ODE

二阶常系数线性微分方程

01 标准形式

先认齐次标准形式

标准形式
$y''+py'+qy=0$
$p,q$ 是常数，最高阶是 $y''$，右端是 $0$。
直接写下一步
$r^2+pr+q=0$
把 $y'',y',y$ 的系数抄到特征方程里。
02 通解公式

三类根对应三类通解

特征方程
$r^2+pr+q=0$
不等实根
$r_1\ne r_2$
$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
二重实根
$r_1=r_2=r$
$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
共轭复根
$r=\alpha\pm\beta i$
$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
02A 对应

根的类型与通解形式的对应

例 1
$r^2-4r+3=0$
$r=1,3$
对应 $C_1e^x+C_2e^{3x}$
例 2
$r^2-2r+1=0$
$r=1$ 重根
对应 $(C_1+C_2x)e^x$
例 3
$r^2-4r+13=0$
$r=2\pm3i$
对应 $e^{2x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)$
应先根据特征方程判断根的类型，再写出相应的通解形式。
03 快判

根型判断练习

1
$y''-3y'+2y=0$
不等实根。
2
$y''-2y'+y=0$
二重根。
3
$y''+4y=0$
复根 $(0,2)$。
4
$y''+2y'+5y=0$
复根 $(-1,2)$。
5
$4y''-4y'+y=0$
二重根 $r=\dfrac12$。
6
$y''-6y'+13y=0$
复根 $(3,2)$。
04 例题

例 1

题目
求 $y''-4y'+3y=0$ 的通解。
05 答案

例 1 规范解答

规范解答

特征方程：$r^2-4r+3=0$。

分解：$(r-1)(r-3)=0$，所以 $r_1=1,r_2=3$。

两个不等实根，套公式 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。

通解：$y=C_1e^x+C_2e^{3x}$。
06 例题

例 2

题目
求 $y''-2y'+y=0$ 的通解。
07 答案

例 2 规范解答

规范解答

特征方程：$r^2-2r+1=0$。

即 $(r-1)^2=0$，二重根 $r=1$。

套二重根公式 $y=(C_1+C_2x)e^{rx}$。

通解：$y=(C_1+C_2x)e^x$。
08 例题

例 3

题目
求 $y''-4y'+13y=0$ 的通解。
09 答案

例 3 规范解答

规范解答

特征方程：$r^2-4r+13=0$。

解得 $r=2\pm3i$，即 $\alpha=2,\beta=3$。

套复根公式 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。

通解：$y=e^{2x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)$。
10 例题

例 4

题目
求 $4y''-4y'+y=0$，且 $y(0)=1,\ y'(0)=3$ 的特解。
11 答案

例 4 规范解答

规范解答

特征方程：$4r^2-4r+1=0$，即 $(2r-1)^2=0$。

二重根 $r=\dfrac12$，通解 $y=(C_1+C_2x)e^{x/2}$。

由 $y(0)=1$，得 $C_1=1$。

$y'=\left[C_2+\dfrac12(C_1+C_2x)\right]e^{x/2}$。

由 $y'(0)=3$ 得 $C_2+\dfrac12=3$，所以 $C_2=\dfrac52$。

特解：$y=\left(1+\dfrac52x\right)e^{x/2}$。
12 例题

例 5

题目
求 $y''+2y'+10y=0$，且 $y(0)=1,\ y'(0)=2$ 的特解。
13 答案

例 5 规范解答

规范解答

特征方程：$r^2+2r+10=0$。

解得 $r=-1\pm3i$。

通解 $y=e^{-x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)$。

由 $y(0)=1$，得 $C_1=1$。

$y'(0)=-C_1+3C_2=2$，所以 $C_2=1$。

特解：$y=e^{-x}(\cos3x+\sin3x)$。
14 练习 A

写特征方程

1
$y''-2y'-3y=0$
$r^2-2r-3=0$。
2
$y''+5y'+6y=0$
$r^2+5r+6=0$。
3
$y''-4y'+4y=0$
$r^2-4r+4=0$。
4
$y''+9y=0$
$r^2+9=0$。
5
$4y''-4y'+y=0$
$4r^2-4r+1=0$。
6
$y''+2y'+10y=0$
$r^2+2r+10=0$。
7
$y''-6y'+13y=0$
$r^2-6r+13=0$。
8
$9y''+6y'+y=0$
$9r^2+6r+1=0$。
16 练习 B

判断根的类型

1
$y''-5y'+6y=0$
$r=2,3$，两个不等实根。
2
$y''+4y'+4y=0$
$r=-2$，二重实根。
3
$y''+6y'+13y=0$
$r=-3\pm2i$，共轭复根。
4
$y''+16y=0$
$r=\pm4i$，共轭复根。
5
$y''-8y'+16y=0$
$r=4$，二重实根。
6
$y''+2y'+2y=0$
$r=-1\pm i$，共轭复根。
7
$3y''-y'=0$
$r=0,\dfrac13$，两个不等实根。
8
$y''+y'-2y=0$
$r=1,-2$，两个不等实根。
18 练习 C

直接写齐次通解（1-5）

1
$y''-2y'-3y=0$
$y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x}$。
2
$y''+5y'+6y=0$
$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}$。
3
$y''-4y'+4y=0$
$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$。
4
$y''+9y=0$
$y=C_1\cos3x+C_2\sin3x$。
5
$4y''-4y'+y=0$
$y=(C_1+C_2x)e^{x/2}$。
18A 练习 C

直接写齐次通解（6-10）

6
$y''+2y'+10y=0$
$y=e^{-x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)$。
7
$y''-6y'+13y=0$
$y=e^{3x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。
8
$y''+2y=0$
$y=C_1\cos(\sqrt2x)+C_2\sin(\sqrt2x)$。
9
$y''+6y'+9y=0$
$y=(C_1+C_2x)e^{-3x}$。
10
$y''-y'-2y=0$
$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}$。
20 练习 D

齐次初值题

1
$y''-3y'+2y=0,\ y(0)=1,y'(0)=0$
$y=2e^x-e^{2x}$。
2
$y''-2y'+y=0,\ y(0)=1,y'(0)=3$
$y=(1+2x)e^x$。
3
$y''+2y'+10y=0,\ y(0)=1,y'(0)=2$
$y=e^{-x}(\cos3x+\sin3x)$。
4
$y''+4y=0,\ y(0)=0,y'(0)=2$
$y=\sin2x$。
5
$y''-4y'+4y=0,\ y(0)=2,y'(0)=1$
$y=(2-3x)e^{2x}$。
6
$y''+6y'+9y=0,\ y(0)=1,y'(0)=0$
$y=(1+3x)e^{-3x}$。
22 练习 E

完整导数代入

1
$y=(C_1+C_2x)e^x$，写出 $y'$。
$y'=[C_2+C_1+C_2x]e^x$。
2
$y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$，写出 $y'$。
$y'=e^{-x}\{(-C_1+2C_2)\cos2x+(-2C_1-C_2)\sin2x\}$。
3
$y=(C_1+C_2x)e^{-3x}$，写出 $y'$。
$y'=[C_2-3(C_1+C_2x)]e^{-3x}$。
4
$y=e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)$，写出 $y'$。
$y'=e^{2x}\{(2C_1+C_2)\cos x+(2C_2-C_1)\sin x\}$。
24 练习 F

集中套公式

1
$y''+7y'+12y=0$
$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{-4x}$。
2
$y''-10y'+25y=0$
$y=(C_1+C_2x)e^{5x}$。
3
$y''+2y'+17y=0$
$y=e^{-x}(C_1\cos4x+C_2\sin4x)$。
4
$2y''-5y'-3y=0$
$y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x/2}$。
5
$y''+8y=0$
$y=C_1\cos(2\sqrt2x)+C_2\sin(2\sqrt2x)$。
6
$y''-2y'+5y=0$
$y=e^x(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。
7
$y''+4y'+13y=0$
$y=e^{-2x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)$。
8
$y''-9y=0$
$y=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}$。
26 总结

齐次题固定顺序

一
$y''+py'+qy=0\quad\Rightarrow\quad r^2+pr+q=0$
二
解出 $r$，判断是不等实根、二重根、还是共轭复根。
三
按根型写通解；有初值时，再完整求 $y'$ 并代入。
27 了解

非齐次方程的基本结构

基本结论
$y''+py'+qy=f(x)\quad\Rightarrow\quad y=Y+y^*$
本页只要求认识通解结构：通解 = 对应齐次方程的通解 + 一个特解。
例题
求 $y''+3y'+2y=3x+1$ 的通解。
28 答案

非齐次例题规范解答

规范解答

对应齐次方程特征方程 $r^2+3r+2=0$，根为 $-1,-2$。

$Y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$。

设 $y^*=ax+b$，代入得 $3a+2(ax+b)=3x+1$。

比较系数：$2a=3$，$3a+2b=1$，得 $a=\dfrac32,b=-\dfrac74$。

通解：$y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\dfrac32x-\dfrac74$。