第三节

随机变量的数字特征

如何用几个关键数字，刻画随机变量的整体行为？
数学期望 方差 标准差 切比雪夫不等式
💡

为什么需要数字特征？

我们已经学过用分布律或概率密度函数来完整描述一个随机变量。但在实际问题中，我们往往不需要知道全部信息，只需要几个关键数字就够了。
甲射手成绩分布
乙射手成绩分布
两位射手的平均成绩都是 7 环，但甲的成绩比较集中（波动小），乙的成绩比较分散（波动大）。用什么数字来区分他们？这就是本节要解决的问题——数学期望衡量"平均水平"，方差衡量"波动大小"。
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一、数学期望 — 定义

定义 · 数学期望

数学期望（均值）反映了随机变量取值的平均水平，记为 E(X)。

离散型

若 X 的分布律为 P(X=x_k)=p_k，则

E(X)=\displaystyle\sum_{k} x_k \, p_k

即每个取值乘以对应概率，再求和

连续型

若 X 的概率密度为 f(x)，则

E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x)\,\mathrm{d}x

即连续求和（积分）的形式

通俗理解：数学期望就是"加权平均值"。每个取值按照它出现的概率来分配权重，概率越大的值对平均值的贡献越大。就像考试的加权平均分一样，权重不同，结果不同。
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数学期望的性质

掌握这四条性质，可以大大简化计算：
1
E(c) = c
常数的期望等于它本身
2
E(cX) = c\,E(X)
常数因子可以提到期望外面
3
E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)
期望的加减 = 加减后的期望（总成立）
4
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
仅当 X, Y 相互独立时成立
特别注意：性质③对任意随机变量都成立，不需要独立条件；而性质④必须在 X 与 Y 独立时才能使用。
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常用分布的数学期望与方差

这张表非常重要，做题时直接查表代入即可，不需要从定义重新推导：
分布记号期望 E(X)方差 D(X)
0-1 分布X \sim B(1,p)pp(1-p)
二项分布X \sim B(n,p)npnp(1-p)
泊松分布X \sim P(\lambda)\lambda\lambda
均匀分布X \sim U(a,b)\dfrac{a+b}{2}\dfrac{(b-a)^2}{12}
指数分布X \sim \text{Exp}(\lambda)\dfrac{1}{\lambda}\dfrac{1}{\lambda^2}
正态分布X \sim N(\mu, \sigma^2)\mu\sigma^2
记忆技巧：泊松分布的期望和方差相等，都等于参数 \lambda；正态分布的两个参数就分别是期望和方差；均匀分布的期望就是区间中点。
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例题 · 求数学期望（分布律型）

例题 1
某商品每件利润 100 元，每天销售量 X 的分布律如下。求每天的平均利润。
X0123
P0.10.30.40.2
第一步：分析思路
平均利润 = 每件利润 × 平均销售量 = 100 \times E(X)，所以先求 E(X)。
第二步：代入定义
E(X) = \displaystyle\sum_{k} x_k \, p_k = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.2
第三步：计算
E(X) = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.6 = 1.7（件）
第四步：得出答案
平均利润 = 100 \times E(X) = 100 \times 1.7 = 170（元）
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二、方差 — 定义与意义

定义 · 方差

方差刻画了随机变量取值对均值的偏离程度（波动大小），记为 D(X)。

D(X) = E\!\left[\left(X - E(X)\right)^2\right]

含义：先算每个取值与均值的偏差，取平方后再求"平均"。

计算公式（常用）
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

这个公式比定义式更方便计算！

标准差
\sigma(X) = \sqrt{D(X)}

标准差与 X 量纲相同，更直观

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方差的性质

1
D(c) = 0
常数没有波动，方差为 0
2
D(cX) = c^2 D(X)
常数提出来要平方（不像期望只提一次）
3
D(X + c) = D(X)
加常数不改变波动程度
4
D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)
独立时，方差相加（注意：减也是加！）
对比记忆：E(cX) = cE(X) 提出 c，而 D(cX) = c^2 D(X) 提出 c^2。方差的性质④中，无论加减都是方差相加，这是因为不确定性不会因为做减法而抵消。
常用推导：由 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 可得 E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2，这在计算中经常用到。
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例题 · 二项分布的期望与方差

例题 2
设 X \sim B(100, 0.8)，求 E(X) 和 D(X)。
分析：这是二项分布 B(n, p)，直接查表：E(X) = np，D(X) = np(1-p)
代入：n = 100,\; p = 0.8
E(X) = 100 \times 0.8 = 80
D(X) = 100 \times 0.8 \times (1 - 0.8) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16
例题 3
设 X \sim N(1, 4)，求 E(X)、D(X)、\sigma(X) 和 P(X \leq 1)。
分析：X \sim N(\mu, \sigma^2) 中，\mu = 1,\; \sigma^2 = 4。
正态分布的期望就是 \mu，方差就是 \sigma^2。
E(X) = \mu = 1，D(X) = \sigma^2 = 4，\sigma(X) = \sqrt{4} = 2
由正态分布的对称性，P(X \leq 1) = P(X \leq \mu) = 0.5
正态曲线关于 x = \mu 对称，所以左半边面积恰好为 0.5
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例题 · 泊松分布与均匀分布

例题 4
设 X \sim P(2)（泊松分布），求 E(X) 和 D(X)。
分析：泊松分布 P(\lambda) 的特点——期望和方差都等于 \lambda。
\lambda = 2，因此 E(X) = 2，D(X) = 2
例题 5
设 X \sim U(1, 3)（均匀分布），求 E(X) 和 D(X)。
分析：均匀分布 U(a,b)：E(X) = \dfrac{a+b}{2}，D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}
a = 1,\; b = 3，所以 E(X) = \dfrac{1+3}{2} = 2，D(X) = \dfrac{(3-1)^2}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}
例题 6
设 X 服从参数 \lambda = \dfrac{1}{2} 的指数分布，求 E(X) 和 D(X)。
分析：指数分布 \text{Exp}(\lambda)：E(X) = \dfrac{1}{\lambda}，D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}
\lambda = \dfrac{1}{2}，所以 E(X) = \dfrac{1}{1/2} = 2，D(X) = \dfrac{1}{(1/2)^2} = \dfrac{1}{1/4} = 4
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交互实验 · 方差的直观理解

拖动滑块调整 \sigma，观察正态分布曲线的变化——方差越大，曲线越"矮胖"（分散），方差越小，曲线越"高瘦"（集中）：
0
1
E(X) = \mu = 0
D(X) = \sigma^2 = 1
\sigma(X) = 1
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例题 · 利用性质求 E(X) 和 D(X)

例题 7
设 X \sim B(10, 0.6)，求 E(3X+5) 和 D(3X+5)。
第一步：先求 E(X) 和 D(X)
X \sim B(10, 0.6)：E(X) = np = 10 \times 0.6 = 6，D(X) = np(1-p) = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4
第二步：用期望性质
E(3X+5) = 3E(X) + 5 = 3 \times 6 + 5 = 23
第三步：用方差性质
D(3X+5) = 3^2 \cdot D(X) = 9 \times 2.4 = 21.6
注意：加常数 5 不影响方差，乘常数 3 要平方变成 9

💡 解题套路总结

遇到 E(aX+b) 和 D(aX+b) 类型的题，分两步走：
① 先查表找 E(X) 和 D(X)；② 再用性质：E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b) = a^2 D(X)。
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三、切比雪夫不等式

定理 · 切比雪夫不等式

设随机变量 X 的期望 E(X) = \mu，方差 D(X) = \sigma^2，则对任意 \varepsilon > 0：

P\!\left(\left|X - \mu\right| \geq \varepsilon\right) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

等价形式：P\!\left(\left|X - \mu\right| < \varepsilon\right) \geq 1 - \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

通俗理解：切比雪夫不等式告诉我们，即使不知道 X 的具体分布，只要知道它的期望和方差，就能估计概率。方差越小，X 偏离均值的概率就越小。这是一个"万能不等式"——对任何分布都成立！
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例题 · 切比雪夫不等式的应用

例题 8
设 E(X) = 5，D(X) = 1，估计 P(\left|X - 5\right| \geq 3)。
分析：已知 \mu = E(X) = 5，\sigma^2 = D(X) = 1，\varepsilon = 3。
直接套用切比雪夫不等式 P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
P(|X - 5| \geq 3) \leq \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \approx 0.111
例题 9
设 E(X) = \mu，D(X) = \sigma^2，估计 P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma)。
分析：注意这里求的是"落在区间内"的概率，用等价形式：
P(|X - \mu| < \varepsilon) \geq 1 - \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}，其中 \varepsilon = 3\sigma
P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) = P(|X - \mu| < 3\sigma) \geq 1 - \dfrac{\sigma^2}{(3\sigma)^2} = 1 - \dfrac{\sigma^2}{9\sigma^2} = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}
这说明：对任何分布，至少有 \dfrac{8}{9} \approx 88.9\% 的概率落在 3\sigma 范围内。
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交互实验 · 切比雪夫不等式可视化

拖动 \varepsilon 观察：实际概率（阴影面积）与切比雪夫上界的关系。注意上界总是 ≥ 实际概率。
2σ
切比雪夫上界：P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq 0.25
正态分布实际值：0.0456
对于正态分布，切比雪夫上界往往远大于实际概率——这正体现了切比雪夫不等式的"万能性"：它不依赖特定分布，因此估计比较保守。但当我们只知道期望和方差而不知道具体分布时，它是唯一可用的工具！
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题型一 · 查表直接求期望与方差

方法总结

遇到标准分布，识别分布 → 找参数 → 查表，不需要从定义计算。
查表型
练习1：设 X \sim B(100, 0.8)，求 E(X)、D(X)。
E(X) = np = 100 \times 0.8 = 80，D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16
↓
查表型
练习2：设 X \sim N(1, 4)，求 E(X)、D(X)、\sigma(X)、P(X \leq 1)。
E(X) = \mu = 1，D(X) = \sigma^2 = 4，\sigma(X) = 2，P(X \leq 1) = 0.5（对称性）
↓
查表型
练习3：设 X \sim P(2)，求 E(X)、D(X)。
泊松分布期望和方差都等于 \lambda，所以 E(X) = 2，D(X) = 2
↓
查表型
练习4：设 X \sim U(1, 3)，求 E(X)、D(X)。
E(X) = \dfrac{1+3}{2} = 2，D(X) = \dfrac{(3-1)^2}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}
↓
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题型二 · 利用性质计算

方法总结

遇到 aX + b 的形式，先查表求 E(X), D(X)，再用性质：E(aX+b) = aE(X)+b，D(aX+b) = a^2 D(X)。
性质型
练习5：设 X \sim B(10, 0.6)，求 E(3X+5)、D(3X+5)。
E(X) = 10 \times 0.6 = 6，D(X) = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4
E(3X+5) = 3 \times 6 + 5 = 23，D(3X+5) = 9 \times 2.4 = 21.6
↓
性质型
练习6：设 X \sim N(3, 4)，求 E(2X-1)、D(2X-1)、\sigma(2X-1)。
E(X) = 3，D(X) = 4
E(2X-1) = 2 \times 3 - 1 = 5，D(2X-1) = 4 \times 4 = 16，\sigma(2X-1) = \sqrt{16} = 4
↓
性质型
练习7：设 X \sim \text{Exp}(\dfrac{1}{2})，求 E(X)、D(X)。
E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{1/2} = 2，D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2} = \dfrac{1}{1/4} = 4
↓
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题型三 · 切比雪夫不等式估计概率

方法总结

① 识别出 \mu, \sigma^2, \varepsilon；
② 判断求的是 P(|X-\mu| \geq \varepsilon) 还是 P(|X-\mu| < \varepsilon)；
③ 代入公式。
切比雪夫型
练习8：设 E(X) = 5，D(X) = 1，估计 P(|X - 5| \geq 3)。
\mu = 5，\sigma^2 = 1，\varepsilon = 3
P(|X - 5| \geq 3) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2} = \dfrac{1}{9} \approx 0.111
↓
切比雪夫型
练习9：设 E(X) = \mu，D(X) = \sigma^2，估计 P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma)。
等价于 P(|X - \mu| < 3\sigma)，令 \varepsilon = 3\sigma
P(|X - \mu| < 3\sigma) \geq 1 - \dfrac{\sigma^2}{(3\sigma)^2} = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \approx 0.889
↓
📝

本节小结

数学期望
含义：平均水平
离散型：E(X) = \sum x_k p_k
连续型：E(X) = \int xf(x)\mathrm{d}x
性质：E(aX+b) = aE(X)+b
方差与标准差
含义：波动程度
公式：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
标准差：\sigma = \sqrt{D(X)}
性质：D(aX+b) = a^2 D(X)
切比雪夫不等式
条件：只需 \mu, \sigma^2
公式：P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
特点：对任意分布成立
代价：估计较保守

🔑 解题流程

识别分布
→
查表代入
→
用性质变换
→
得出结果
核心技能：熟记六大分布的 E(X) 和 D(X) 公式 + 灵活运用期望/方差的性质 + 会用切比雪夫不等式估计概率
补充例题

例题 1：二项分布的期望与方差

题目
设 \(X \sim B(n, p)\)，求 \(E(X)\) 和 \(D(X)\)。
解答
\(X\) 可以分解为 \(n\) 个独立的 0-1 分布之和：\(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\)，其中 \(X_i \sim B(1,p)\)。
因为 \(E(X_i) = p\)，\(D(X_i) = p(1-p)\)，由期望和方差的性质：
\(E(X) = nE(X_1) = np\)
\(D(X) = nD(X_1) = np(1-p)\)
补充例题

例题 2：均匀分布的期望与方差

题目
设 \(X\) 服从 \([0, 2]\) 上的均匀分布，求 \(E(X)\) 和 \(D(X)\)。
解答
均匀分布 \(U(a,b)\) 的期望与方差公式：\(E(X) = \dfrac{a+b}{2}\)，\(D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}\)。
代入 \(a=0, b=2\)：
\(E(X) = \dfrac{0+2}{2} = 1\)，\quad \(D(X) = \dfrac{(2-0)^2}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
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