多元函数的概念、极限与连续

💡为什么要学多元函数？

在之前的学习中，我们研究的函数都是一个自变量对应一个因变量，比如 \(y = x^2\)。但现实世界中，一个量往往同时受到多个因素的影响。

🏗️ 圆柱体的体积

体积 \(V\) 同时取决于底面半径 \(r\) 和高 \(h\)：\[V = \pi r^2 h\]改变 \(r\) 或 \(h\) 中任何一个，\(V\) 都会变化。

🌡️ 理想气体状态

压强 \(P\) 同时取决于体积 \(V\) 和温度 \(T\)：\[P = \dfrac{RT}{V}\]其中 \(R\) 是常数。

⚡ 并联电阻

总电阻 \(R\) 取决于两个电阻 \(R_1, R_2\)：\[R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\]

关键认识
以上每个例子中，结果都由两个独立变量共同决定 —— 这就是二元函数。如果有更多变量，就是三元、四元……统称为多元函数。接下来我们就来严格认识它们。

📍平面上的邻域

定义
设 \(P_0(x_0, y_0)\) 是平面上一个点，\(\delta > 0\) 是一个正数。与 \(P_0\) 距离小于 \(\delta\) 的所有点的集合，称为 \(P_0\) 的 \(\delta\) 邻域，记作 \(U(P_0, \delta)\)： \[U(P_0, \delta) = \{(x,y) \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta\}\]

直观理解：在平面上以 \(P_0\) 为圆心、\(\delta\) 为半径画一个圆，圆内部（不含边界）所有的点就构成了 \(P_0\) 的 \(\delta\) 邻域。

去心邻域
如果把中心点 \(P_0\) 本身去掉，就得到去心邻域 \(\mathring{U}(P_0, \delta)\)，即满足 \(0 < |P_0 P| < \delta\) 的所有点。后面讲极限时会用到它。

📐二元函数的定义

定义
设有三个变量 \(x, y, z\)。如果变量 \(x, y\) 在某个范围 \(D\) 内任取一对值时，变量 \(z\) 按照一定的规律，总有确定的值与之对应，则称 \(z\) 为变量 \(x, y\) 的二元函数，记作： \[z = f(x, y), \quad (x,y) \in D\] 其中 \(x, y\) 叫自变量，\(z\) 叫因变量（也叫函数），\(D\) 叫做函数的定义域。

与一元函数对比
一元函数 \(y = f(x)\)：一个自变量 → 一个函数值
二元函数 \(z = f(x,y)\)：一对自变量 → 一个函数值
核心思路完全相同，只是自变量从 1 个变成了 2 个！

确定二元函数两要素
① 定义域 \(D\)：自变量 \((x,y)\) 的取值范围
② 对应法则 \(f\)：从 \((x,y)\) 到 \(z\) 的计算规则
两者缺一不可！

推广：类似地可定义三元函数 \(u = f(x,y,z)\)，四元函数……统称多元函数。本节我们以二元函数为主要研究对象，方法可以推广到更多元。

函数值的记法：当 \(x = x_0, y = y_0\) 时，\(z\) 的值记为 \(z_0 = f(x_0, y_0)\)，称为函数在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 处的函数值。

🔍二元函数的定义域 — 求法总结

求定义域的核心：找出使函数表达式有意义的全部 \((x,y)\)。和一元函数完全一样的思路，只是变量多了一个。

📌 常见限制条件

① 分母 \(\neq 0\)
② 偶次根号下 \(\geqslant 0\)
③ 对数的真数 \(> 0\)
④ \(\tan\) 的自变量 \(\neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\)

📌 求解步骤

第一步：列出所有使表达式有意义的不等式（组）
第二步：求解不等式组，得到 \((x,y)\) 的范围
第三步：用集合或图形表示定义域 \(D\)

特别提示
二元函数的定义域 \(D\) 是平面上的一个区域（一片面积），不再是一元函数的一段区间。画图能帮助我们直观理解！

✏️定义域例题（一）

例题
求函数 \(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\) 的定义域。

分析：函数含有偶次根号（平方根），所以根号下必须 \(\geqslant 0\)。

第一步：列不等式 → \(1 - x^2 - y^2 \geqslant 0\)

第二步：整理 → \(x^2 + y^2 \leqslant 1\)

第三步：这正是以原点为圆心、半径为 1 的圆及其内部。
所以 \(D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leqslant 1\}\)

✏️定义域例题（二）

例题
求 \(z = \ln(y - x) + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}\) 的定义域，并画出 \(D\) 的图形。

分析：含有对数、偶次根号和分母，需要同时满足多个条件。

列不等式组：
① 对数真数 \(> 0\)：\(y - x > 0\)，即 \(y > x\)
② 根号下 \(\geqslant 0\)：\(x \geqslant 0\)
③ 分母根号下 \(> 0\)（分母≠0 且根号下≥0 合并）：\(1 - x^2 - y^2 > 0\)，即 \(x^2 + y^2 < 1\)

综合：\(D = \{(x,y) \mid x \geqslant 0, \; x < y, \; x^2 + y^2 < 1\}\)
即单位圆内部（不含边界），且在直线 \(y=x\) 上方，且 \(x\geqslant 0\)。

🎯定义域 — 题型归纳与练习

题型一：只含根号

例：\(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\)
方法：令根号下 \(\geqslant 0\) → \(x^2+y^2 \leqslant 4\)
结果：半径为 2 的闭圆盘

题型二：含对数

例：\(z = \ln(x + y)\)
方法：真数 \(> 0\) → \(x + y > 0\)
结果：直线 \(x+y=0\) 上方的半平面

题型三：含分式

例：\(z = \dfrac{1}{x - y}\)
方法：分母 \(\neq 0\) → \(x \neq y\)
结果：全平面去掉直线 \(y = x\)

题型四：多个条件联立

例：\(z = \dfrac{\sqrt{y}}{\ln(1-x)}\)
方法：\(y \geqslant 0\) 且 \(1-x>0\) 且 \(1-x \neq 1\)
即 \(y \geqslant 0, x < 1, x \neq 0\)

课堂练习
请尝试求以下函数的定义域：① \(z = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) ② \(z = \arcsin(x^2 + y^2)\) ③ \(z = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}}\)

答案：① \(D = \{(x,y)\mid x\geqslant 0, y\geqslant 0\}\)（第一象限含坐标轴）；② \(D = \{(x,y)\mid x^2+y^2 \leqslant 1\}\)（闭单位圆盘）；③ \(D = \{(x,y)\mid x^2+y^2 > 1\}\)（单位圆外部，不含边界）

🔄二元函数的极限

回顾一元函数极限：\(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 表示当 \(x\) 沿数轴从左边或右边趋向 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 趋向 \(A\)。

二元函数极限
设函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某去心邻域内有定义。若当点 \(P(x,y)\) 以任意方式趋向 \(P_0\) 时，\(f(x,y)\) 都趋向同一个确定的常数 \(A\)，则称 \(A\) 为 \(f(x,y)\) 当 \((x,y) \to (x_0,y_0)\) 时的极限，记作： \[\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A\]

与一元函数的关键区别
一元：\(x\) 只能从两个方向（左、右）趋近 → 左极限 = 右极限即可
二元：\((x,y)\) 可以从平面上无穷多个方向趋近 → 必须所有方向的极限都相同！
所以二元函数极限存在的条件更严格。

✏️极限的计算方法

好消息：对于连续函数，计算极限的方法和一元函数一样——直接代入！大部分由基本初等函数组合而成的函数在其定义域内都是连续的。

例题 1 求 \(\displaystyle\lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + 2xy + y)\)。

解：这是多项式函数，处处连续，直接代入：\(\displaystyle\lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + 2xy + y) = 1^2 + 2 \times 1 \times 2 + 2 = 1 + 4 + 2 = 7\)。

例题 2 求 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\)。

解：代入得 \(\dfrac{0}{0}\)，不能直接代入。用夹逼法：因为 \(|y| \leqslant \sqrt{x^2+y^2}\)，所以 \(\left|\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \leqslant \dfrac{x^2 \sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2} = \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leqslant \sqrt{x^2+y^2} \to 0\)。故极限为 \(0\)。

⚠️极限不存在的判定

判定方法
如果沿两条不同的路径趋向同一点时，得到的极限值不同，那么极限不存在。
这是证明极限不存在最常用的方法！

例题讨论 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\) 是否存在。

路径一：沿 \(y = 0\)（即沿 \(x\) 轴）趋近 \((0,0)\)：\(\dfrac{x \cdot 0}{x^2 + 0} = 0 \to 0\)

路径二：沿 \(y = x\) 趋近 \((0,0)\)：\(\dfrac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac{1}{2} \to \dfrac{1}{2}\)

两条路径得到的极限值 \(0 \neq \dfrac{1}{2}\)，所以极限不存在。

🔗二元函数的连续性

回顾一元函数连续的三个条件：① \(f(x_0)\) 有定义；② \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在；③ 极限值 = 函数值。二元函数完全类似！

连续性定义
设 \(z = f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内有定义。如果： \[\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)\] 则称 \(f(x,y)\) 在点 \(P_0\) 处连续。

✅ 判断连续的步骤

① 确认 \(f(x_0,y_0)\) 有定义（算出函数值）
② 求 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)\)（算出极限）
③ 检查极限值是否等于函数值

⚠️ 不连续（间断）

以下任一情况都说明 \(f\) 在 \(P_0\) 不连续：
① \(f(x_0,y_0)\) 无定义
② 极限不存在
③ 极限 \(\neq\) 函数值

重要结论
一切多元初等函数在其定义域内都是连续的。所谓初等函数，就是由基本初等函数（幂函数、指数、对数、三角、反三角）经过有限次四则运算和复合得到的函数。这意味着——对于初等函数，在定义域内求极限只需直接代入！

✏️连续性判断例题

例题 1 讨论 \(f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\[6pt] 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}\) 在原点的连续性。

第一步：函数值 \(f(0,0) = 0\)（已给出定义）。

第二步：求极限 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{x^2+y^2}\)。由前面的例题已知，沿 \(y=0\) 极限为 \(0\)，沿 \(y=x\) 极限为 \(\dfrac{1}{2}\)，两条路径不同 → 极限不存在。

结论：极限不存在，因此 \(f(x,y)\) 在原点不连续（间断）。

例题 2 求 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,0)} \dfrac{\sin(xy)}{x}\)。

解：函数 \(\dfrac{\sin(xy)}{x}\) 在 \((1,0)\) 处有定义（\(x=1\neq 0\)），且它是初等函数在其定义域内的点，所以连续。直接代入：\(\dfrac{\sin(1\cdot 0)}{1} = \dfrac{0}{1} = 0\)。

🎯极限与连续 — 题型归纳

类型A直接代入型

特征：初等函数 + 代入点在定义域内
方法：直接把 \((x_0,y_0)\) 代入
例：\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,1)} \dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{3}{1} = 3\)

类型B消去因子型

特征：代入得 \(\dfrac{0}{0}\)，可约分
方法：先化简再代入
例：\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2+xy}{x} = \lim (x+y) = 0\)

类型C夹逼法

特征：代入得 \(\dfrac{0}{0}\)，不能约分
方法：用不等式放缩证明趋向 0
技巧：\(|xy| \leqslant \dfrac{x^2+y^2}{2}\)

类型D证明不存在

特征：怀疑极限不存在
方法：找两条路径得到不同极限值
常用路径：\(y=0\), \(y=x\), \(y=kx\), \(y=x^2\)

课堂练习
① \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)} \dfrac{xy - 1}{x^2 + y^2 - 2}\) ② \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\) ③ \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,2)} \dfrac{\sin x}{x}(y^2+1)\)

答案：① 提示：分子 \(=xy-1\)，分母 \(=(x^2-1)+(y^2-1)\)，沿 \(y=x\to 1\) 求得 \(\dfrac{1}{2}\)（或直接因式分解）；② 沿 \(y=0\) 得 1，沿 \(x=0\) 得 \(-1\)，极限不存在；③ 初等函数，直接代入 \(= 1 \times 5 = 5\)。

📋本节知识框架总结

一、邻域
\(U(P_0,\delta)\)：以 \(P_0\) 为圆心、\(\delta\) 为半径的开圆盘
去心邻域 \(\mathring{U}(P_0,\delta)\)：去掉圆心的邻域

二、二元函数
\(z = f(x,y)\)，两要素：定义域 + 对应法则
定义域是平面区域，求法与一元类似（注意不等式组）

三、极限
\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A\)，要求所有方向趋近结果相同
初等函数在定义域内直接代入；不存在则找两条路径反证

四、连续性
极限值 = 函数值 \(\Leftrightarrow\) 连续
初等函数在其定义域内处处连续

📝补充例题 1

例题
求 \(f(x,y)=x^2+y^2\) 的定义域。

解：因为 \(x^2 + y^2\) 对任意实数 \(x, y\) 都有意义，
所以定义域为全平面 \(\mathbb{R}^2\)，即 \(D = \{(x,y) \mid x \in \mathbb{R},\, y \in \mathbb{R}\}\)。

📝补充例题 2

例题
求 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)。

解：沿 \(y=0\)：\(\frac{x \cdot 0}{x^2+0}=0\)；
沿 \(y=x\)：\(\frac{x \cdot x}{x^2+x^2}=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}\)。
两条路径的极限值不同，故该极限不存在。

📝综合练习与巩固

练习 1 求下列函数的定义域：
(1) \(z = \sqrt{4 - x^2 - 4y^2}\) (2) \(z = \ln(1 - x^2 - y^2) + \sqrt{y}\)

解 (1)：\(4 - x^2 - 4y^2 \geqslant 0\)，即 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 \leqslant 1\)，这是一个以原点为中心、半轴分别为 \(2\) 和 \(1\) 的椭圆及其内部。
解 (2)：\(1-x^2-y^2>0\) 且 \(y\geqslant 0\)，即单位圆内部（不含边界）与上半平面的交集。

练习 2 求下列极限：
(1) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)} \dfrac{x^2 + y - 1}{x + y - 1}\) (2) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2 + y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}\)

解 (1)：代入 \((0,1)\) 得 \(\dfrac{0+1-1}{0+1-1} = \dfrac{0}{0}\)，需化简。分子 \(= x^2 + (y-1)\)，分母 \(= x+(y-1)\)。设 \(t=y-1\)，则 \(\to \dfrac{x^2+t}{x+t}\)，当 \(x\to 0, t\to 0\) 时沿 \(t=0\) 得 \(\dfrac{x^2}{x}=x\to 0\)；沿 \(x=0\) 得 \(\dfrac{t}{t}=1\)。极限不存在。
解 (2)：用夹逼法。\(\left|\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}\right|\leqslant 1\)，所以 \(0 \leqslant |(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}| \leqslant x^2+y^2 \to 0\)。极限 \(= 0\)。

练习 3 讨论 \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2 y^2}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\) 在原点的连续性。

解：\(f(0,0)=0\)。求极限：\(0 \leqslant \dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leqslant \dfrac{(x^2+y^2)^2}{4(x^2+y^2)} = \dfrac{x^2+y^2}{4} \to 0\)。极限 \(=0=f(0,0)\)，故在原点连续。

第六章 · 多元函数的微分学

多元函数的概念、极限与连续