可分离变量方程
及齐次型方程

由 $\dfrac{dy}{dx}=xy$，当 $y\neq 0$ 时，可分离为 $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$。

两边积分：$\displaystyle \int \frac{dy}{y}=\int x\,dx$。

得到 $\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+C_1$。

两边取指数：$|y|=e^{C_1}e^{x^2/2}$。

将 $\pm e^{C_1}$ 合并为任意常数 $C$，于是 $y=Ce^{x^2/2}$。

将含 $y$ 的项与 $dy$ 放在一边：$\dfrac{dy}{y}=2x\,dx\quad (y\neq 0)$。

两边积分，得 $\ln|y|=x^2+C_1$。

取指数，得 $|y|=e^{C_1}e^{x^2}$。

把符号与正常数一起并入常数，记为 $C$，于是 $y=Ce^{x^2}$。

先分组：$1+x+y^2+xy^2=(1+x)+y^2(1+x)=(1+x)(1+y^2)$。

于是原方程化为 $\dfrac{dy}{dx}=(1+x)(1+y^2)$。

分离变量：$\dfrac{dy}{1+y^2}=(1+x)dx$。

两边积分，得 $\arctan y=x+\dfrac{x^2}{2}+C$。

两边取正切，得到 $y=\tan\!\left(x+\dfrac{x^2}{2}+C\right)$。

若 $y\neq 0$，则 $y^{-2}dy=2x\,dx$。

两边积分：$\displaystyle \int y^{-2}dy=\int 2x\,dx$。

得到 $-\dfrac{1}{y}=x^2+C_1$。

重新记常数，化为 $\dfrac{1}{y}=C-x^2$。

所以非零解为 $y=\dfrac{1}{C-x^2}$。

移项得 $y(x^2-1)dy=-x(y^2-1)dx$。

两边分别除以 $(y^2-1)(x^2-1)$，得 $\dfrac{y}{y^2-1}dy=-\dfrac{x}{x^2-1}dx$。

两边积分：$\dfrac12\ln|y^2-1|=-\dfrac12\ln|x^2-1|+C$。

同乘 $2$ 并整理：$\ln|y^2-1|+\ln|x^2-1|=C_1$。

指数化，得 $(x^2-1)(y^2-1)=C$。

原方程化为 $x\ln x\cdot y'=y$，所以 $y'=\dfrac{y}{x\ln x}$。

分离变量：$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x\ln x}$。

两边积分，得 $\ln|y|=\ln|\ln x|+C_1$。

合并常数，得 $y=C\ln x$。

移项并分离：$(x+2)dy=-xy\,dx\Rightarrow \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{x}{x+2}dx$。

先化简分式：$\dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2}$。

因此 $\ln|y|=\int\left(-1+\dfrac{2}{x+2}\right)dx$。

积分得 $\ln|y|=-x+2\ln|x+2|+C_1$。

指数化并整理常数，得 $y=C(x+2)^2e^{-x}$。

令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$，并且 $y'=u+xu'$。

原方程右端可写成 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac yx+\dfrac xy=u+\dfrac1u$。

代入原方程：$u+xu'=u+\dfrac1u$，所以 $xu'=\dfrac1u$。

分离变量：$u\,du=\dfrac{dx}{x}$。

两边积分：$\dfrac{u^2}{2}=\ln|x|+C_1$。

回代得 $\left(\dfrac{y}{x}\right)^2=2\ln|x|+C$。

令 $y=ux$，则 $y'=u+xu'$。

代入得 $u+xu'=1+u$，于是 $xu'=1$。

两边除以 $x$，得 $u'=\dfrac{1}{x}$。

积分得 $u=\ln|x|+C$。

回代 $u=\dfrac{y}{x}$，所以 $\dfrac{y}{x}=\ln|x|+C$。