1 $(\sin x)' = \cos x$，故 $\sin x$ 是 $\cos x$ 的一个原函数。
例2 $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = x^2$，故 $\dfrac{x^3}{3}$ 是 $x^2$ 的一个原函数。
例3 $(\sin x + 5)' = \cos x$，故 $\sin x + 5$ 也是 $\cos x$ 的原函数。
原函数不唯一！若 $F(x)$ 是原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）都是。
定理 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 的全部原函数为 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）。
几何意义：原函数族是一组形状完全相同、上下平移的曲线。给定一个初始条件（过某点）就能确定唯一一条。
定义2 $f(x)$ 的全部原函数 $F(x) + C$ 称为 $f(x)$ 的不定积分，记为
各部分名称：$\int$ — 积分号，$f(x)$ — 被积函数，$f(x)\,dx$ — 被积表达式，$C$ — 积分常数。
例
$\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$，$\quad\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C$，$\quad\int e^x\,dx = e^x + C$
千万别忘 $+C$！这是不定积分和定积分的区别之一。
方法：对结果求导，看能否还原为被积函数。
例 验证 $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$
验证 $(\arctan x + C)' = \dfrac{1}{1+x^2}$ ✓
蓝色=被积函数 $f(x)$，红色=原函数 $F(x)$。红色曲线的斜率（导数）= 蓝色曲线的值。
性质1 $\displaystyle\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x)$，即 $d\!\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x)\,dx$
性质2 $\displaystyle\int f'(x)\,dx = f(x) + C$，即 $\displaystyle\int df(x) = f(x) + C$
结论：微分运算与积分运算互为逆运算。先积后导还原，先导后积差常数。
性质3（加减）$\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$
性质4（提常数）$\displaystyle\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$（$k \ne 0$）
性质3、4可推广到有限个函数的线性组合。
① $\displaystyle\int x^\alpha\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ （$\alpha \ne -1$）——最常用！
② $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
③ $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$
④ $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ （$a > 0, a \ne 1$）
⑤ $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$ $\qquad$ ⑥ $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
⑦ $\displaystyle\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$ $\qquad$ ⑧ $\displaystyle\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
⑨ $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$
⑩ $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$
记忆：每个公式就是对应的导数公式"反过来写"。
例1 $\displaystyle\int 5x^3\,dx = 5 \cdot \dfrac{x^4}{4} + C = \dfrac{5x^4}{4} + C$
例2 $\displaystyle\int (3x^2 + 5x - 2)\,dx = x^3 + \dfrac{5}{2}x^2 - 2x + C$
例3 $\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{x} + e^x\right)dx = \ln|x| + e^x + C$
例4 $\displaystyle\int (2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C$
例5 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$
技巧：被积函数不在公式表中 → 先恒等变形（展开、分拆、用恒等式）。
例6 $\displaystyle\int \dfrac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}\,dx = \int (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})\,dx = \dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + 2\sqrt{x} + C$
例7 $\displaystyle\int \dfrac{(x+1)^2}{x}\,dx = \int \left(x + 2 + \dfrac{1}{x}\right)dx = \dfrac{x^2}{2} + 2x + \ln|x| + C$
例8 $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \int (\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$
例9 $\displaystyle\int \cos 2x\,dx$
解 $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$，故 $\displaystyle\int \cos 2x\,dx = \dfrac{1}{2}\sin 2x + C$
例10 $\displaystyle\int \sin^2 x\,dx$
解 用降幂公式 $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$
$= \displaystyle\int \dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
例11 $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C$
直觉理解：$F(x)$ 的值 = $f(t)$ 从 $0$ 到 $x$ 的"累积面积"。$f(x) > 0$ 时面积增加（$F$ 递增），$f(x) < 0$ 时面积减少（$F$ 递减）。
这就是为什么 $F'(x) = f(x)$！——这是下一章（定积分）的核心思想。
例12 曲线过点 $(1, 2)$，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求曲线方程。
解 由题意 $y' = 2x$
$y = \displaystyle\int 2x\,dx = x^2 + C$
过 $(1, 2)$：$2 = 1 + C$，$C = 1$，故 $y = x^2 + 1$。
例13 已知 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$，$f(0) = 5$，求 $f(x)$。
解 $f(x) = \displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = x^3 - 2x^2 + x + C$
$f(0) = 5$：$C = 5$，故 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5$。
例14 物体在 $t$ 秒时的速度为 $v(t) = 3t^2 + 2$（米/秒），$t=0$ 时 $s = 0$，求 $s(t)$。
解 $s(t) = \displaystyle\int (3t^2 + 2)\,dt = t^3 + 2t + C$，$s(0)=0 \Rightarrow C=0$，故 $s = t^3 + 2t$。
1. $\displaystyle\int (2e^x + \dfrac{3}{x})\,dx$
答 $2e^x + 3\ln|x| + C$
2. $\displaystyle\int \dfrac{x^2 - 1}{x+1}\,dx$
答 $\displaystyle\int (x-1)\,dx = \dfrac{x^2}{2} - x + C$
3. $\displaystyle\int \cos^2 x\,dx$（提示：降幂公式）
答 $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
4. 已知 $f''(x) = 6x$，$f'(0) = 1$，$f(0) = 2$，求 $f(x)$。
答 $f'(x) = 3x^2 + 1$，$f(x) = x^3 + x + 2$
一、原函数——$F'(x) = f(x)$ 则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数；不唯一，差任意常数 $C$。
二、不定积分——$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$（全部原函数，必须 $+C$）
三、性质——积分与微分互逆；线性性（加减拆分、常数提出）。
四、基本积分公式——10个核心公式（幂、指、对、三角、反三角），全由导数反推。
五、计算技巧——恒等变形：先化简再用公式（展开分拆、降幂、部分分式）。
六、应用——由 $f'(x)$ 和初始条件确定唯一的 $f(x)$。