1. 第二类换元积分法的原理；
2. 三角代换（处理根号 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$）；
3. 根式代换。
掌握并能运用第二类换元积分法，特别是三角代换去根号。
第一换元法（凑微分）：$\displaystyle\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx \xlongequal{u=\varphi(x)} \int f(u)\,du$
有时凑微分行不通，例如 $\displaystyle\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$，无法直接凑出 $d(\cdots)$。
思路：反过来，令 $x = \varphi(t)$，用 $t$ 替换 $x$，化简根号。
定理 设 $x = \varphi(t)$ 单调可导且 $\varphi'(t) \ne 0$，若
则 $\displaystyle\int f(x)\,dx = G[\varphi^{-1}(x)] + C$（用反函数 $t = \varphi^{-1}(x)$ 代回）
与第一换元法的区别：
第一换元：令 $u = \varphi(x)$（中间变量是 $x$ 的函数）
第二换元：令 $x = \varphi(t)$（$x$ 本身是新变量 $t$ 的函数）——方向相反！
$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t} = a\cos t$（根号消掉了！）
例1 $\displaystyle\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$（$a > 0$）
解 令 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t\,dt$，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$
$= \displaystyle\int a\cos t \cdot a\cos t\,dt = a^2\int \cos^2 t\,dt = a^2\left(\dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2t}{4}\right) + C$
$= \dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + C$
例2 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$（验证公式！）
解 令 $x = \sin t$，$dx = \cos t\,dt$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$
$= \displaystyle\int \dfrac{\cos t}{\cos t}\,dt = t + C = \arcsin x + C$ ✓
例3 $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
解 令 $x = \sin t$，$= \displaystyle\int \dfrac{\sin^2 t}{\cos t}\cos t\,dt = \int \sin^2 t\,dt = \dfrac{t}{2} - \dfrac{\sin 2t}{4} + C$
$= \dfrac{1}{2}\arcsin x - \dfrac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$
$\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2\tan^2 t} = a\sec t$
例4 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$
解 令 $x = a\tan t$，$dx = a\sec^2 t\,dt$，$\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$
$= \displaystyle\int \dfrac{a\sec^2 t}{a\sec t}\,dt = \int \sec t\,dt = \ln|\sec t + \tan t| + C$
$= \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C_1$
常用公式：$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$
$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{a^2\sec^2 t - a^2} = a\tan t$
例5 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$
解 令 $x = \sec t$，$dx = \sec t\tan t\,dt$，$\sqrt{x^2-1} = \tan t$
$= \displaystyle\int \dfrac{\sec t\tan t}{\sec t \cdot \tan t}\,dt = \int dt = t + C = \text{arcsec}\,|x| + C$
含 $\sqrt{a^2 - x^2}$ → 令 $x = a\sin t$（或 $a\cos t$）
含 $\sqrt{a^2 + x^2}$ → 令 $x = a\tan t$
含 $\sqrt{x^2 - a^2}$ → 令 $x = a\sec t$
目的：利用三角恒等式消掉根号，化为三角函数积分。
被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$。
例6 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$
解 令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$
$= \displaystyle\int \dfrac{2t}{1+t}\,dt = 2\int \left(1 - \dfrac{1}{1+t}\right)dt = 2[t - \ln(1+t)] + C$
$= 2[\sqrt{x} - \ln(1+\sqrt{x})] + C$
例7 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$
解 含 $\sqrt{x}$（2次根）和 $\sqrt[3]{x}$（3次根），取最小公倍数 $6$。
令 $t = x^{\frac{1}{6}}$，$x = t^6$，$dx = 6t^5\,dt$
$\sqrt{x} = t^3$，$\sqrt[3]{x} = t^2$
$= \displaystyle\int \dfrac{6t^5}{t^3 + t^2}\,dt = 6\int \dfrac{t^3}{t+1}\,dt = 6\int \left(t^2 - t + 1 - \dfrac{1}{t+1}\right)dt$
$= 6\left(\dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} + t - \ln|t+1|\right) + C$，最后 $t = x^{\frac{1}{6}}$ 代回。
含多种根式时：令 $t = x^{1/n}$，$n$ 取各根指数的最小公倍数。
例8 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x+1} + 1}$
解 令 $t = \sqrt{x+1}$，$x = t^2-1$，$dx = 2t\,dt$
$= \displaystyle\int \dfrac{2t}{t+1}\,dt = 2\int\left(1 - \dfrac{1}{t+1}\right)dt = 2[t - \ln|t+1|] + C$
$= 2[\sqrt{x+1} - \ln(\sqrt{x+1}+1)] + C$
例9 $\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\,dx$
解 令 $x = \cos t$，$dx = -\sin t\,dt$
$\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{1+\cos t}} = \sqrt{\dfrac{2\sin^2(t/2)}{2\cos^2(t/2)}} = \tan\dfrac{t}{2}$
$= -\displaystyle\int \tan\dfrac{t}{2}\sin t\,dt = -\int 2\sin^2\dfrac{t}{2}\,dt = -(t - \sin t) + C$
$= \sqrt{1-x^2} - \arccos x + C$
有时三角代换很繁琐，用其他方法更简单：
例10 $\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$
解 凑微分更简单！$= \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^2+1} + C$
例11 $\displaystyle\int \dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}$
解 $= -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\,d(1-x^2) = -\sqrt{1-x^2} + C$
原则：能用凑微分就用凑微分（第一换元），实在不行才用第二换元（三角代换/根式代换）。
1. $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx$
答 $\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a} - \dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + C$
2. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
提示 令 $x = \tan t$，答：$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$
3. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}$
提示 令 $t = \sqrt[3]{x+1}$，化为有理函数积分
一、第二换元法——令 $x = \varphi(t)$，$dx = \varphi'(t)\,dt$，积完后用 $t = \varphi^{-1}(x)$ 代回。
二、三角代换（核心！）
$\sqrt{a^2-x^2}$ → $x = a\sin t$；$\sqrt{a^2+x^2}$ → $x = a\tan t$；$\sqrt{x^2-a^2}$ → $x = a\sec t$
目的：利用三角恒等式消根号。
三、根式代换——含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$；含多种根式取最小公倍数。
四、选择原则——能凑微分就凑微分，不能才用第二换元。