1. 有理函数的积分（部分分式法）；
2. 三角函数有理式的积分（万能置换）；
3. 简单无理函数的积分。
1. 掌握简单有理函数的部分分式分解和积分；
2. 了解万能置换公式；3. 会处理简单无理函数的积分。
两个多项式之商 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数。
分子次数 $<$ 分母次数 → 真分式；否则 → 假分式。
假分式先做多项式除法：
例 $\dfrac{x^3+1}{x-1} = x^2 + x + 1 + \dfrac{2}{x-1}$
核心思路：先化为真分式 → 部分分式分解 → 逐项积分。
分母因式分解后，对每个因子写部分分式：
一次因子 $(x-a)$ → $\dfrac{A}{x-a}$
重因子 $(x-a)^k$ → $\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k}$
不可分解二次因子 $(x^2+px+q)$ → $\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$
待定系数法：通分后比较两边系数（或代特殊值）求出各系数。
例1 分解 $\dfrac{1}{x^2-1}$
$= \dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$
通分：$1 = A(x+1) + B(x-1)$
令 $x=1$：$A=\frac{1}{2}$；令 $x=-1$：$B=-\frac{1}{2}$
例2 分解 $\dfrac{x+1}{x^2-5x+6}$
$= \dfrac{x+1}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x-3}$
$x=2$：$A = -3$；$x=3$：$B = 4$
例3 分解 $\dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2}$
$= \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{C}{(x-1)^2}$
通分：$x^2+1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$
令 $x=0$：$A = 1$；令 $x=1$：$C = 2$
比较 $x^2$ 系数：$1 = A + B$，$\therefore B = 0$
$\therefore \dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{(x-1)^2}$
例4 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2-1} = \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C$
例5 $\displaystyle\int \dfrac{x+1}{x^2-5x+6}\,dx = -3\ln|x-2| + 4\ln|x-3| + C$
例6 $\displaystyle\int \dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2}\,dx$
解 $= \displaystyle\int \dfrac{dx}{x} + \int \dfrac{2\,dx}{(x-1)^2} = \ln|x| - \dfrac{2}{x-1} + C$
例7 $\displaystyle\int \dfrac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}\,dx$
解 部分分式：$= \dfrac{1/2}{x-1} - \dfrac{2}{x-2} + \dfrac{3/2}{x-3}$
$= \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - 2\ln|x-2| + \dfrac{3}{2}\ln|x-3| + C$
例8 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2+2x+5}$
解 配方：$x^2+2x+5 = (x+1)^2+4$
$= \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x+1}{2} + C$
例9 $\displaystyle\int \dfrac{x^3}{x-1}\,dx$
解 先做除法：$\dfrac{x^3}{x-1} = x^2 + x + 1 + \dfrac{1}{x-1}$
$= \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C$
例10 $\displaystyle\int \dfrac{x^4+1}{x^2+1}\,dx$
解 $\dfrac{x^4+1}{x^2+1} = x^2 - 1 + \dfrac{2}{x^2+1}$
$= \dfrac{x^3}{3} - x + 2\arctan x + C$
由 $\sin x$、$\cos x$ 及常数经四则运算构成的函数。
万能置换 令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则：
$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$，$\;\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$，$\;dx = \dfrac{2}{1+t^2}\,dt$
可将任何三角有理式化为 $t$ 的有理函数。
注意：万能置换不一定最简！先考虑凑微分、恒等变形等简便方法。
例11 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sin x}$
解 令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$：
$= \displaystyle\int \dfrac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \dfrac{2}{1+t^2}\,dt = \int \dfrac{2}{(1+t)^2}\,dt = -\dfrac{2}{1+t} + C = -\dfrac{2}{1+\tan\frac{x}{2}} + C$
例12 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3+5\cos x}$
解 令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，$3+5\cos x = 3+5\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \dfrac{8-2t^2}{1+t^2}$
$= \displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{8-2t^2}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\,dt = \int \dfrac{dt}{4-t^2} = \dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{2+t}{2-t}\right| + C$
例13 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sin x}$（另法）
解 分子分母同乘 $(1-\sin x)$：
$= \displaystyle\int \dfrac{1-\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \int (\sec^2 x - \sec x\tan x)\,dx = \tan x - \sec x + C$
结论：万能置换万能但不万简！三角积分优先考虑：
① 凑微分（$\sin x\,dx = -d(\cos x)$ 等）
② 恒等变形（降幂、积化和差、分子分母乘配）
③ 实在不行才用万能置换
含根式 $\sqrt[n]{ax+b}$ → 令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$ 化为有理函数。
例14 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$
解 令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t\,dt$
$= 2\displaystyle\int \dfrac{t}{1+t}\,dt = 2\int\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt = 2[t - \ln(1+t)] + C$
$= 2[\sqrt{x} - \ln(1+\sqrt{x})] + C$
例15 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$
解 $\text{lcm}(2,3)=6$，令 $t = x^{1/6}$，$x = t^6$，$dx = 6t^5\,dt$
$\sqrt{x} = t^3$，$\sqrt[3]{x} = t^2$
$= 6\displaystyle\int \dfrac{t^5}{t^3+t^2}\,dt = 6\int \dfrac{t^3}{t+1}\,dt$
$= 6\displaystyle\int\left(t^2-t+1-\dfrac{1}{t+1}\right)dt = 6\left(\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^2}{2}+t-\ln|t+1|\right)+C$
其中 $t = x^{1/6}$。
例16 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x+1}+1}$
解 令 $t = \sqrt{x+1}$，$x = t^2-1$，$dx = 2t\,dt$
$= 2\displaystyle\int \dfrac{t}{t+1}\,dt = 2[t-\ln|t+1|]+C = 2[\sqrt{x+1}-\ln(\sqrt{x+1}+1)]+C$
例17 $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})}$
解 $\text{lcm}(2,3)=6$，令 $t = x^{1/6}$
$= 6\displaystyle\int \dfrac{t^5}{t^3(1+t^2)}\,dt = 6\int \dfrac{t^2}{1+t^2}\,dt = 6\int\left(1-\dfrac{1}{1+t^2}\right)dt$
$= 6(t - \arctan t) + C = 6(x^{1/6} - \arctan x^{1/6}) + C$
1. $\displaystyle\int \dfrac{3x+2}{x^2-x-2}\,dx$
答 $\dfrac{8}{3}\ln|x-2| + \dfrac{1}{3}\ln|x+1| + C$
2. $\displaystyle\int \dfrac{x^2+1}{x(x^2-1)}\,dx$
答 分解后 $= -\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| + C = \ln\dfrac{|x^2-1|}{|x|} + C$
3. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{2+\cos x}$
答 万能置换：$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}} + C$
4. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sqrt[4]{x}}$（令 $t = x^{1/4}$）
部分分式分解后，只出现三类积分：
① $\displaystyle\int \dfrac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a| + C$
② $\displaystyle\int \dfrac{A}{(x-a)^k}\,dx = \dfrac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}} + C$（$k \ge 2$）
③ $\displaystyle\int \dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx$（配方+凑微分）
这三类都可积出初等函数。因此：
结论：有理函数的原函数一定是初等函数。
一、有理函数积分
假分式 → 先做除法；真分式 → 部分分式分解 → 逐项积分。
待定系数法求系数（代特殊值或比较系数）。
二、三角有理式
万能置换 $t = \tan\dfrac{x}{2}$ 可化为有理函数。但优先考虑凑微分和恒等变形。
三、简单无理函数
含 $\sqrt[n]{ax+b}$ → 令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$；多种根式取最小公倍数。
四、有理函数的原函数一定是初等函数，但有些初等函数"积不出"。