讲授要点
有些问题一开始并不知道函数本身长什么样，但能先说清楚“它变化得有多快”。这时就会遇到微分方程。
先知道变化率，再反过来求函数
它描述的重点不是“某个数等于多少”，而是“函数怎样变化”。求解微分方程，就是根据变化规律把这个函数找出来。
设所求曲线为 $y=f(x)$。由导数的几何意义，曲线在点 $(x,y)$ 处的切线斜率就是 $\dfrac{dy}{dx}$。
题意给出切线斜率等于 $2x$，所以未知函数 $y$ 应满足 $\dfrac{dy}{dx}=2x$。又因为曲线过点 $(1,2)$，所以还满足初始条件 $y\big|_{x=1}=2$。
对 $\dfrac{dy}{dx}=2x$ 两边积分，得 $y=x^2+C$。将 $x=1,y=2$ 代入，得 $2=1+C$，所以 $C=1$。
把 $v$ 看作关于 $t$ 的未知函数，即 $v=v(t)$。
方程中出现了未知函数的导数 $\dfrac{dv}{dt}$，因此它是微分方程。
最高阶导数为一阶导数。
把 $x$ 看作关于 $t$ 的未知函数，即 $x=x(t)$。
方程中出现 $\dfrac{d^4x}{dt^4}$ 与 $\dfrac{d^2x}{dt^2}$，含有未知函数的导数，所以是微分方程。
最高阶导数为 $\dfrac{d^4x}{dt^4}$。
将微分形式改写成导数形式：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x+y^2}$。
方程中含有未知函数 $y$ 的一阶导数 $\dfrac{dy}{dx}$。
没有出现更高阶导数。
该式只含有 $x$ 和 $y$，没有出现 $y'$、$\dfrac{dy}{dx}$ 或 $dy$。
微分方程必须含有未知函数的导数或微分。
式中出现未知函数的一阶导数 $\dfrac{dy}{dx}$。
虽然导数被平方和立方，但判断阶数只看导数本身的最高阶。
方程中含有未知函数 $y$ 的一阶导数 $y'$。
没有出现 $y''$ 或更高阶导数。
对 $y=Cx^2$ 求导，得 $y'=2Cx$。
代入方程左端：$xy'=x\cdot2Cx=2Cx^2$；右端：$2y=2Cx^2$，左右恒等，因此 $y=Cx^2$ 是解。
该方程是一阶方程，$y=Cx^2$ 含一个任意常数 $C$，所以它是通解。
当 $C=1$ 时得到 $y=x^2$，因此 $y=x^2$ 是通解中的一个具体解。
若 $y=\sin x$，则 $y''= -\sin x=-y$，所以它是解。
若 $y=3\sin x-4\cos x$，则 $y''=-3\sin x+4\cos x=-(3\sin x-4\cos x)=-y$，所以它也是解。
方程 $y''=-y$ 是二阶方程，通解应含两个任意常数；这两个函数都不含任意常数。
对 $y=e^x$ 求导，得 $y'=e^x$，而 $2y=2e^x$，二者不恒等，所以 $y=e^x$ 不是解。
对 $y=Ce^{2x}$ 求导，得 $y'=2Ce^{2x}$，而 $2y=2Ce^{2x}$，左右恒等，所以 $y=Ce^{2x}$ 是解。
该方程是一阶方程，$y=Ce^{2x}$ 含一个任意常数。
求导得 $y'=-C_2e^{-x}+x-1$。
再求导得 $y''=C_2e^{-x}+1$。
相加得 $y''+y'=C_2e^{-x}+1-C_2e^{-x}+x-1=x$，所以该函数族满足原方程。
原方程为二阶方程，解中含两个相互独立的任意常数 $C_1,C_2$。
由 $y(0)=C_1=2$，得 $C_1=2$。
求导：$y'=-C_1\sin x+C_2\cos x$。
由 $y'(0)=C_2=-1$，得 $C_2=-1$。
切线斜率等于导数，由题意得 $y'=x^2$。
曲线通过原点，故初始条件为 $y(0)=0$。
积分得 $y=\dfrac{x^3}{3}+C$。
代入 $x=0,y=0$，得 $C=0$。