第四节

数理统计基础

总体与样本 · 样本均值 · 样本方差

1

从概率到统计 —— 为什么需要数理统计？

在前面的学习中，我们学习了概率论：已知分布 → 推算结果的可能性。例如已知一枚硬币正面概率为 $\frac{1}{2}$ ，可以算出抛10次恰好5次正面的概率。

但实际中，我们往往不知道分布！比如：一批灯泡的平均寿命是多少？某药物的治愈率是多少？这时候就需要数理统计：从数据出发，反推总体的特征。

概率论（正问题）

已知分布 $\longrightarrow$ 推算概率

数理统计（逆问题）

观测数据 $\longrightarrow$ 推断分布

2

总体与个体

总体：研究对象的某项数量指标的全体，记为 $X$。
个体：总体中的每一个研究对象。
总体容量：总体中包含的个体总数，记为 $N$ 。

关键理解：总体可以看成一个随机变量 $X$ ，它有自己的分布。我们的目标是通过抽样来了解这个分布的特征（如均值 $\mu$ 、方差 $\sigma^2$）。

🔍 具体例子

场景	总体	个体
检查灯泡寿命	全部灯泡的寿命	每个灯泡的寿命
了解学生身高	全部学生的身高	每个学生的身高
零件直径检测	全部零件的直径	每个零件的直径

⚠️ 注意：总体关注的是数量指标（如寿命、身高、直径），而不是对象本身。所以总体 $X$ 就是一个随机变量。

3

样本与抽样

样本：从总体中抽取的 $n$ 个个体 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 称为样本，$n$ 称为样本容量。
实际观测后得到的具体数值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 称为样本观测值。

简单随机样本需要满足两个条件：
① 代表性：每个 $X_i$ 与总体 $X$ 同分布（抽到的能代表整体）；
② 独立性：$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立（每次抽取互不影响）。

✅ 通俗理解：想知道一锅汤咸不咸，不需要把整锅喝完——搅匀后尝一勺就够了。这一勺就是"样本"，整锅汤就是"总体"。

4

统计量 —— 从样本提取信息

统计量：样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的函数（不含任何未知参数），称为统计量。

有了样本数据之后，我们需要对数据进行"加工"来提取有用的信息。最常用的两个统计量是：

📊 样本均值

$\bar{X} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i$

反映数据的"中心位置"

📐 样本方差

$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

反映数据的"波动程度"

5

样本均值 —— 数据的"重心"

$\bar{X} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

样本均值就是把所有数据加起来再除以个数——和我们熟悉的"平均数"完全一样。它用来估计总体的均值 $\mu = E(X)$ 。

重要性质

无偏性：$E(\bar{X}) = \mu$
样本均值的期望恰好等于总体均值，没有系统偏差。

方差递减：$D(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$
样本量 $n$ 越大，$\bar{X}$ 的波动越小，估计越精确。

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例题 —— 计算样本均值

例　随机抽取10只灯泡，测得寿命（单位：小时）如下：
1050, 980, 1100, 1020, 1080, 950, 1060, 1000, 1030, 1070
求这组数据的样本均值 $\bar{x}$ 。

第一步：确认样本容量
共有 $n = 10$ 个数据。

第二步：求和
$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_i = 1050 + 980 + 1100 + 1020 + 1080 + 950 + 1060 + 1000 + 1030 + 1070 = 10340$

第三步：代入公式
$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i = \dfrac{10340}{10} = 1034$

        结论：这10只灯泡的样本均值为 $\bar{x} = 1034$ 小时。这意味着我们估计这批灯泡的平均寿命大约为 1034 小时。
      

7

样本方差 —— 数据的"离散程度"

$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

样本方差衡量数据围绕均值的波动大小。方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。
样本标准差为 $S = \sqrt{S^2}$，与原始数据量纲相同，更便于直观理解。

⚠️ 公式中除以的是 $n-1$ 而不是 $n$！这是本节的重点，下一页将详细解释原因。

8

为什么除以 n−1 ？—— 无偏性

这是同学们最常问的问题！我们来仔细看看。

❌ 如果除以 n

$\tilde{S}^2 = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

$E(\tilde{S}^2) = \dfrac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$　偏小！

✅ 除以 n−1

$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$

$E(S^2) = \sigma^2$　刚好！无偏！

无偏性是指：如果我们反复抽样、反复计算 $S^2$，那么 $S^2$ 的平均值恰好等于总体方差 $\sigma^2$，没有系统性偏差。

9

交互实验 —— 亲眼看到无偏性

从总体 $N(100, 25)$（均值 $\mu=100$，方差 $\sigma^2=25$）中反复抽样，比较除以 $n$ 和除以 $n-1$ 的结果。

样本量 $n$： 5

已抽样：0 次

📈 累计统计

除以 $n$ 的均值：—

除以 $n-1$ 的均值：—

总体真实方差 $\sigma^2$：25

💡 多次抽样后观察：红线（除以 $n$）总是低于蓝虚线（真值），而绿线（除以 $n-1$）会趋向蓝虚线。

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样本方差的简化计算公式

在实际计算中，逐个算 $(x_i - \bar{x})^2$ 再求和比较麻烦，我们常用下面的简化公式：

$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$

推导过程（了解即可）：
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + n\bar{x}^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2$
其中用到了 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i = n\bar{x}$

✅ 计算步骤：① 算出 $\bar{x}$　→　② 算出 $\displaystyle\sum x_i^2$（每个数据平方再求和）　→　③ 代入简化公式

⚠️ 牢记：样本方差 $S^2$ 除以的是 $n-1$；样本均值 $\bar{x}$ 除以的是 $n$。不要混淆！

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例题 —— 计算样本均值与样本方差

例　10只灯泡寿命（小时）：1050, 980, 1100, 1020, 1080, 950, 1060, 1000, 1030, 1070 。
求样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $S^2$ 。

Step 1　$n = 10$，先求均值：$\bar{x} = \dfrac{1050 + 980 + \cdots + 1070}{10} = \dfrac{10340}{10} = 1034$

Step 2　计算每个 $x_i^2$ 并求和：
$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_i^2 = 1050^2 + 980^2 + 1100^2 + \cdots + 1070^2 = 10\,693\,800$

Step 3　代入简化公式：
$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\!\left(\displaystyle\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\right) = \dfrac{1}{9}(10\,693\,800 - 10 \times 1034^2)$

Step 4　计算 $n\bar{x}^2 = 10 \times 1034^2 = 10 \times 1\,069\,156 = 10\,691\,560$

Step 5　$S^2 = \dfrac{10\,693\,800 - 10\,691\,560}{9} = \dfrac{2240}{9} \approx 248.9$

        结论：$\bar{x} = 1034$ 小时，$S^2 \approx 248.9$（小时²），$S \approx 15.8$ 小时。

        说明这批灯泡平均寿命约1034小时，各灯泡寿命与均值的偏差大约在15.8小时左右。

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交互可视化 —— 样本直方图与统计量

拖动滑块改变参数，观察从正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 抽样后的直方图及统计量变化。

$\mu$：100

$\sigma$：5

$n$：30

当前样本统计量

样本均值 $\bar{x}$ = —

样本方差 $S^2$ = —

样本标准差 $S$ = —

总体均值 $\mu$ = 100
总体方差 $\sigma^2$ = 25

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题型一 —— 根据数据求样本均值和样本方差

🎯 方法总结：给一组具体数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，先求 $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$，再求 $S^2 = \dfrac{1}{n-1}\!\left(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$ 。

练习1　某食品包装标准重量500g。抽取5袋，测得重量为：$498, 502, 500, 504, 496$（单位：g）。求样本均值和样本方差。

Step 1　$n = 5$

Step 2　$\bar{x} = \dfrac{498 + 502 + 500 + 504 + 496}{5} = \dfrac{2500}{5} = 500$ (g)

Step 3　$\displaystyle\sum x_i^2 = 498^2 + 502^2 + 500^2 + 504^2 + 496^2 = 248\,004 + 252\,004 + 250\,000 + 254\,016 + 246\,016 = 1\,250\,040$

Step 4　$S^2 = \dfrac{1}{4}(1\,250\,040 - 5 \times 500^2) = \dfrac{1\,250\,040 - 1\,250\,000}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$ (g²)

        结论：$\bar{x} = 500$ g，$S^2 = 10$ g²，$S \approx 3.16$ g 。

        样本均值正好等于标准重量，但存在波动，标准差约3.16g。

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题型二 —— 已知统计量反求参数

🎯 方法总结：利用关系式 $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$ 和 $S^2 = \dfrac{1}{n-1}(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2)$，已知其中部分量反推其余。

练习2　已知一组样本数据 $n = 36$，$\bar{x} = 168$ cm，$S = 6$ cm。求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{36}x_i$ 和 $\displaystyle\sum_{i=1}^{36}x_i^2$ 。

Step 1　由 $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$，得 $\displaystyle\sum_{i=1}^{36}x_i = n\bar{x} = 36 \times 168 = 6048$

Step 2　$S^2 = S^2 = 6^2 = 36$

Step 3　由 $S^2 = \dfrac{1}{n-1}(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2)$ 得：
$\displaystyle\sum x_i^2 = (n-1)S^2 + n\bar{x}^2 = 35 \times 36 + 36 \times 168^2 = 1260 + 1\,016\,064 = 1\,017\,324$

        结论：$\displaystyle\sum_{i=1}^{36}x_i = 6048$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{36}x_i^2 = 1\,017\,324$
      

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题型三 —— 矩估计的基本思想

矩估计法（点估计）：用样本的统计量来估计总体的未知参数。
核心思想非常直观：用 $\bar{x}$ 估计 $\mu$，用 $S^2$ 估计 $\sigma^2$ 。

$\hat{\mu} = \bar{x}$，　$\hat{\sigma}^2 = S^2$

为什么能这样估计？因为它们具有无偏性：$E(\bar{X}) = \mu$，$E(S^2) = \sigma^2$。

练习3　某种零件长度（mm）的10个测量值为：15.1, 14.9, 15.2, 15.0, 14.8, 15.3, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9 。试估计该种零件长度的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 。

Step 1　$\bar{x} = \dfrac{15.1 + 14.9 + 15.2 + 15.0 + 14.8 + 15.3 + 15.0 + 14.7 + 15.1 + 14.9}{10} = \dfrac{150.0}{10} = 15.00$

Step 2　$\displaystyle\sum x_i^2 = 15.1^2 + 14.9^2 + \cdots + 14.9^2 = 2250.10$

Step 3　$S^2 = \dfrac{1}{9}(2250.10 - 10 \times 15.00^2) = \dfrac{2250.10 - 2250.00}{9} = \dfrac{0.10}{9} \approx 0.0111$

        结论：$\hat{\mu} = \bar{x} = 15.00$ mm，$\hat{\sigma}^2 = S^2 \approx 0.011$ mm² 。

        说明该零件长度均值约15mm，波动很小（标准差仅约0.1mm），加工精度较高。

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练习 —— 100个零件重量的统计推断

练习4　抽取100个零件，测得重量的样本均值 $\bar{x} = 50.2$ g，样本标准差 $S = 3$ g。
（1）估计总体均值 $\mu$ 和总体方差 $\sigma^2$；
（2）求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}x_i$ 和 $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}x_i^2$ 。

（1）矩估计：$\hat{\mu} = \bar{x} = 50.2$ g，$\hat{\sigma}^2 = S^2 = 3^2 = 9$ g²

（2）求 $\sum x_i$：$\displaystyle\sum_{i=1}^{100}x_i = n\bar{x} = 100 \times 50.2 = 5020$

求 $\sum x_i^2$：由公式 $S^2 = \dfrac{1}{n-1}(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2)$ 得：

$\displaystyle\sum x_i^2 = (n-1)S^2 + n\bar{x}^2 = 99 \times 9 + 100 \times 50.2^2 = 891 + 252\,004 = 252\,895$

        结论：$\hat{\mu} = 50.2$ g，$\hat{\sigma}^2 = 9$ g²，$\sum x_i = 5020$，$\sum x_i^2 = 252\,895$
      

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练习 —— 捉放法估计鱼数（矩估计应用）

练习5　为估计湖中鱼的总数 $N$，先捕100条鱼做标记后放回。过一段时间再捕80条，其中有2条带标记。试估计湖中鱼的总数。

思路：标记鱼在总体中的比例应该和在样本中的比例近似相等——这就是矩估计的思想！

建立等式：总体中标记鱼的比例 $= \dfrac{100}{N}$，样本中标记鱼的比例 $= \dfrac{2}{80}$

令两个比例相等：$\dfrac{100}{N} = \dfrac{2}{80}$，解得 $N = \dfrac{100 \times 80}{2} = 4000$

        结论：估计湖中约有 4000 条鱼。

        这就是著名的"捉放法"，本质上是用样本比例来估计总体比例，是矩估计思想的自然应用。

Ex

补充例题 1：样本均值的分布

题目：从总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，问样本均值 $\bar{X}$ 服从什么分布？

解：由正态分布的可加性和样本均值的定义：
$\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$，其中 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ 独立同分布。
$E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$

结论：$\bar{X} \sim N\!\left(\mu,\, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$

Ex

补充例题 2：计算样本均值与样本方差

题目：有一组样本观测值 $1, 3, 5, 7, 9$，求样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $S^2$。

解：$n = 5$
$\bar{x} = \dfrac{1+3+5+7+9}{5} = \dfrac{25}{5} = 5$
$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{4}$
$= \dfrac{16+4+0+4+16}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$

结果：$\bar{x} = 5$，$S^2 = 10$

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本节小结

📌 核心概念

概念	含义
总体 $X$	研究对象全体的数量指标
样本	从总体中抽取的 $n$ 个独立同分布个体
统计量	样本的函数（不含未知参数）
样本均值 $\bar{X}$	$\dfrac{1}{n}\sum X_i$，估计 $\mu$
样本方差 $S^2$	$\dfrac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$，估计 $\sigma^2$

🔑 关键公式

$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i$
$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\!\left(\displaystyle\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$

⭐ 无偏性

$E(\bar{X}) = \mu$，$E(S^2) = \sigma^2$
除以 $n-1$（而非 $n$）保证方差估计无偏！

⚠️ 易错点：① 样本方差分母是 $n-1$ 不是 $n$；② 简化公式中 $n\bar{x}^2$ 要先平方再乘 $n$；③ 矩估计就是"用样本统计量替代总体参数"。