常量：始终不变的量（如 $\pi\approx 3.14$，$e\approx 2.718$）。
变量：可取不同数值的量（如时间 $t$、位移 $s$）。
两者是相对的：$g$ 在地球上是常量，跨星球研究时就是变量。
| 名称 | 不等式 | 记号 | 端点 |
|---|---|---|---|
| 闭区间 | $a\leq x\leq b$ | $[a,b]$ | 含双端 ●● |
| 开区间 | $a< x< b$ | $(a,b)$ | 不含 ○○ |
| 半开半闭 | $a\leq x< b$ | $[a,b)$ | 含左 ●○ |
| 半开半闭 | $a< x\leq b$ | $(a,b]$ | 含右 ○● |
规范：$\pm\infty$ 不是数字，涉及无穷的端点必须用圆括号！如 $[a,+\infty)$。
点 $a$ 的 $\delta$ 邻域 $U(a,\delta)=(a-\delta,\,a+\delta)$，即满足 $|x-a|<\delta$ 的全部 $x$。
去心邻域 $\mathring{U}(a,\delta)$：扣除中心点 $a$，即 $0<|x-a|<\delta$。
右邻域 $U_+(a,\delta)=(a,\,a+\delta)$：只看 $a$ 右侧。
左邻域 $U_-(a,\delta)=(a-\delta,\,a)$：只看 $a$ 左侧。
在分析分段函数的极限、连续性时，单侧邻域是必备工具。
(1) $-3< x\leq 5$ → $(-3,5]$
(2) $x\geq 2$ → $[2,+\infty)$
(3) $|x-1|<2$ → $-1< x<3$ → $(-1,3)$（点 $1$ 的 $2$ 邻域）
(4) 点 $a=3$ 的 $\delta=0.5$ 邻域 → $U(3,0.5)=(2.5,3.5)$
设数集 $D\subset\mathbb{R}$，若对每个 $x\in D$，按某对应法则 $f$，都有唯一确定的 $y$ 与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记 $y=f(x)$。
核心两要素：定义域（$x$ 的范围）与对应法则（$f$）。值域由这两者唯一确定，不是独立要素。
关键：一个 $x$ 只能对应一个 $y$（不允许一对多），但多个 $x$ 可对应同一 $y$（多对一允许）。
两函数相等 ⟺ 定义域相同且对应法则相同。
例：$f(x)=x$ 与 $g(x)=\sqrt{x^2}=|x|$，法则不同 → 不相等。
解析法：用公式，如 $y=2x+1$（精确，便于计算）
表格法：列值表，如对数表（查阅方便）
图示法：画曲线，如温度变化图（直观形象）
| 表达式特征 | 限制条件 |
|---|---|
| 分母 $g(x)$ | $g(x)\neq 0$ |
| 偶次根号 $\sqrt{g(x)}$ | $g(x)\geq 0$ |
| 对数 $\ln g(x)$ | $g(x)>0$ |
| $\tan x$ | $x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$ |
关键：列出所有限制条件后取交集！
(1) $y=\frac{1}{x-2}$：$x-2\neq 0$，定义域 $(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$
(2) $y=\sqrt{4-x^2}$：$4-x^2\geq 0$，$-2\leq x\leq 2$，定义域 $[-2,2]$
(3) $y=\ln(x-1)$：$x-1>0$，定义域 $(1,+\infty)$
求 $y=\frac{\ln(5-x)}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域
① 根号内 $x-2>0$（开根号在分母，严格大于 $0$）→ $x>2$
② 对数真数 $5-x>0$ → $x<5$
取交集：$2< x<5$，定义域 $(2,5)$
在定义域不同部分用不同解析式，但整体仍是一个函数。
绝对值函数：$y=|x|=\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}$
符号函数：$y=\mathrm{sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}$
取整函数：$y=[x]$，$[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数。如 $[3.14]=3$，$[-1.5]=-2$。图像呈阶梯状，整数点处跳跃。
$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq 1\\2x-1,&x>1\end{cases}$，求 $f(0)$、$f(1)$、$f(2)$
$f(0)=0^2=0$，$f(1)=1^2=1$，$f(2)=2\times 2-1=3$
租车费：基本 $200$ 元/天 $+15$ 元/千米。$y=200+15x$（$x\geq 0$）
若存在 $M>0$，使得对所有 $x\in I$ 都有 $|f(x)|\leq M$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。
有界例：$|\sin x|\leq 1$，$|\cos x|\leq 1$，$|\arctan x|<\frac{\pi}{2}$
无界例：$y=x^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上无界
设 $x_1< x_2$，$x_1,x_2\in I$：
$f(x_1)< f(x_2)$ → 在 $I$ 上单调递增（上坡）
$f(x_1)> f(x_2)$ → 在 $I$ 上单调递减（下坡）
注意：单调性是对某个区间而言的，同一函数可在不同区间有不同单调性。
例：$y=x^2$ 在 $(-\infty,0)$ 递减，$(0,+\infty)$ 递增。
证明 $f(x)=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增。
设 $x_1< x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3$
$=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2)$
$x_1-x_2<0$，$x_1^2+x_1 x_2+x_2^2>0$，故差 $<0$，即 $f(x_1)
首要前提：定义域必须关于原点对称！否则直接判非奇非偶。
偶函数：$f(-x)=f(x)$ → 图像关于$y$ 轴对称
奇函数：$f(-x)=-f(x)$ → 图像关于原点对称
(1) $f(x)=x^3+x$：$f(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$ → 奇函数
(2) $f(x)=x^2+1$：$f(-x)=x^2+1=f(x)$ → 偶函数
(3) $f(x)=x^3+1$：$f(-x)=-x^3+1\neq\pm f(x)$ → 非奇非偶
(4) $f(x)=\frac{1}{x-1}$：定义域 $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$ 不关于原点对称 → 非奇非偶
若存在 $T\neq 0$，使 $f(x+T)=f(x)$ 恒成立，则 $f$ 为周期函数，最小正 $T$ 为周期。
$\sin x$、$\cos x$ 周期 $2\pi$；$\tan x$、$\cot x$ 周期 $\pi$
$\sin(2x+1)$ 周期为 $\frac{2\pi}{2}=\pi$；一般 $\sin(\omega x+\varphi)$ 周期 $T=\frac{2\pi}{|\omega|}$
$f(x)=x+x^3$：奇函数（$f(-x)=-x-x^3=-f(x)$ ✓）
单调性：设 $x_1< x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+({x_1}^3-{x_2}^3)$
$=(x_1-x_2)\bigl[1+({x_1}^2+x_1 x_2+{x_2}^2)\bigr]$
因 $x_1-x_2<0$ 且 $1+{x_1}^2+x_1 x_2+{x_2}^2>0$，故差 $<0$ → 在 $(-\infty,+\infty)$ 递增 ✓
将 $y=f(x)$ 中 $x$ 反解出来得 $x=f^{-1}(y)$，习惯上交换字母写成 $y=f^{-1}(x)$。
存在条件：原函数在定义域上严格单调。
图像关系：$f$ 与 $f^{-1}$ 关于直线 $y=x$ 对称。
性质：反函数的单调性与原函数相同。
(1) $y=2x+3$，$x\in\mathbb{R}$：反解得 $y=\dfrac{x-3}{2}$，$x\in(-\infty,+\infty)$
(2) $y=e^x$，$x\in\mathbb{R}$：反解得 $y=\ln x$，$x\in(0,+\infty)$
(3) $y=x^2$，$x\geq 0$：反解得 $y=\sqrt{x}$，$x\in[0,+\infty)$
反函数的定义域 = 原函数的值域，必须标注！$y=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不单调，须先限定 $x\geq 0$。
设 $y=f(u)$（外层），$u=\varphi(x)$（内层），则 $y=f[\varphi(x)]$ 为复合函数，$u$ 为中间变量。
存在条件：内层值域与外层定义域有交集。
警告：$f[g(x)]\neq g[f(x)]$，复合顺序不同结果不同！
(1) $y=\sin(x^2)$：外层 $y=\sin u$，内层 $u=x^2$
(2) $y=e^{2x+1}$：外层 $y=e^u$，内层 $u=2x+1$
(3) $y=\ln(\cos x)$：外层 $y=\ln u$，内层 $u=\cos x$
$f(x)=x^2+1$，$g(x)=\sin x$
$f[g(x)]=\sin^2 x+1$，$g[f(x)]=\sin(x^2+1)$ → 结果不同！
$y=\arcsin u$（定义域 $[-1,1]$）与 $u=2+x^2$（值域 $[2,+\infty)$）
$[2,+\infty)\cap[-1,1]=\varnothing$ → 不能复合
$e^{f(x)}$、$\ln f(x)$、$[f(x)]^n$、$\sin f(x)$、$\arctan f(x)$
求导、积分时识别复合结构是链式法则/换元法的基础。
定义域 $(-\infty,+\infty)$，值域 $\{c\}$，图像为平行于 $x$ 轴的水平线
定义域 $(-\infty,+\infty)$，值域 $(0,+\infty)$，恒过点 $(0,1)$
$a>1$ 时递增；$0< a< 1$ 时递减
定义域 $(0,+\infty)$，值域 $(-\infty,+\infty)$，恒过点 $(1,0)$
与指数函数互为反函数，单调性一致
| 属性 | 指数 $y=a^x$ | 对数 $y=\log_a x$ |
|---|---|---|
| 定义域 | $(-\infty,+\infty)$ | $(0,+\infty)$ |
| 值域 | $(0,+\infty)$ | $(-\infty,+\infty)$ |
| 过定点 | $(0,1)$ | $(1,0)$ |
| 关系 | 互为反函数，关于 $y=x$ 对称 | |
所有幂函数在第一象限过定点 $(1,1)$
$\alpha>0$：过原点，第一象限递增
$\alpha<0$：第一象限递减，坐标轴为渐近线
常见：$y=x$，$y=x^2$，$y=x^3$，$y=\sqrt{x}$，$y=\frac{1}{x}$
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶 |
|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ | $2\pi$ | 奇 |
| $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ | $2\pi$ | 偶 |
| $\tan x$ | $x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇 |
常用恒等式：$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$
降幂：$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$，$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
| 函数 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|
| $\arcsin x$ | $[-1,1]$ | $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ |
| $\arccos x$ | $[-1,1]$ | $[0,\pi]$ |
| $\arctan x$ | $\mathbb{R}$ | $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ |
反三角函数限定了值域（主值区间），保证单值性。
由六类基本初等函数经有限次四则运算及复合，能用一个解析式表出的函数叫初等函数。
是初等：$y=\sqrt{1-x^2}$，$y=e^{\sin x}$，$y=|x|=\sqrt{x^2}$（可合并为单一解析式）
一般不是初等：不能化为单一解析式的分段函数（如例 4 中的 $f(x)$）。
注意：$y=|x|=\sqrt{x^2}$ 是初等函数，分段写法是另一表示方式而已。
自然底数 $e\approx 2.718$。当 $x\to 0$ 时：
$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$\ln(1+x)\sim x$，$e^x-1\sim x$
等价无穷小是后续极限计算的重要工具。
| 模块 | 核心内容 |
|---|---|
| 基本概念 | 常量/变量、区间、邻域 |
| 函数两要素 | 定义域 + 对应法则（值域由此确定） |
| 四大性质 | 有界·单调·奇偶·周期 |
| 反函数 | 严格单调 → 存在反函数 |
| 复合函数 | 外层 $f(u)$ + 内层 $u=\varphi(x)$ |
| 六类基本初等 | 常数·指数·对数·幂·三角·反三角 |
$\frac{1}{x}$：$x\neq 0$ $\sqrt{x}$：$x\geq 0$ $\ln x$：$x>0$
$\arcsin x$：$|x|\leq 1$ $\tan x$：$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$
① 定义域先看是否关于原点对称
② 代入 $-x$，比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系
③ 相等→偶，相反→奇，否则→非奇非偶
① 无穷用方括号——$\pm\infty$ 永远用圆括号。
② 定义域忘取交集——多个限制条件必须同时满足。
③ 奇偶性不查定义域——定义域不对称就是非奇非偶。
④ 对数忘记真数为正——$\ln g(x)$ 要求 $g(x)>0$。
⑤ 复合顺序颠倒——$f[g(x)]\neq g[f(x)]$。
⑥ 分段函数误判为非函数——分段函数仍是一个函数。
求定义域：列限制条件 → 解不等式 → 取交集。
判奇偶：查定义域对称 → 代 $-x$ → 比较。
求反函数：反解 $x$ → 交换字母 → 标注定义域（= 原函数值域）。
拆复合：从外向内逐层剥离，识别中间变量。
本章是整个高等数学的基础，函数概念与性质贯穿导数、积分、微分方程的学习。