第十三章 · 概率论与数理统计

随机变量及其分布

从随机现象到数学模型——用函数描述不确定性

1

随机变量与分布律

2

二项分布与泊松分布

3

均匀·指数·正态分布

4

标准化与查表计算

📐

什么是随机变量

把随机试验的结果"翻译"成数字

核心思想 从事件到数字

          在第一节中，我们用事件（如"正面朝上"）来描述随机试验的结果。但在实际问题中，我们更希望用数字来刻画结果，这样就能进行数学运算。

          随机变量就是这座"桥梁"——它把每个试验结果对应一个实数。

定义随机变量

设样本空间为 \(\Omega\)，对每个样本点 \(\omega \in \Omega\) 都有一个实数 \(X(\omega)\) 与之对应，则称 \(X\) 为随机变量，简记为 \(X\)。

🔑 两大类型

离散型：取值为有限个或可列无限多个（如掷骰子点数 1,2,3,4,5,6）

连续型：取值充满某个区间（如灯泡寿命、零件直径）

随机变量 = 把试验结果"翻译"成数字

📊

离散型随机变量的分布律

完整描述一个离散型随机变量的"概率地图"

定义 分布律（概率分布表）

          设离散型随机变量 \(X\) 的所有可能取值为 \(x_1, x_2, \ldots\)，对应概率为 \(P(X=x_k)=p_k\)，则下表称为 \(X\) 的分布律：
        
          \(X\)\(x_1\)\(x_2\)\(\cdots\)\(x_n\)
\(P\)\(p_1\)\(p_2\)\(\cdots\)\(p_n\)

\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(\cdots\)	\(x_n\)
\(P\)	\(p_1\)	\(p_2\)	\(\cdots\)	\(p_n\)

性质两条基本要求

非负性：每个概率 \(p_k \geqslant 0\)

归一性：所有概率之和 \(\displaystyle\sum_{k} p_k = 1\)

例抛两枚硬币

令 \(X\) = 正面朝上的次数，则：

\(X\)	0	1	2
\(P\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{4}\)

验证：\(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1\) ✓

分布律的直观理解：概率柱状图

💡 理解要点

分布律完整描述了一个离散型随机变量——知道了分布律，就知道了这个随机变量的一切概率信息。所有柱子高度之和恒等于 \(1\)。

🎯

二项分布 \(B(n,p)\)

最重要的离散分布——"n次独立试验中成功k次"的概率

背景 从伯努利试验说起

          伯努利试验：每次试验只有两种结果——"成功"（概率 \(p\)）和"失败"（概率 \(q=1-p\)）。

          把这样的试验独立重复 \(n\) 次，称为 \(n\) 重伯努利试验。

          关键词 独立、重复、每次成功率相同

公式二项分布的分布律

若 \(X \sim B(n,p)\)，即 \(X\) 表示 \(n\) 次独立试验中成功的次数，则：

\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

其中 \(k=0,1,2,\ldots,n\)，组合数 \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

🔍 公式三要素解读

\(\binom{n}{k}\)：从 \(n\) 次中选出哪 \(k\) 次成功的方案数

\(p^k\)：\(k\) 次成功各自的概率相乘

\((1-p)^{n-k}\)：剩下 \(n-k\) 次失败各自的概率相乘

特例 0-1分布

当 \(n=1\) 时，\(B(1,p)\) 称为 0-1分布（伯努利分布），\(X\) 只取 \(0\) 或 \(1\)。

二项分布 \(B(n,p)\) 概率柱状图

\(n=\) 10

\(p=\) 0.30

E(X) = np = 3.0 D(X) = np(1−p) = 2.1

📌 如何判断用二项分布

看到题目满足以下全部条件就用 \(B(n,p)\)：
① 试验重复了 \(n\) 次 ② 每次只有"成功/失败" ③ 各次独立 ④ 每次成功率 \(p\) 相同

✍️

二项分布例题精讲

例题 1 种子发芽率

某种种子的发芽率为 \(0.9\)，播种 \(5\) 粒，求：
（1）恰好 \(4\) 粒发芽的概率
（2）至少 \(4\) 粒发芽的概率

第1步建立模型

每粒种子是否发芽是一次伯努利试验，"成功"= 发芽，\(p=0.9\)。
\(5\) 粒独立播种，令 \(X\) = 发芽粒数，则 \(X \sim B(5, 0.9)\)。

第2步求 \(P(X=4)\)

\(P(X=4) = \binom{5}{4}(0.9)^4(0.1)^1 = 5 \times 0.6561 \times 0.1 = 0.3281\)

第3步求 \(P(X=5)\)

\(P(X=5) = \binom{5}{5}(0.9)^5(0.1)^0 = 1 \times 0.5905 \times 1 = 0.5905\)

第4步 "至少4粒"= 恰好4 + 恰好5

\(P(X \geqslant 4) = P(X=4)+P(X=5) = 0.3281 + 0.5905 = 0.9185\)

💡 解题技巧小结

"至少""至多"类问题，要么逐项加（项数少时），要么用对立事件 \(P(X\geqslant k) = 1-P(X < k)\)（项数多时更方便）。本题"至少4粒"只需算两项 \(P(X=4)+P(X=5)\)，直接加更快。

\(B(5,0.9)\) 概率分布图

例题 2 射击命中

某射手命中率为 \(0.6\)，独立射击 \(5\) 次。求恰好命中 \(3\) 次和至少命中 \(1\) 次的概率。

解：\(X \sim B(5,0.6)\)。
\(P(X=3) = \binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2 = 10 \times 0.216 \times 0.16 = 0.3456\)
\(P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1-\binom{5}{0}(0.6)^0(0.4)^5 = 1-0.01024 = 0.9898\)

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泊松分布 \(P(\lambda)\)

"稀有事件"的概率模型

直觉 泊松分布描述什么？

          泊松分布用来描述在一段时间或空间内，某稀有事件发生的次数。例如：
          
一天内某电话总机接到的呼叫次数
一页书中的印刷错误个数
某时刻需要维修的机器台数

公式泊松分布的分布律

若 \(X \sim P(\lambda)\)，则：

\(P(X=k)=\dfrac{\lambda^k \mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}\)

其中 \(k=0,1,2,\ldots\)，参数 \(\lambda > 0\)。

定理泊松定理——二项分布的近似

当 \(n\) 很大、\(p\) 很小时，二项分布 \(B(n,p)\) 可用泊松分布 \(P(\lambda)\) 近似，其中 \(\lambda = np\)：

\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx \dfrac{\lambda^k \mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}\)

经验法则：\(n \geqslant 20\)，\(p \leqslant 0.05\) 时近似效果好。

📊 数字特征

\(E(X) = \lambda\)，\(D(X) = \lambda\)

泊松分布的期望和方差都等于参数 \(\lambda\)，十分简洁。

泊松分布 \(P(\lambda)\) 概率柱状图

\(\lambda=\) 3.0

E(X) = λ = 3.0 D(X) = λ = 3.0

例题 3 机器维修

\(200\) 台机器，每台在某时刻需维修的概率为 \(0.01\)。求恰好 \(3\) 台需维修的概率。

解：\(n=200\)，\(p=0.01\)，\(n\) 大 \(p\) 小，用泊松近似。
取 \(\lambda = np = 200 \times 0.01 = 2\)，
\(P(X=3)=\dfrac{2^3 \mathrm{e}^{-2}}{3!}=\dfrac{8 \times 0.1353}{6} \approx 0.180\)

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连续型随机变量

从"概率柱状图"到"概率密度曲线"

核心概念 概率密度函数

          若存在非负可积函数 \(f(x)\)，使得随机变量 \(X\) 的分布函数可以写成：
        
          \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t\)
        
          则称 \(X\) 为连续型随机变量，\(f(x)\) 称为概率密度函数（PDF）。

性质密度函数的两条基本性质

非负性：\(f(x) \geqslant 0\)

归一性：\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1\)（曲线下总面积为 1）

🔑 关键理解

\(P(a < X \leqslant b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) = 曲线下 \([a,b]\) 的面积

连续型随机变量取单个值的概率为 \(0\)：\(P(X=a)=0\)

因此 \(P(a < X < b) = P(a \leqslant X \leqslant b)\)，端点取不取等无所谓

概率 = 密度曲线下的面积

⚠️ 常见误区

\(f(x)\) 不是概率！它可以大于 \(1\)。概率是曲线下的面积，面积才恒 \(\leqslant 1\)。
例如均匀分布 \(U(0, 0.5)\) 的密度函数 \(f(x) = 2\)（在区间内），大于1但总面积仍为1。

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均匀分布与指数分布

两种常见的连续型分布

均匀分布 \(X \sim U(a,b)\)

密度函数：\(f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)

\(E(X)=\dfrac{a+b}{2}\) \(D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)

均匀分布 \(U(1,4)\) 的密度函数

💡 直观理解

均匀分布表示 \(X\) 落在 \([a,b]\) 内任何等长小区间上的概率都相同——"均匀"二字名副其实。

指数分布 \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\)

密度函数：\(f(x) = \begin{cases} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}\)

\(E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\) \(D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\)

不同参数 \(\lambda\) 的指数分布

特性无记忆性

指数分布特有的性质：\(P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)\)
直观理解：一个灯泡已经用了 \(s\) 小时，它还能再用 \(t\) 小时的概率，和一个新灯泡用 \(t\) 小时的概率完全一样——仿佛"不记得"自己已经用了多久。

🔔

正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)

最重要的连续分布——"钟形曲线"

定义正态分布的密度函数

若 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则其密度函数为：

\(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

其中 \(-\infty < x < +\infty\)，参数 \(\mu\) 为均值，\(\sigma > 0\) 为标准差。

🔑 两个参数的作用
\(\mu\)（均值）：决定钟形曲线的中心位置——曲线关于 \(x=\mu\) 对称
\(\sigma\)（标准差）：决定曲线的胖瘦——\(\sigma\) 越小越高越瘦，\(\sigma\) 越大越矮越胖

📊 数字特征

\(E(X) = \mu\)，\(D(X) = \sigma^2\)

🌍 为什么正态分布如此重要？

自然界和社会中大量随机现象近似服从正态分布：身高、体重、考试成绩、测量误差、零件尺寸……中心极限定理告诉我们，大量独立随机因素的叠加效果趋于正态分布。

不同参数的正态分布曲线

\(\mu=\) 0

\(\sigma=\) 1.0

参数对曲线形状的影响

🔄

标准化与标准正态分布

把任意正态分布"统一翻译"成标准正态分布来计算

核心 标准正态分布 \(N(0,1)\)

          当 \(\mu=0, \sigma=1\) 时的正态分布称为标准正态分布。

          密度函数记为 \(\varphi(x)\)，分布函数记为 \(\Phi(x)\)。

          \(\Phi(x)\) 的值已被制成标准正态分布表，可直接查表。

关键公式标准化变换

若 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，令 \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)，则 \(Z \sim N(0,1)\)。

于是任何正态概率都可以用 \(\Phi\) 来计算：

\(P(a < X \leqslant b) = \Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)

性质 \(\Phi(x)\) 的对称性

由于标准正态密度关于 \(x=0\) 对称：

\(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\)

所以查表只需正值即可。负值通过此公式转化。

标准化过程动画演示

📏

\(3\sigma\) 法则与查表方法

正态分布最实用的定量结论

重要 \(3\sigma\) 法则

若 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)，则：

\(P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0.6826\)

\(P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0.9544\)

\(P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0.9974\)

💡 \(3\sigma\) 法则的意义

          \(X\) 落在 \((\mu-3\sigma,\,\mu+3\sigma)\) 之外的概率不到 \(0.3\%\)——几乎不可能发生。这就是工程和质量管理中"六西格玛"的理论基础。

📋 常用 \(\Phi(z)\) 值速查

\(z\)	0.0	0.5	1.0	1.6	2.0	2.4	3.0
\(\Phi(z)\)	0.500	0.692	0.841	0.945	0.977	0.992	0.999

常用分位数：\(z_{0.05}=1.645\)，\(z_{0.025}=1.96\)，\(z_{0.005}=2.576\)

\(3\sigma\) 法则可视化

✍️

正态分布计算——例题精讲

例题 4 电子元器件寿命

某电子元器件寿命 \(X \sim N(160, 20^2)\)（单位：小时），求：
（1）\(P(X > 180)\)
（2）\(P(140 < X < 180)\)

第1步确认参数

\(\mu = 160\)，\(\sigma = 20\)

第2步求 \(P(X>180)\)

先标准化：\(P(X>180) = 1 - P(X \leqslant 180) = 1 - \Phi\!\left(\dfrac{180-160}{20}\right) = 1 - \Phi(1)\)

查表：\(\Phi(1) = 0.8413\)

第2步续得到结果

\(P(X > 180) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)

第3步求 \(P(140 < X < 180)\)

\(P(140 < X < 180) = \Phi\!\left(\dfrac{180-160}{20}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{140-160}{20}\right)\)
\(= \Phi(1) - \Phi(-1)\)

第3步续利用对称性

\(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)

\(P(140 < X < 180) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826\)

验证这恰好是 \((\mu-\sigma,\;\mu+\sigma)\) 的概率，与 \(3\sigma\) 法则中 \(68.26\%\) 一致！

\(N(160, 20^2)\) 概率示意图

📝 解题模板（三步法）

① 标准化：将 \(X\) 转化为 \(Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}\)，写出 \(\Phi(\cdot)\) 的形式
② 查表：从标准正态分布表中查出 \(\Phi(z)\) 的值
③ 处理负值：若 \(z<0\)，用对称性 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) 转化

✍️

更多例题

例题 5 标准正态分布计算

设 \(X \sim N(0,1)\)，求 \(P(X \leqslant 1.6)\) 和 \(P(-1.2 < X \leqslant 2)\)。

解 (1)

\(P(X \leqslant 1.6) = \Phi(1.6) = 0.9452\)（直接查表）

解 (2)

\(P(-1.2 < X \leqslant 2) = \Phi(2) - \Phi(-1.2)\)
\(= \Phi(2) - [1 - \Phi(1.2)]\)
\(= 0.9772 - (1 - 0.8849)\)
\(= 0.9772 - 0.1151 = 0.8621\)

例题 6 等候时间

等候时间 \(X \sim U(0,5)\)（单位：分钟），求等候不超过 \(3\) 分钟的概率。

解

\(P(X \leqslant 3) = \displaystyle\int_0^3 \dfrac{1}{5-0}\,\mathrm{d}x = \dfrac{3}{5} = 0.6\)

例题 7 灯泡寿命（指数分布）

灯泡寿命服从指数分布，平均寿命 \(2000\) 小时，求寿命超过 \(3000\) 小时的概率。

解

\(E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 2000\)，故 \(\lambda = 0.0005\)。
\(P(X > 3000) = \mathrm{e}^{-\lambda \cdot 3000} = \mathrm{e}^{-1.5} \approx 0.2231\)

例题 8 零件合格率

          零件直径 \(X \sim N(20, 0.1^2)\)（mm），合格范围 \(19.6 \sim 20.4\) mm，求合格率。

解：\(\mu=20\)，\(\sigma=0.1\)
合格率 \(= P(19.6 < X < 20.4)\)
\(= \Phi\!\left(\dfrac{20.4-20}{0.1}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{19.6-20}{0.1}\right)\)
\(= \Phi(4) - \Phi(-4) \approx 1 - 0 = 1\)

结论合格率几乎为 \(100\%\)，因为 \(4\sigma\) 范围内概率极高。

例题 9 泊松分布应用

          某地区年水灾次数 \(X \sim P(0.4)\)，求不发生水灾和发生 \(2\) 次以上水灾的概率。

解：\(\lambda = 0.4\)
\(P(X=0) = \dfrac{0.4^0 \mathrm{e}^{-0.4}}{0!} = \mathrm{e}^{-0.4} \approx 0.6703\)
\(P(X=1) = \dfrac{0.4^1 \mathrm{e}^{-0.4}}{1!} = 0.4 \times 0.6703 \approx 0.2681\)
\(P(X=2) = \dfrac{0.4^2 \mathrm{e}^{-0.4}}{2!} = \dfrac{0.16 \times 0.6703}{2} \approx 0.0536\)
\(P(X > 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)\)
\(\approx 1 - 0.6703 - 0.2681 - 0.0536 = 0.0080\)

📝

课堂练习（一）

练习 1 二项分布基础

设 \(X \sim B(6, 0.4)\)，求 \(P(X=2)\)、\(P(X \leqslant 1)\)、\(E(X)\) 和 \(D(X)\)。

解

\(P(X=2) = \binom{6}{2}(0.4)^2(0.6)^4 = 15 \times 0.16 \times 0.1296 = 0.3110\)

\(P(X \leqslant 1) = P(X=0) + P(X=1)\)
\(= \binom{6}{0}(0.4)^0(0.6)^6 + \binom{6}{1}(0.4)^1(0.6)^5\)
\(= 0.0467 + 0.1866 = 0.2333\)

\(E(X) = np = 6 \times 0.4 = 2.4\)
\(D(X) = np(1-p) = 6 \times 0.4 \times 0.6 = 1.44\)

练习 2 正态分布查表

设 \(X \sim N(3, 4)\)，求 \(P(X \leqslant 5)\)、\(P(1 < X \leqslant 5)\)、\(P(X > 5)\)。

解

\(\mu=3\)，\(\sigma^2=4\)，\(\sigma=2\)
\(P(X \leqslant 5) = \Phi\!\left(\dfrac{5-3}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413\)

\(P(1 < X \leqslant 5) = \Phi(1) - \Phi\!\left(\dfrac{1-3}{2}\right) = \Phi(1) - \Phi(-1)\)
\(= 0.8413 - (1-0.8413) = 0.6826\)

\(P(X > 5) = 1 - \Phi(1) = 0.1587\)

练习 3 正态分布求 \(\Phi\) 的反问题

设 \(X \sim N(1, 4)\)，求 \(P(X \leqslant 3)\) 和 \(P(|X-1| \leqslant 2)\)。

解

\(\mu=1\)，\(\sigma=2\)
\(P(X \leqslant 3) = \Phi\!\left(\dfrac{3-1}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413\)

\(P(|X-1| \leqslant 2) = P(-1 < X < 3)\)
\(= \Phi\!\left(\dfrac{3-1}{2}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{-1-1}{2}\right)\)
\(= \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.6826\)

练习 4 指数分布应用

灯泡寿命服从指数分布，平均寿命 \(2000\) h，求超 \(3000\) h 的概率。

解

\(E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 2000\)，\(\lambda = 0.0005\)。
\(P(X > 3000) = \mathrm{e}^{-0.0005 \times 3000} = \mathrm{e}^{-1.5} \approx 0.2231\)

📝

课堂练习（二）

练习 5 零件合格率

零件直径 \(X \sim N(20, 0.1^2)\)（mm），合格范围 \(19.6 \sim 20.4\) mm，求合格率。

解

合格率 \(= P(19.6 < X < 20.4)\)
\(= \Phi\!\left(\dfrac{20.4-20}{0.1}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{19.6-20}{0.1}\right)\)
\(= \Phi(4) - \Phi(-4) = 2\Phi(4) - 1\)

由于 \(\Phi(3) = 0.9987\)，\(\Phi(4)\) 更接近 \(1\)，合格率几乎为 \(100\%\)。

练习 6 泊松分布

某地年水灾次数 \(X \sim P(0.4)\)，求不发生水灾和发生 \(2\) 次以上的概率。

解

\(P(X=0)=\mathrm{e}^{-0.4}\approx 0.6703\)
\(P(X=1)=0.4\mathrm{e}^{-0.4}\approx 0.2681\)
\(P(X=2)=\dfrac{0.16\mathrm{e}^{-0.4}}{2}\approx 0.0536\)
\(P(X>2)=1-0.6703-0.2681-0.0536\approx 0.008\)

练习 7 正态分布综合

设 \(X \sim N(1, 4)\)，求 \(P(X \leqslant 3)\) 和 \(P(|X-1| \leqslant 2)\)。

解

\(\mu=1,\;\sigma=2\)
\(P(X \leqslant 3) = \Phi\!\left(\dfrac{3-1}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413\)

\(|X-1|\leqslant 2\) 等价于 \(-1 < X < 3\)，所以
\(P(|X-1|\leqslant 2) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1)-1 = 0.6826\)

📌 正态分布常见题型总结

类型一：直接求 \(P(a < X < b)\) → 标准化后查表

类型二：含绝对值 \(P(|X-\mu| < c)\) → 转化为区间后标准化

类型三：求"至少""至多" → 利用 \(P(X>a)=1-\Phi(\cdot)\)

类型四：已知概率反求参数 → 利用 \(\Phi\) 表反查

📝

补充例题 1

二项分布概率计算

题目

设 \(X \sim B(10, 0.3)\)，求 \(P(X=3)\)。

解题过程

由二项分布概率公式：\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

代入 \(n=10, k=3, p=0.3\)：

\(P(X=3) = C_{10}^3 (0.3)^3 (0.7)^7 = 120 \times 0.027 \times 0.0824 \approx 0.2668\)

📝

补充例题 2

标准正态分布概率计算

题目

设 \(X \sim N(0,1)\)，求 \(P(-1 \leqslant X \leqslant 1)\)。

解题过程

标准正态分布，直接利用分布函数 \(\Phi\)：
\(P(-1 \leqslant X \leqslant 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)\)
由对称性：\(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)\)

\(P(-1 \leqslant X \leqslant 1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826\)

📋

本节小结

随机变量及其分布 · 核心公式速览

🎲 离散型分布

二项分布 \(B(n,p)\)：
\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)

泊松分布 \(P(\lambda)\)：
\(P(X=k)=\dfrac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}\)
\(E(X)=\lambda\)，\(D(X)=\lambda\)

近似 \(n\) 大 \(p\) 小时 \(B(n,p)\approx P(np)\)

〰️ 连续型分布

均匀分布 \(U(a,b)\)：
\(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\)，\(E=\dfrac{a+b}{2}\)

指数分布 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)：
\(f(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\)，\(E=\dfrac{1}{\lambda}\)
无记忆性

正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)：
\(\mu\) 定位置，\(\sigma\) 定胖瘦
\(E=\mu\)，\(D=\sigma^2\)

🔄 标准化方法

若 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)：
\(Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)

\(P(a
对称性：\(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)

\(3\sigma\) 法则：
\(1\sigma \to 68.3\%\)
\(2\sigma \to 95.4\%\)
\(3\sigma \to 99.7\%\)

💡 解题思路

① 识别分布类型
② 写出对应公式
③ 正态必标准化
④ 查表得结果