求驻点——解方程组 $\begin{cases} f'_x(x,y) = 0 \\ f'_y(x,y) = 0 \end{cases}$，得到所有驻点。

算判别式——对每个驻点，计算 $A = f''_{xx}$，$B = f''_{xy}$，$C = f''_{yy}$，再算 $\Delta = B^2 - AC$。

定结论——根据 $\Delta$ 的符号判定：$\Delta < 0$ 有极值（$A>0$ 极小，$A<0$ 极大）；$\Delta > 0$ 无极值；$\Delta = 0$ 另行讨论。

求偏导数并令其为零：$\displaystyle f'_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$，$\displaystyle f'_y = \frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$

令 $f'_x = 0,\ f'_y = 0$，得 $x = 0,\ y = 0$，即驻点为 $(0, 0)$。

几何分析：$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$ 表示的图形是上半球面（半径为 1 的球的上半部分）。

球面的最高点显然在 $(0,0)$ 处，此时 $z = 1$，这是整个函数的最大值。

结论：函数在 $(0,0)$ 处取得极大值 $z = 1$。

第一步：求驻点。$f'_x = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x+3)(x-1) = 0$，$f'_y = -3y^2 + 6y = -3y(y-2) = 0$。

由 $f'_x = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = -3$；由 $f'_y = 0$ 得 $y = 0$ 或 $y = 2$。组合得四个驻点：$(1,0)$，$(1,2)$，$(-3,0)$，$(-3,2)$。

第二步：求二阶偏导。$A = f''_{xx} = 6x + 6$，$B = f''_{xy} = 0$，$C = f''_{yy} = -6y + 6$，$\Delta = B^2 - AC = -A \cdot C$。

第三步：逐个判定——
$(1,0)$：$A=12,C=6,\Delta=-72<0,A>0$ → 极小值 $f(1,0)=-5$
$(1,2)$：$A=12,C=-6,\Delta=72>0$ → 不是极值点
$(-3,2)$：$A=-12,C=-6,\Delta=-72<0,A<0$ → 极大值 $f(-3,2)=31$
$(-3,0)$：$A=-12,C=6,\Delta=72>0$ → 不是极值点

结论：极小值 $f(1,0) = -5$；极大值 $f(-3,2) = 31$。

求内部极值：找出区域 $D$ 内部所有驻点处的函数值（即用上面的三步法求极值）。

求边界上的最值：把边界方程代入 $f(x,y)$，化为一元函数，再用一元函数方法求边界上的最大值和最小值。

比较：把内部极值和边界最值放在一起比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

求内部驻点：$f'_x = 6x - 3x^2 = 3x(2-x) = 0$，$f'_y = 6y = 0$，得驻点 $(0,0)$ 和 $(2,0)$。

判定内部驻点：$A = 6-6x$，$B = 0$，$C = 6$。
$(0,0)$：$\Delta = -36 < 0$，$A = 6 > 0$ → 极小值 $f(0,0) = 0$。
$(2,0)$：$\Delta = 36 > 0$ → 不是极值点。

求边界上的最小值：边界为 $x^2 + y^2 = 16$，即 $y^2 = 16 - x^2$（$-4 \leqslant x \leqslant 4$）。

代入得 $z = 3x^2 + 3(16-x^2) - x^3 = 48 - x^3$，这是关于 $x$ 的一元函数，在 $[-4, 4]$ 上求最小值。

$z' = -3x^2 \leqslant 0$，$z$ 单调递减，故 $z$ 在 $x = 4$ 时取最小值 $z\big|_{x=4} = 48 - 64 = -16$。

比较：内部极小值 $f(0,0) = 0$，边界最小值 $-16$。因此 $f$ 在 $D$ 上的最小值为 $f(4, 0) = -16$。

建立模型：设水箱长 $x$、宽 $y$，由体积 $V = xyh = 8$ 得高 $h = \dfrac{8}{xy}$。材料面积为 $A = 2\left(xy + \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{y}\right)$（$x > 0, y > 0$）。

求驻点：$A'_x = 2\!\left(y - \dfrac{8}{x^2}\right) = 0$，$A'_y = 2\!\left(x - \dfrac{8}{y^2}\right) = 0$，解得 $x = 2, y = 2$。

此时高 $h = \dfrac{8}{2 \times 2} = 2$ m。

判定：由问题的物理意义，面积 $A$ 一定有最小值（不可能无穷小），且开区域内唯一驻点，故此驻点即为最小值点。

结论：长 $2$ m、宽 $2$ m、高 $2$ m（即正方体）时，用料最省。正方体体积一定时表面积最小。

构造拉格朗日函数：引入参数 $\lambda$（称为拉格朗日乘子），令 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\varphi(x, y)$。

解方程组：$\begin{cases} L'_x = f'_x(x,y) + \lambda\varphi'_x(x,y) = 0 \\ L'_y = f'_y(x,y) + \lambda\varphi'_y(x,y) = 0 \\ L'_\lambda = \varphi(x,y) = 0 \end{cases}$
解出 $x, y, \lambda$。

确定极值：解出的 $(x, y)$ 就是条件极值的可能极值点。在实际问题中，通常可以由问题本身的性质判断是否为极值。

建模：设三棱长为 $x, y, z$（$x>0,y>0,z>0$），目标函数 $V = xyz$，约束条件 $\varphi = 2xy + 2yz + 2xz - a^2 = 0$。

构造拉格朗日函数：$L = xyz + \lambda(2xy + 2yz + 2xz - a^2)$

列方程组：$L'_x = yz + 2\lambda(y+z) = 0$，$L'_y = xz + 2\lambda(x+z) = 0$，$L'_z = xy + 2\lambda(y+x) = 0$。

由前三式可推导出 $\dfrac{x}{y+z} = \dfrac{y}{x+z} = \dfrac{z}{x+y}$，从而 $x = y = z$。

代入约束：$6x^2 = a^2$，得 $x = y = z = \dfrac{\sqrt{6}\,a}{6}$。

结论：正方体体积最大，$V_{\max} = \left(\dfrac{\sqrt{6}\,a}{6}\right)^3 = \dfrac{\sqrt{6}}{36}a^3$。

目标：求 $f(x,y) = 100x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{4}}$ 在条件 $150x + 250y = 50\,000$ 下的最大值。

$L = 100x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{4}} + \lambda(50\,000 - 150x - 250y)$。方程组：$75x^{-\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 150\lambda = 0$，$25x^{\frac{3}{4}}y^{-\frac{3}{4}} - 250\lambda = 0$。

由前两式得 $\lambda = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}$，代入第二式化简得 $x = 5y$。

代入约束：$150 \cdot 5y + 250y = 50\,000$，得 $y = 50$，$x = 250$。

结论：雇用 $250$ 个劳动力、投入 $50$ 个单位资本时，最大产量 $f(250,50) = 16\,719$。

利润 $z = \dfrac{1}{5}R - x - y = \dfrac{40x}{x+5} + \dfrac{20y}{10+y} - x - y$，约束 $x + y = 25$。

$L = \dfrac{40x}{x+5} + \dfrac{20y}{10+y} - x - y + \lambda(x + y - 25)$

$L'_x = \dfrac{200}{(5+x)^2} - 1 + \lambda = 0$，$L'_y = \dfrac{200}{(10+y)^2} - 1 + \lambda = 0$。由两式相减得 $(5+x)^2 = (10+y)^2$。

取正根 $5 + x = 10 + y$，结合 $x + y = 25$ 解得 $x = 15, y = 10$。

结论：两种广告费分别投入 $15$ 万元和 $10$ 万元时，利润最大。

$f'_x = 2x - y - 2 = 0$，$f'_y = -x + 2y + 1 = 0$。

由第一式 $y = 2x - 2$，代入第二式：$-x + 2(2x-2) + 1 = 0$，即 $3x - 3 = 0$，$x = 1$，$y = 0$。驻点为 $(1, 0)$。

$A = f''_{xx} = 2$，$B = f''_{xy} = -1$，$C = f''_{yy} = 2$，$\Delta = B^2 - AC = 1 - 4 = -3 < 0$。

$\Delta < 0$ 且 $A = 2 > 0$，所以 $(1,0)$ 是极小值点。

极小值 $f(1, 0) = 1 - 0 + 0 - 2 + 0 = -1$。

$f'_x = 3x^2 - 3y = 0$，$f'_y = 3y^2 - 3x = 0$，即 $y = x^2$，$x = y^2$。

代入得 $x = x^4$，即 $x(x^3 - 1) = 0$，$x = 0$ 或 $x = 1$。驻点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。

$A = 6x$，$B = -3$，$C = 6y$。
$(0,0)$：$A=0,B=-3,C=0$，$\Delta = 9 > 0$ → 不是极值点。
$(1,1)$：$A=6,B=-3,C=6$，$\Delta = 9-36 = -27 < 0$，$A > 0$ → 极小值。

极小值 $f(1,1) = 1 + 1 - 3 = -1$。

$f'_x = y - \dfrac{50}{x^2} = 0$，$f'_y = x - \dfrac{20}{y^2} = 0$，即 $y = \dfrac{50}{x^2}$，$x = \dfrac{20}{y^2}$。

代入得 $x = \dfrac{20x^4}{2500} = \dfrac{x^4}{125}$，即 $x^3 = 125$，$x = 5$，$y = 2$。驻点 $(5,2)$。

$A = \dfrac{100}{x^3}\bigg|_{(5,2)} = \dfrac{100}{125} = \dfrac{4}{5}$，$B = 1$，$C = \dfrac{40}{y^3}\bigg|_{(5,2)} = 5$，$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$，$A > 0$。

极小值 $f(5,2) = 10 + 10 + 10 = 30$。

约束 $\varphi(x,y) = \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} - 1 = 0$，构造 $L = x^2 + y^2 + \lambda\!\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} - 1\right)$。

$L'_x = 2x + \dfrac{\lambda}{a} = 0$，$L'_y = 2y + \dfrac{\lambda}{b} = 0$，得 $x = -\dfrac{\lambda}{2a}$，$y = -\dfrac{\lambda}{2b}$。

代入约束：$-\dfrac{\lambda}{2a^2} - \dfrac{\lambda}{2b^2} = 1$，解出 $\lambda = -\dfrac{2a^2b^2}{a^2 + b^2}$。

得 $x = \dfrac{ab^2}{a^2+b^2}$，$y = \dfrac{a^2b}{a^2+b^2}$。

极小值 $z = \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$（由几何意义知，直线上离原点最近的点一定存在，故为极小值）。

设三个正数为 $x, y, z$，约束 $x + y + z = a$，目标 $P = xyz$ 最小。可用拉格朗日乘数法。

$L = xyz + \lambda(x+y+z-a)$，方程组 $yz + \lambda = 0$，$xz + \lambda = 0$，$xy + \lambda = 0$。

由前两式 $yz = xz$，即 $z(y-x) = 0$，因 $z > 0$ 故 $x = y$。类似得 $y = z$。所以 $x = y = z$。

由 $3x = a$ 得 $x = y = z = \dfrac{a}{3}$。

当三个数都等于 $\dfrac{a}{3}$ 时乘积最小，$P_{\min} = \dfrac{a^3}{27}$。（注意：此题实际求的是"使乘积最小"，但由对称性和边界分析，等分时取到极值。）

$f'_x = e^{x^2-y}\big[2x(5-2x+y) - 2\big] = 0$，$f'_y = e^{x^2-y}\big[-(5-2x+y) + 1\big] = e^{x^2-y}(2x - y - 4) = 0$。因 $e^{x^2-y}\neq 0$，由第二式 $y = 2x-4$。

代入第一式化简得 $2x - 2 = 0$，即 $x = 1$，$y = -2$。驻点 $(1,-2)$。

经计算二阶偏导，在 $(1,-2)$ 处 $\Delta < 0$，$A > 0$，为极小值点。

极小值 $f(1,-2) = e^{1+2}(5-2-2) = e^3$。

内部驻点：$f'_x = y(4-2x-y) = 0$，$f'_y = x(4-x-2y) = 0$。在内部 $x>1,y>0$ 解得 $x=\dfrac{4}{3},\ y=\dfrac{4}{3}$，函数值 $f = \dfrac{64}{27}$。

边界 $y=0$：$f = 0$。

边界 $x=1$：$f = y(3-y)$，在 $[0,5]$ 上最大 $\dfrac{9}{4}$（$y=\dfrac{3}{2}$），最小 $-10$（$y=5$）。

边界 $x+y=6$：$f = -2x(6-x)$，$f'= -12+4x=0$ 得 $x=3$，$f(3,3)=-18$。

比较所有值：最大值 $\dfrac{64}{27}$，最小值 $-18$。

设 $x,y,z > 0$，约束 $x+y+z=a$，目标 $S = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ 最小。$L = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\lambda(x+y+z-a)$。

$L'_x = -\dfrac{1}{x^2}+\lambda = 0$，$L'_y = -\dfrac{1}{y^2}+\lambda = 0$，$L'_z = -\dfrac{1}{z^2}+\lambda = 0$，得 $x^2 = y^2 = z^2$。

因为 $x,y,z > 0$，所以 $x = y = z = \dfrac{a}{3}$。

三个数都等于 $\dfrac{a}{3}$ 时，倒数之和最小 $S_{\min} = \dfrac{9}{a}$。

$L = \cos x^2 + \cos y^2 + \lambda\!\left(x - y - \dfrac{\pi}{4}\right)$。$L'_x = -2x\sin x^2 + \lambda = 0$，$L'_y = -2y\sin y^2 - \lambda = 0$。

两式相加得 $-2x\sin x^2 - 2y\sin y^2 = 0$。利用对称性，令 $x = -y$，代入约束 $2x = \dfrac{\pi}{4}$，得 $x = \dfrac{\pi}{8}$，$y = -\dfrac{\pi}{8}$。

验证满足方程组。此时 $z = 2\cos\dfrac{\pi^2}{64}$。

条件极值 $z = 2\cos\dfrac{\pi^2}{64}$，为极大值（由 $\cos$ 函数性质可知）。