对于 \(y = f(x)\)，导数为：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
只有一个自变量 \(x\)，直接对它求导即可。
对于 \(z = f(x, y)\)，有两个方向可以变化：
① 固定 \(y\)，只让 \(x\) 变 → 对 \(x\) 的偏导数
② 固定 \(x\)，只让 \(y\) 变 → 对 \(y\) 的偏导数
设函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域内有定义：
对 \(x\) 的偏导数：固定 \(y = y_0\)，\(z\) 关于 \(x\) 在 \(x_0\) 处的导数
$$f_x'(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x,\, y_0) - f(x_0,\, y_0)}{\Delta x}$$
对 \(y\) 的偏导数：固定 \(x = x_0\)，\(z\) 关于 \(y\) 在 \(y_0\) 处的导数
$$f_y'(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,\, y_0 + \Delta y) - f(x_0,\, y_0)}{\Delta y}$$
对 \(x\) 的偏导数有以下等价写法：\(f_x'(x,y)\)，\(\dfrac{\partial z}{\partial x}\)，\(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)，\(z_x'\)
对 \(y\) 的偏导数有以下等价写法：\(f_y'(x,y)\)，\(\dfrac{\partial z}{\partial y}\)，\(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)，\(z_y'\)
其中 \(\partial\) 读作"偏"（partial），区别于一元导数的 \(\mathrm{d}\)。
第一步：确定对谁求导 — 明确是对 \(x\) 求导还是对 \(y\) 求导
第二步：固定其他变量 — 把不求导的变量看作常数
第三步：用一元求导法则 — 按照一元函数的求导公式计算
关键理解：偏导数并不需要新的求导公式！所有一元函数的求导法则（幂函数、指数函数、三角函数、乘法法则、除法法则、链式法则等）全部适用，唯一的区别是：把其他变量视为常数。
设 \(z = x^2 + 3xy + y^2\)
求 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\)：把 \(y\) 看成常数
\(\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y\)（\(y^2\) 看成常数，导数为 \(0\)）
设 \(z = x^2 + 3xy + y^2\)
求 \(\dfrac{\partial z}{\partial y}\)：把 \(x\) 看成常数
\(\dfrac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y\)（\(x^2\) 看成常数，导数为 \(0\)）
曲面 \(z = f(x, y)\) 上取点 \(M_0(x_0, y_0, f(x_0,y_0))\)：
用平面 \(y = y_0\) 去截曲面，得到一条曲线。\(f_x'(x_0, y_0)\) 就是这条曲线在 \(M_0\) 处切线对 \(x\) 轴的斜率 \(\tan\alpha\)。
用平面 \(x = x_0\) 去截曲面，得到另一条曲线。\(f_y'(x_0, y_0)\) 就是这条曲线在 \(M_0\) 处切线对 \(y\) 轴的斜率 \(\tan\beta\)。
偏导数 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\dfrac{\partial z}{\partial y}\) 本身也是 \(x, y\) 的函数，可以继续对它们求偏导，得到二阶偏导数，共有四个：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = f_{xx}''$$
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = f_{yy}''$$
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = f_{xy}''$$
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = f_{yx}''$$
如果函数 \(z = f(x,y)\) 的两个混合偏导数 \(f_{xy}''\) 和 \(f_{yx}''\) 都连续，则它们相等：$$f_{xy}'' = f_{yx}''$$
实际计算中，常见的初等函数通常满足此条件，因此求导顺序可以交换。
| 题型 | 方法要点 | 典型函数 |
|---|---|---|
| 多项式型 | 逐项求导，非求导变量的幂视为常系数 | \(x^3y + 3x^2y^2\) |
| 分式型 | 可用商法则，或先改写为负幂次再求导 | \(\dfrac{x}{y}\)，\(\dfrac{xy}{x+y}\) |
| 指数 / 三角型 | 链式法则：先对外层函数求导，再乘以内层对该变量的偏导 | \(e^{xy}\)，\(\sin(x^2y)\) |
| 幂指型 | 对底或指分别处理：底为常数用 \(a^z\) 型；指数为常数用 \(x^n\) 型 | \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^z\) |
| 高阶偏导 | 先求一阶，再对结果继续求偏导。混合偏导可交换顺序 | 求 \(f_{xx}'', f_{xy}'', f_{yy}''\) |
若 \(y = f(x)\) 可导，则
$$\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$$
\(\mathrm{d}y\) 是 \(\Delta y\) 的线性主要部分，可以用来近似估算函数值的改变量。
若 \(z = f(x,y)\)，当 \(x\) 和 \(y\) 同时变化时：
$$\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y)$$
能否找到 \(\Delta z\) 的一个线性近似？
直觉上，\(x\) 变化 \(\Delta x\) 引起的变化约为 \(f_x' \cdot \Delta x\)，\(y\) 变化 \(\Delta y\) 引起的变化约为 \(f_y' \cdot \Delta y\)。两个方向的影响"叠加"起来就是全微分的思路。
设函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x, y)\) 处的全增量
$$\Delta z = f(x + \Delta x,\, y + \Delta y) - f(x, y)$$
如果 \(\Delta z\) 可以表示为
$$\Delta z = A\,\Delta x + B\,\Delta y + o(\rho)$$
其中 \(A, B\) 仅与 \(x, y\) 有关，\(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)，\(o(\rho)\) 是 \(\rho\) 的高阶无穷小，
则称 \(f(x,y)\) 在该点可微，\(A\,\Delta x + B\,\Delta y\) 称为全微分，记作
$$\mathrm{d}z = A\,\mathrm{d}x + B\,\mathrm{d}y$$
如果 \(z = f(x,y)\) 的偏导数 \(f_x'\)、\(f_y'\) 连续，则 \(f\) 可微，且
$$\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y$$
即 \(A = f_x'\)，\(B = f_y'\)。
\(\Delta z\) = 函数真实的变化量（在曲面上）
\(\mathrm{d}z\) = 用切平面代替曲面后的近似变化量
当 \(\Delta x, \Delta y\) 很小时，\(\Delta z \approx \mathrm{d}z\)
即：$$f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y) + \mathrm{d}z$$
当 \(|\Delta x|\)、\(|\Delta y|\) 很小时，有近似公式：
$$f(x_0 + \Delta x,\, y_0 + \Delta y) \approx f(x_0, y_0) + f_x'(x_0, y_0)\,\Delta x + f_y'(x_0, y_0)\,\Delta y$$
第一步：确定函数 \(f(x, y)\)，找到基准点 \((x_0, y_0)\)（选容易算的整数点）
第二步：算出 \(\Delta x = x - x_0\)，\(\Delta y = y - y_0\)
第三步：计算 \(f(x_0, y_0)\)，\(f_x'(x_0, y_0)\)，\(f_y'(x_0, y_0)\)
第四步：代入近似公式
选取基准点的技巧：选离目标点最近的、使函数值容易计算的点。例如要计算 \(\sqrt{1.02^2 + 1.97^2}\)，就选 \((x_0, y_0) = (1, 2)\)，因为 \(\sqrt{1+4} = \sqrt{5}\) 好算。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}$$
求法：固定其他变量为常数，用一元求导法则
二阶偏导数（四个）：
\(f_{xx}''\)，\(f_{yy}''\)，\(f_{xy}''\)，\(f_{yx}''\)
\(f_{xy}'' = f_{yx}''\)（连续时成立）
$$\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y$$
求法：先求两个偏导，再套公式
近似计算公式：
\(f(x_0{+}\Delta x, y_0{+}\Delta y)\)
\(\approx f(x_0,y_0) + f_x'\Delta x + f_y'\Delta y\)