1
$y'=xy$
可用可分离变量方法。
2
$y'=1+\dfrac yx$
可按齐次型处理。
3
$y'+2y=e^x$
属于一阶线性方程。
4
$y''-y=0$
应先写出特征方程。
设物体温度为 $\theta(t)$，其中 $t$ 的单位为秒。冷却速率就是 $\theta'(t)$。
冷却速率与温度差 $\theta(t)-10$ 成正比，且温度下降，所以取负号：$\theta'(t)=-k[\theta(t)-10]$，$k>0$。初始条件为 $\theta(0)=200$。
解初值问题 $\theta'=-k(\theta-10)$，得 $\theta(t)=10+190e^{-kt}$。
由 $\theta(40)=100$，得 $100=10+190e^{-40k}$，即 $e^{-40k}=\dfrac9{19}$，所以 $k=\dfrac1{40}\ln\dfrac{19}{9}\approx0.01868$。
令 $\theta(t)=20$，则 $20=10+190e^{-kt}$，即 $e^{-kt}=\dfrac1{19}$，所以 $t=\dfrac{\ln19}{k}\approx158$ 秒。
取物体的平衡位置为坐标原点，取 $x$ 轴竖直向下，设物体位移为 $x(t)$。
静止平衡时，重力与弹簧弹力大小相等、方向相反。研究振动时，以平衡位置为原点，可以把重力影响合并到平衡位置中。
弹簧恢复力与位移成正比且方向相反，记为 $-cx$。若有阻尼，阻力与速度成正比且方向相反，记为 $-\mu\dfrac{dx}{dt}$。
由牛顿第二定律，$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-cx-\mu\dfrac{dx}{dt}$。
整理并令 $2\delta=\dfrac{\mu}{m}$，$\omega^2=\dfrac{c}{m}$。
设时刻 $t$ 的人口为 $N(t)$。在 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的时间内，人口增长量近似为 $rN(t)\Delta t$。
写成差分关系：$N(t+\Delta t)-N(t)=rN(t)\Delta t$。
令 $\Delta t\to0$，得到微分方程 $\dfrac{dN}{dt}=rN$。
若 $t=t_0$ 时人口为 $N_0$，则初始条件为 $N(t_0)=N_0$。
分离变量：$\dfrac{dN}{N}=r,dt$。积分并代入初始条件。