1. 分部积分公式的推导；2. 分部积分法的几种使用模式；3. 换元与分部的混合使用。
熟练掌握分部积分法，特别要牢记选 $u$ 和 $dv$ 的几种使用模式。
有些积分用换元法也无法解决，例如 $\displaystyle\int x e^x\,dx$。
$xe^x$ 是两个不同类型函数的乘积。能否利用乘积求导法则"反过来"？
$(uv)' = u'v + uv'$，即 $uv' = (uv)' - u'v$
两边积分：$\displaystyle\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$
这就是分部积分公式。
适用场景：$\int u\,dv$ 难算，但经过分部后 $\int v\,du$ 变简单了。
口诀：反 对 幂 指 三
反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数
原则：$u$ 求导后变简单，$dv$ 容易积分。
选择不当会越算越复杂！例如 $\int xe^x\,dx$ 中若选 $u=e^x$，$dv=x\,dx$，则 $\int v\,du = \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ 更难了。
选 $u = x^n$（幂），$dv = e^x\,dx$（指数）——分部后幂次降低。
例1 $\displaystyle\int xe^x\,dx$
解 $u = x$，$dv = e^x dx$；$du = dx$，$v = e^x$
$= xe^x - \displaystyle\int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$
例2 $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$（分部两次）
解 第一次：$u=x^2$，$dv=e^x dx$
$= x^2 e^x - 2\displaystyle\int xe^x\,dx$（还需再分部一次）
$= x^2 e^x - 2[(x-1)e^x] + C = (x^2-2x+2)e^x + C$
例3 $\displaystyle\int xe^{-2x}\,dx$
解 $u=x$，$dv=e^{-2x}dx$，$v=-\dfrac{1}{2}e^{-2x}$
$= -\dfrac{x}{2}e^{-2x} + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int e^{-2x}\,dx = -\dfrac{x}{2}e^{-2x} - \dfrac{1}{4}e^{-2x} + C$
$= -\dfrac{2x+1}{4}e^{-2x} + C$
选 $u = x^n$（幂），$dv = \sin x\,dx$ 或 $\cos x\,dx$（三角）
例4 $\displaystyle\int x\cos x\,dx$
解 $u=x$，$dv=\cos x\,dx$，$v=\sin x$
$= x\sin x - \displaystyle\int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$
例5 $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$（分部两次）
解 $= -x^2\cos x + 2\displaystyle\int x\cos x\,dx$
$= -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) + C$
$= (2-x^2)\cos x + 2x\sin x + C$
例6 $\displaystyle\int x\sin 2x\,dx$
解 $u=x$，$dv=\sin 2x\,dx$，$v=-\dfrac{1}{2}\cos 2x$
$= -\dfrac{x}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \cos 2x\,dx = -\dfrac{x}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$
选 $u = \ln x$（对数优先于幂！），$dv = x^n\,dx$
例7 $\displaystyle\int \ln x\,dx$
解 $u=\ln x$，$dv=dx$；$du=\dfrac{dx}{x}$，$v=x$
$= x\ln x - \displaystyle\int x \cdot \dfrac{dx}{x} = x\ln x - x + C = x(\ln x - 1) + C$
例8 $\displaystyle\int x\ln x\,dx$
解 $u=\ln x$，$dv=x\,dx$，$v=\dfrac{x^2}{2}$
$= \dfrac{x^2}{2}\ln x - \displaystyle\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{dx}{x} = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C = \dfrac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C$
例9 $\displaystyle\int x^2\ln x\,dx$
解 $u=\ln x$，$dv=x^2\,dx$，$v=\dfrac{x^3}{3}$
$= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{1}{3}\displaystyle\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C$
例10 $\displaystyle\int (\ln x)^2\,dx$
解 $u=(\ln x)^2$，$dv=dx$
$= x(\ln x)^2 - 2\displaystyle\int \ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2x(\ln x - 1) + C = x[(\ln x)^2 - 2\ln x + 2] + C$
指数和三角"地位相当"，选谁做 $u$ 都行，但需要分部两次后解方程。
例11 $I = \displaystyle\int e^x\sin x\,dx$
解 第一次：$u=\sin x$，$dv=e^x dx$
$I = e^x\sin x - \displaystyle\int e^x\cos x\,dx$
第二次：$u=\cos x$，$dv=e^x dx$
$= e^x\sin x - [e^x\cos x + \displaystyle\int e^x\sin x\,dx]$
$= e^x\sin x - e^x\cos x - I$
$\therefore 2I = e^x(\sin x - \cos x)$，$\boxed{I = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C}$
例12 $\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$
解 类似递推：$J = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + e^x\sin x - J$
$\therefore \boxed{J = \dfrac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C}$
例13 $\displaystyle\int e^{2x}\sin 3x\,dx$
解 分部两次后：$I = \dfrac{e^{2x}}{2}\sin 3x - \dfrac{3e^{2x}}{4}\cos 3x - \dfrac{9}{4}I$
$\dfrac{13}{4}I = \dfrac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{4}$，$I = \dfrac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$
规律：$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx = \dfrac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$
选 $u$ = 反三角函数（"反"在口诀最前面！）
例14 $\displaystyle\int \arctan x\,dx$
解 $u=\arctan x$，$dv=dx$；$du=\dfrac{dx}{1+x^2}$，$v=x$
$= x\arctan x - \displaystyle\int \dfrac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
例15 $\displaystyle\int \arcsin x\,dx$
解 $u=\arcsin x$，$dv=dx$；$du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，$v=x$
$= x\arcsin x - \displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
例16 $\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}\,dx$
解 先换元：令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$
$= 2\displaystyle\int te^t\,dt$（再分部！$u=t$，$dv=e^t dt$）
$= 2(te^t - e^t) + C = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + C$
例17 $\displaystyle\int x\arctan x\,dx$
解 $u=\arctan x$，$dv=x\,dx$，$v=\dfrac{x^2}{2}$
$= \dfrac{x^2}{2}\arctan x - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{x^2}{1+x^2}\,dx = \dfrac{x^2}{2}\arctan x - \dfrac{1}{2}\int\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx$
$= \dfrac{x^2}{2}\arctan x - \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\arctan x + C = \dfrac{x^2+1}{2}\arctan x - \dfrac{x}{2} + C$
1. $\displaystyle\int x^3 e^x\,dx$
答 分部三次：$(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$
2. $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$
答 $(x^2-2)\sin x + 2x\cos x + C$
3. $\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx$
答 $u=\ln x$，$dv=x^{-2}dx$，$= -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + C = -\dfrac{\ln x + 1}{x} + C$
4. $\displaystyle\int e^{-x}\cos x\,dx$
答 $\dfrac{e^{-x}(\cos x - \sin x)}{-2} + C = \dfrac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$
5. $\displaystyle\int x\arcsin x\,dx$
答 $\dfrac{x^2}{2}\arcsin x - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$，最终 $= \dfrac{2x^2-1}{4}\arcsin x + \dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C$
6. $\displaystyle\int \sqrt{x}\,\ln x\,dx$
答 $\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \dfrac{4}{9}x^{3/2} + C = \dfrac{2x^{3/2}}{9}(3\ln x - 2) + C$
通过学习，我们发现积分比求导复杂得多。有些看似简单的函数，其原函数不是初等函数：
$\displaystyle\int e^{-x^2}\,dx$（概率论中的正态分布函数）
$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{x}\,dx$（正弦积分）
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\ln x}\,dx$（对数积分）
$\displaystyle\int \sqrt{1+x^4}\,dx$（椭圆积分）
这些积分"积不出"，但可以用定积分和数值方法来处理。
一、分部积分公式 $\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$
二、选 $u$ 口诀：反对幂指三
三、五种模式
① 幂×指数：$u = x^n$，多次分部降幂
② 幂×三角：$u = x^n$，多次分部降幂
③ 幂×对数：$u = \ln x$（对数优先！）
④ 指数×三角：分部两次后解方程
⑤ 反三角：$u =$ 反三角函数（最优先！）
四、有时需换元+分部混合使用
五、有些初等函数的积分"积不出"