常数项级数的概念与性质

分析：各项绝对值为 $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \cdots = \dfrac{1}{2^0}, \dfrac{1}{2^1}, \dfrac{1}{2^2}, \dfrac{1}{2^3}, \cdots$，符号正负交替。

也可写成等比级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$，首项 $a=1$，公比 $q=-\dfrac{1}{2}$。

分析：分母为 $1, 3, 5, 7, \cdots$，即奇数 $2n-1$，符号全正。

分析：分子为 $\ln 2, \ln 3, \ln 4, \cdots = \ln(n+1)$；分母为 $1\cdot2, 2\cdot3, 3\cdot4, \cdots = n(n+1)$。

分析：分子为 $1, x, x^2, x^3, \cdots = x^{n-1}$；分母两个因子 $1,4,7,10,\cdots$ 和 $4,7,10,13,\cdots$ 都是公差为 $3$ 的等差数列。
第一个因子：$3n - 2$（当 $n=1$ 得 $1$，$n=2$ 得 $4$……）；第二个因子：$3n+1$。

分析：各项绝对值为 $\dfrac{2^n}{n!}$（$n=1,2,3,\cdots$），符号为 $+, -, +, -, \cdots = (-1)^{n-1}$。

识别：这是等比级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{8}{9}\right)^n$，首项 $a = 1$，公比 $q = -\dfrac{8}{9}$。

因为 $|q| = \dfrac{8}{9} < 1$，所以级数✓ 收敛，和为 $\dfrac{1}{1-(-\frac{8}{9})} = \dfrac{1}{\frac{17}{9}} = \dfrac{9}{17}$。

识别：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，这是调和级数的 $\dfrac{1}{3}$ 倍。

调和级数发散，由性质 1（常数倍不改变敛散性），该级数 ✗ 发散

💡 也可用性质 3：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}$ 实际上就是从调和级数中每 $3$ 项取一项。去掉有限项后调和级数仍发散，但这里的解法是取常数倍更直接。

分析：一般项 $u_n = \dfrac{1}{\sqrt[n]{3}} = \dfrac{1}{3^{1/n}}$。当 $n \to \infty$ 时，$3^{1/n} \to 3^0 = 1$，所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 1 \neq 0$。

由性质 5 的逆否命题，级数 ✗ 发散

分析：利用性质 2（逐项加），将其拆为两个级数之和：

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$ 是等比级数，$a = \dfrac{1}{2}$，$q = \dfrac{1}{2}$，$|q|<1$ 收敛，和为 $\dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$。

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ 是等比级数，$a = \dfrac{1}{3}$，$q = \dfrac{1}{3}$，$|q|<1$ 收敛，和为 $\dfrac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}$。

两个级数都收敛，所以原级数 ✓ 收敛，和为 $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$。