标准形式
$y'+P(x)y=Q(x)$
未知函数只允许出现 $y$ 与 $y'$ 的一次项；不出现 $y^2$、$yy'$、$\sin y$、$y\ln y$。
是
$y'+2xy=e^x$
$y'+2xy=e^x$
整理后是
$xy'+2y=x^2$
$xy'+2y=x^2$
不是
$y'=xy^2$
$y'=xy^2$
若 $y'$ 前面有系数，必须先除以该系数，化成 $y'+P(x)y=Q(x)$。
$P(x)=3x^2$。
套齐次公式：$y=Ce^{-\int3x^2dx}$。
$\int3x^2dx=x^3$。
标准形式：$y'+\dfrac2x y=x$。
$P(x)=\dfrac2x$，$Q(x)=x$。
$e^{-\int Pdx}=e^{-2\ln|x|}=x^{-2}$。
$\int Qe^{\int Pdx}dx=\int x\cdot x^2dx=\int x^3dx=\dfrac{x^4}{4}$。
$P(x)=2$，$Q(x)=2x$。
$e^{-\int Pdx}=e^{-2x}$。
$\int Qe^{\int Pdx}dx=\int2xe^{2x}dx=e^{2x}\left(x-\dfrac12\right)$。
$P(x)=-\dfrac2x$，$Q(x)=x^2$。
$e^{-\int Pdx}=e^{2\ln|x|}=x^2$。
$e^{\int Pdx}=x^{-2}$，所以 $\int Qe^{\int Pdx}dx=\int x^2\cdot x^{-2}dx=x$。
标准形式：$y'+\dfrac1x y=x$。
$P(x)=\dfrac1x$，$Q(x)=x$。
$e^{-\int Pdx}=\dfrac1x$，$e^{\int Pdx}=x$。
$\int Qe^{\int Pdx}dx=\int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}$。
$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
$e^{-\int Pdx}=e^{-x}$。
$\int Qe^{\int Pdx}dx=\int1dx=x$。
通解 $y=e^{-x}(x+C)$。
代入 $y(0)=1$，得 $C=1$。
$P(x)=2x$，$Q(x)=2xe^{-x^2}$。
$e^{-\int Pdx}=e^{-x^2}$，$e^{\int Pdx}=e^{x^2}$。
$\int Qe^{\int Pdx}dx=\int2x dx=x^2$。
$P(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$，$Q(x)=1$。
$\int Pdx=\ln(1+e^x)$，所以 $e^{-\int Pdx}=\dfrac1{1+e^x}$。
$\int Qe^{\int Pdx}dx=\int(1+e^x)dx=x+e^x$。