在实际计算中，很多函数（如 $e^x$、$\sin x$、$\ln(1+x)$）虽然常见，但直接计算它们在某一点的值并不简单。
🎯 直观理解
我们已经学过：多项式 $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$ 是最容易计算的函数。
如果能把 $e^x$、$\sin x$ 等写成这样的形式，那计算它们只需要做加法和乘法！
如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有各阶导数，那么可以写出它在 $x_0$ 处的泰勒多项式：
当 $n \to \infty$ 时，这个多项式变成无穷级数，称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数：
在泰勒级数中，取 $x_0 = 0$，得到一种最常用的特殊情形——麦克劳林级数：
展开步骤（直接展开法）
将函数 $f(x) = e^x$ 展开成 $x$ 的幂级数。
第一步：求各阶导数。由于 $f(x)=e^x$，所以 $f^{(n)}(x) = e^x$（$n=1,2,3,\cdots$）。
第二步：代入 $x=0$：$f^{(n)}(0) = e^0 = 1$（对所有 $n$ 都成立）。
第三步：写出幂级数，收敛半径 $R = +\infty$：
第四步：可以证明 $|R_n(x)| \leqslant e^{|x|} \cdot \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$，因此展开式在 $(-\infty, +\infty)$ 成立：
将函数 $f(x) = \sin x$ 展开成 $x$ 的幂级数。
求各阶导数：利用 $f^{(n)}(x) = \sin\!\Big(x + n \cdot \dfrac{\pi}{2}\Big)$，代入 $x=0$：
$f^{(n)}(0)$ 按照 $n=0,1,2,3,4,\cdots$ 的顺序循环取值为 $0,\, 1,\, 0,\, -1,\, 0,\, 1,\, 0,\, -1,\, \cdots$
规律：偶数阶导数在 $x=0$ 处值为 $0$（所以偶数次幂的项全部消失），只剩奇数次幂的项。
收敛半径 $R = +\infty$，余项 $|R_n(x)| \leqslant \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$，所以：
将函数 $f(x) = (1+x)^m$ 展开成 $x$ 的幂级数，其中 $m$ 为任意常数。
求各阶导数：
$f'(x)=m(1+x)^{m-1}$，$f''(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2}$，$\cdots$
$f^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(1+x)^{m-n}$
代入 $x=0$：$f(0)=1$，$f^{(n)}(0) = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)$
可以验证余项 $R_n(x)\to 0$，得到二项展开式：
直接按公式逐项求导数计算量大，而且验证余项也很麻烦。更聪明的做法是利用已经知道的展开式，通过求导、积分、变量替换等运算来得到新函数的展开式。
注意：$x=1$ 时级数也收敛（此时 $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$）。
| 序号 | 展开式 | 收敛区间 | 记忆要点 |
|---|---|---|---|
| ① | $\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots$ | $-1 < x < 1$ | 等比级数 |
| ② | $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \cdots$ | $-\infty < x < +\infty$ | 分母 $n!$ |
| ③ | $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots$ | $-\infty < x < +\infty$ | 奇次幂，交替 |
| ④ | $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$ | $-\infty < x < +\infty$ | 偶次幂，交替 |
| ⑤ | $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + \cdots$ | $-1 < x \leqslant 1$ | 分母就是次数 |
| ⑥ | $(1+x)^m = 1 + mx + \dfrac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$ | $-1 < x < 1$ | 二项展开 |
将下列函数展开成 $x$ 的幂级数，并求展开式成立的区间。
思路：已知 $e^t = 1 + t + \dfrac{t^2}{2!} + \cdots + \dfrac{t^n}{n!} + \cdots$，令 $t = 2x$：
思路：先变形 $\ln(a+x) = \ln a + \ln\!\Big(1+\dfrac{x}{a}\Big)$，再利用 $\ln(1+t)$ 的展开式，令 $t=\dfrac{x}{a}$：
思路：利用 $a^x = e^{x\ln a}$，然后在 $e^t$ 的展开式中令 $t = x\ln a$：
思路：已知 $\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}\,x^n$，乘以 $(1+x)$：
先写出 $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$，然后：
$(1+x)\ln(1+x) = \ln(1+x) + x\ln(1+x)$
$= \Big(x - \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots\Big) + x\Big(x - \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots\Big)$
$= x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} + \cdots$，收敛区间 $-1 < x \leqslant 1$
有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算。在展开式有意义的区间内，取前面若干项作为函数值的近似值。
应用一：近似计算数值
利用幂级数取前几项，计算 $\sqrt[5]{245}$、$\sin 9°$ 等难以直接计算的值。
应用二：近似计算定积分
有些定积分的被积函数没有初等函数原函数（如 $e^{-x^2}$），可以先展开成幂级数再逐项积分。
应用三：工程问题
如椭圆周长公式中的积分无法直接计算，用幂级数展开可以得到实用的近似公式。
🔑 误差控制原理
对于交错级数（正负交替、绝对值递减），截断误差不超过被丢弃的第一项的绝对值：
$|r_n| \leqslant |u_{n+1}|$
这意味着：想要误差不超过 $10^{-4}$，只需找到第一个满足 $|u_{n+1}| < 10^{-4}$ 的项，取前 $n$ 项即可。
计算 $\sqrt[5]{245}$ 的近似值（误差不超过 $10^{-4}$）。
第一步：变形。$\sqrt[5]{245} = \sqrt[5]{3^5+2} = \sqrt[5]{3^5 \cdot \Big(1+\dfrac{2}{3^5}\Big)} = 3\Big(1+\dfrac{2}{243}\Big)^{1/5}$
第二步：利用二项展开式 $(1+x)^m = 1+mx+\dfrac{m(m-1)}{2!}x^2+\cdots$
取 $m=\dfrac{1}{5}$，$x=\dfrac{2}{243}$：
$\sqrt[5]{245} = 3\Big[1 + \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{2}{243} - \dfrac{1}{2!}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\Big(\dfrac{1}{5}-1\Big)\cdot\Big(\dfrac{2}{243}\Big)^2 + \cdots\Big]$
第三步：误差估计。从第二项起是交错级数，第二项 $|u_2| = \dfrac{4 \times 2^2}{2\times 5^2\times 3^{10}} \approx \dfrac{8}{25\times 59049} < 10^{-4}$
所以只取前两项就够了：
利用 $\sin x \approx x - \dfrac{x^3}{3!}$ 求 $\sin 9°$ 的近似值，并估计误差。
第一步：化弧度。$9° = \dfrac{\pi}{180}\times 9 = \dfrac{\pi}{20}$ 弧度。
第二步：代入近似公式。
$\sin\dfrac{\pi}{20} \approx \dfrac{\pi}{20} - \dfrac{1}{3!}\Big(\dfrac{\pi}{20}\Big)^3$
取 $\dfrac{\pi}{20}\approx 0.15708$，$\Big(\dfrac{\pi}{20}\Big)^3 \approx 0.003876$
$\sin 9° \approx 0.15708 - \dfrac{0.003876}{6} \approx 0.15708 - 0.000646 \approx 0.15643$
误差估计：截断误差 $|r_2| \leqslant \dfrac{1}{5!}\Big(\dfrac{\pi}{20}\Big)^5 < \dfrac{1}{120}\times(0.2)^5 < \dfrac{1}{300000} < 10^{-5}$
计算 $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^{1/2} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ 的近似值，要求误差不超过 $10^{-4}$。
关键困难：$e^{-x^2}$ 的原函数不是初等函数，无法用牛顿—莱布尼茨公式！
解决方案：在 $e^t=1+t+\dfrac{t^2}{2!}+\cdots$ 中令 $t=-x^2$：
$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2!} - \dfrac{x^6}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{n!}$
逐项积分：
$\displaystyle\int_0^{1/2}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \bigg[\,x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5\cdot 2!}-\dfrac{x^7}{7\cdot 3!}+\cdots\bigg]_0^{1/2}$
$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2^3\cdot 3} + \dfrac{1}{2^5\cdot 5\cdot 2!} - \dfrac{1}{2^7\cdot 7\cdot 3!} + \cdots$
误差估计：这是交错级数，$\dfrac{1}{2^7\cdot 7\cdot 3!} = \dfrac{1}{128\times 42} < \dfrac{1}{5000} < 10^{-4}$
所以取前三项：$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{320} = 0.5-0.04167+0.003125 = 0.46146$
计算 $\displaystyle\int_0^{0.5}\dfrac{1}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$ 的近似值，要求误差不超过 $10^{-4}$。
思路：由 $\dfrac{1}{1+t} = 1-t+t^2-t^3+\cdots$（$|t|<1$），令 $t = x^4$：
$\dfrac{1}{1+x^4} = 1-x^4+x^8-x^{12}+\cdots+(-1)^n x^{4n}+\cdots$
逐项积分：
$\displaystyle\int_0^{0.5}\dfrac{1}{1+x^4}\,\mathrm{d}x = \bigg[x-\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^9}{9}-\dfrac{x^{13}}{13}+\cdots\bigg]_0^{0.5}$
$= 0.5 - \dfrac{(0.5)^5}{5} + \dfrac{(0.5)^9}{9} - \dfrac{(0.5)^{13}}{13} + \cdots$
误差估计：交错级数，逐项检验：
$\dfrac{(0.5)^5}{5} \approx 0.00625$，$\dfrac{(0.5)^9}{9} \approx 0.00022$，$\dfrac{(0.5)^{13}}{13} \approx 0.000009 < 10^{-4}$
取前三项：
在土建工程中，常常遇到计算椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的周长问题。
参数方程：$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$（$0\leqslant\theta\leqslant 2\pi$）
离心率 $c = \dfrac{1}{a}\sqrt{a^2-b^2}$，弧微分为：
$\mathrm{d}s = a\sqrt{1-c^2\cos^2\theta}\,\mathrm{d}\theta$
椭圆周长：$s = 4a\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-c^2\cos^2\theta}\,\mathrm{d}\theta$
困难：$\sqrt{1-c^2\cos^2\theta}$ 的积分不是初等函数（椭圆积分）。用幂级数展开：
由 $\sqrt{1+t} \approx 1+\dfrac{1}{2}t$（取一项近似），令 $t=-c^2\cos^2\theta$：
$\sqrt{1-c^2\cos^2\theta} \approx 1-\dfrac{1}{2}c^2\cos^2\theta$
积分：
$s \approx 4a\displaystyle\int_0^{\pi/2}\Big(1-\dfrac{1}{2}c^2\cos^2\theta\Big)\mathrm{d}\theta = 4a\Big[\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{c^2}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}\Big] = 2\pi a\Big(1-\dfrac{c^2}{4}\Big)$
更精确的近似公式：$s \approx 2\pi a\Big(1-\dfrac{1}{4}c^2-\dfrac{3}{64}c^4\Big)$
观察 $\sin x$ 的幂级数逐项逼近过程——取越多项，在越大范围内与原函数重合
题型一
直接展开法
适用：$e^x$、$\sin x$、$(1+x)^m$ 等基本函数
步骤：求导→代入$x_0=0$→写级数→验余项
特点：计算量大，但思路直接
题型二
间接展开法
适用：$\cos x$、$\ln(1+x)$、$e^{2x}$ 等可由基本公式变换得到
方法：变量替换、求导、积分、四则运算
特点：计算简便，是考试主要方法
题型三
近似计算应用
包括：数值近似 + 定积分近似 + 工程近似
核心：选公式→变形→取项→估误差
关键：交错级数误差估计
📋 间接展开法常用技巧速查：
① 变量替换：如 $e^{2x}$（令 $t=2x$），$\ln(a+x)$（先提 $\ln a$，令 $t=x/a$），$a^x$（写成 $e^{x\ln a}$）
② 逐项求导：如由 $\sin x$ 求导得 $\cos x$
③ 逐项积分：如由 $\dfrac{1}{1+x}$ 积分得 $\ln(1+x)$
④ 乘法/加减：如 $(1+x)\ln(1+x)$ 展开后相乘
一、核心概念
泰勒级数：$f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
麦克劳林级数：取 $x_0=0$ 的特例
成立条件：余项 $R_n(x)\to 0$
二、六个必记公式
$\dfrac{1}{1-x}$、$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln(1+x)$、$(1+x)^m$
（注意各自的收敛区间！）
三、两种展开方法
直接法：求导→代入→写级数→验余项
间接法：变量替换/求导/积分/运算
考试中间接法更常用、更高效
四、三类应用
① 数值近似计算（$\sqrt[5]{245}$、$\sin 9°$）
② 定积分近似计算（$e^{-x^2}$ 积分）
③ 工程应用（椭圆周长公式）
关键技能：交错级数误差估计