1. 第一类换元积分法（凑微分法）的原理；
2. 六种常用凑微分类型及大量练习。
掌握并能熟练运用第一类换元积分法（凑微分法）计算不定积分。
关键能力：识别被积函数中的"外层函数"和"内层导数"，把后者凑成微分。
基本公式只能处理 $\int x^n dx$、$\int \sin x\,dx$ 等简单形式。遇到复杂的怎么办？
例 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx = ?$
观察：令 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$，被积函数变成 $\cos u\,du$！
$\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx = \int \cos(x^2)\,d(x^2) = \sin(x^2) + C$
核心：把 $2x\,dx$ "凑"成 $d(x^2)$，复杂积分变简单。
定理 设 $\displaystyle\int f(u)\,du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可导，则
第一步：观察被积函数，找中间变量 $u = \varphi(x)$
第二步：检查是否存在 $\varphi'(x)\,dx$（可能差常数倍）
第三步：凑微分 $\varphi'(x)\,dx = d[\varphi(x)]$
第四步：化为 $\int f(u)\,du$，用基本公式积分
第五步：把 $u = \varphi(x)$ 代回
$x\,dx = \dfrac{1}{2}d(x^2)$，$\quad x^2\,dx = \dfrac{1}{3}d(x^3)$，$\quad \dfrac{dx}{x} = d(\ln|x|)$
$e^x\,dx = d(e^x)$，$\quad \cos x\,dx = d(\sin x)$，$\quad \sin x\,dx = -d(\cos x)$
$\sec^2 x\,dx = d(\tan x)$，$\quad \dfrac{dx}{1+x^2} = d(\arctan x)$，$\quad \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = d(\arcsin x)$
令 $u = ax+b$，$du = a\,dx$，提出 $\dfrac{1}{a}$：
例1 $\displaystyle\int \cos 3x\,dx = \dfrac{1}{3}\sin 3x + C$
例2 $\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$
例3 $\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx = \dfrac{(2x+1)^6}{12} + C$
例4 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x-1} = \dfrac{1}{3}\ln|3x-1| + C$
例5 $\displaystyle\int \sin(5x+2)\,dx = -\dfrac{1}{5}\cos(5x+2) + C$
练 计算下列积分：
(1) $\displaystyle\int (3-2x)^7\,dx$
解 $= \dfrac{1}{-2} \cdot \dfrac{(3-2x)^8}{8} + C = -\dfrac{(3-2x)^8}{16} + C$
(2) $\displaystyle\int e^{-3x}\,dx$
解 $= -\dfrac{1}{3}e^{-3x} + C$
(3) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{2x+5}$
解 $= \dfrac{1}{2}\ln|2x+5| + C$
$\int f(x^n) \cdot x^{n-1}\,dx$，利用 $x^{n-1}\,dx = \dfrac{1}{n}d(x^n)$
例6 $\displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}\,dx$
解 $= -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (1-x^2)^{\frac{1}{2}}\,d(1-x^2) = -\dfrac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}} + C$
例7 $\displaystyle\int x^2 e^{x^3}\,dx = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int e^{x^3}\,d(x^3) = \dfrac{1}{3}e^{x^3} + C$
例8 $\displaystyle\int \dfrac{x}{1+x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
例9 $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{(1+x^3)^2}\,dx$
解 $= \dfrac{1}{3}\displaystyle\int (1+x^3)^{-2}\,d(1+x^3) = -\dfrac{1}{3(1+x^3)} + C$
例10 $\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int (x^2+1)^{\frac{1}{2}}\,d(x^2+1) = \dfrac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C$
练 $\displaystyle\int \dfrac{x^3}{1+x^8}\,dx$
提示 令 $u = x^4$，$x^3\,dx = \dfrac{1}{4}d(x^4)$，答：$\dfrac{1}{4}\arctan(x^4) + C$
例11 $\displaystyle\int \sin^3 x\cos x\,dx = \int \sin^3 x\,d(\sin x) = \dfrac{\sin^4 x}{4} + C$
例12 $\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = \int \dfrac{d(\sin x)}{\sin^2 x} = -\dfrac{1}{\sin x} + C = -\csc x + C$
例13 $\displaystyle\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \dfrac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x| + C$
例14 $\displaystyle\int \cot x\,dx = \int \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \dfrac{d(\sin x)}{\sin x} = \ln|\sin x| + C$
例15 $\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int \dfrac{d(\cos x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} + C = \sec x + C$
例16 $\displaystyle\int \sec x\tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C$
练 计算下列积分：
(1) $\displaystyle\int \cos^4 x\sin x\,dx$
解 $= -\displaystyle\int \cos^4 x\,d(\cos x) = -\dfrac{\cos^5 x}{5} + C$
(2) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x}$
解 $= \displaystyle\int \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx = \int \sec^2 x\,dx + \int \csc^2 x\,dx = \tan x - \cot x + C$
例17 $\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \int \ln x\,d(\ln x) = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C$
例18 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\ln x} = \int \dfrac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C$
例19 $\displaystyle\int \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\,dx = -\int e^{\frac{1}{x}}\,d\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -e^{\frac{1}{x}} + C$
例20 $\displaystyle\int \dfrac{\cos(\ln x)}{x}\,dx = \int \cos(\ln x)\,d(\ln x) = \sin(\ln x) + C$
$\sin^m x\cos^n x$ 的积分：奇数次的那个拆出一个凑微分。
例21 $\displaystyle\int \cos^3 x\,dx$（$\cos$ 奇数次）
解 $= \displaystyle\int \cos^2 x \cdot \cos x\,dx = \int (1-\sin^2 x)\,d(\sin x) = \sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + C$
例22 $\displaystyle\int \sin^2 x\cos^3 x\,dx$（$\cos$ 奇数次，拆cos）
解 $= \displaystyle\int \sin^2 x(1-\sin^2 x)\,d(\sin x) = \dfrac{\sin^3 x}{3} - \dfrac{\sin^5 x}{5} + C$
偶数次三角函数用降幂公式：$\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$
例23 $\displaystyle\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
例24 $\displaystyle\int \cos^4 x\,dx$
解 $\cos^4 x = \left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{8} + \dfrac{\cos 2x}{2} + \dfrac{\cos 4x}{8}$
$= \dfrac{3x}{8} + \dfrac{\sin 2x}{4} + \dfrac{\sin 4x}{32} + C$
$\displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ $\qquad$ $\displaystyle\int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C$
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{a^2 + x^2} = \dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a} + C$
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\dfrac{x}{a} + C$
例25 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$
解 $= 2\displaystyle\int \dfrac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2} = 2\arctan\sqrt{x} + C$
例26 $\displaystyle\int \dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+1}\,dx = \dfrac{1}{3}\ln(e^{3x}+1) + C$
例27 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{e^x + e^{-x}}$
解 $= \displaystyle\int \dfrac{e^x\,dx}{e^{2x}+1} = \int \dfrac{d(e^x)}{(e^x)^2+1} = \arctan(e^x) + C$
例28 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2+2x+5}$
解 配方：$x^2+2x+5 = (x+1)^2+4$
$= \displaystyle\int \dfrac{d(x+1)}{(x+1)^2+2^2} = \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x+1}{2} + C$
例29 $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+2x+5}\,dx$
解 $x = \dfrac{1}{2}(2x+2) - 1$
$= \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{d(x^2+2x+5)}{x^2+2x+5} - \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+4}$
$= \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) - \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x+1}{2} + C$
1. $\displaystyle\int \dfrac{\arctan x}{1+x^2}\,dx$
答 $\dfrac{(\arctan x)^2}{2} + C$
2. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$
提示 令 $t = x^{\frac{1}{6}}$，化为有理函数积分
3. $\displaystyle\int \sin 3x\cos 5x\,dx$
提示 积化和差：$\sin A\cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$
答 $-\dfrac{1}{16}\cos 8x + \dfrac{1}{4}\cos 2x + C$
一、凑微分法本质
$\displaystyle\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = \int f[\varphi(x)]\,d[\varphi(x)] = F[\varphi(x)] + C$
二、六种常用类型
① $f(ax+b)$ 型——提 $\dfrac{1}{a}$
② $f(x^n) \cdot x^{n-1}$ 型——幂函数凑微分
③ 三角函数型——$\cos x\,dx = d(\sin x)$、$\sin x\,dx = -d(\cos x)$
④ $\dfrac{1}{x}$ 型——$\dfrac{dx}{x} = d(\ln|x|)$
⑤ 三角幂次——奇数次拆一个凑微分
⑥ 偶数次——降幂公式
三、进阶技巧——配方+凑微分、分子拆分、积化和差