| 记号 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| $x\to\infty$ | $|x|$ 无限增大 | 双向无穷远 |
| $x\to +\infty$ | $x$ 正向无限增大 | 沿正方向 |
| $x\to x_0$ | $x$ 趋近定点 | 两侧同时逼近 |
| $x\to x_0^+$ / $x_0^-$ | 单侧逼近 | 右极限 / 左极限 |
数列 $\{a_n\}$（$n$ 为正整数）当 $n\to +\infty$ 时无限趋近常数 $A$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。
$n$ 只取 $1,2,3,\dots$，是逐点离散趋近（跳跃式），与函数极限的连续趋近不同。
例：$a_n=\frac{1}{n}$，当 $n\to +\infty$ 时，$a_n\to 0$。
$x\to\infty$ 型：当 $|x|$ 无限增大时 $f(x)\to A$，记 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$。
$x\to x_0$ 型：当 $x$ 无限趋近 $x_0$ 时 $f(x)\to A$，记 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$。
核心：极限描述的是"趋势"，与函数在该点是否有定义完全无关。
右极限：$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$（从右侧逼近）
左极限：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$（从左侧逼近）
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在 $\;\Longleftrightarrow\;$ 左极限 $=$ 右极限
分段函数在分界点处必须分别算左、右极限，两侧相等才存在。
$f(x)=\begin{cases}x+k,&x<1\\x^2+3,&x\geq 1\end{cases}$，若 $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ 存在，求 $k$
左极限：$\lim\limits_{x\to 1^-}(x+k)=1+k$
右极限：$\lim\limits_{x\to 1^+}(x^2+3)=4$
令左$=$右：$1+k=4$，$k=3$
若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则：
$\lim[f\pm g]=A\pm B$，$\lim[f\cdot g]=A\cdot B$，$\lim\frac{f}{g}=\frac{A}{B}$（$B\neq 0$）
前提：$\lim f$ 和 $\lim g$ 必须都存在才能用！
无穷小：在 $x$ 的某个变化过程中，极限为 $0$ 的函数（$\lim f(x)=0$）。
无穷大：在 $x$ 的某个变化过程中，$|f(x)|$ 无限增大（$\lim f(x)=\infty$，不是数！）。
关系（类似倒数）：$\dfrac{1}{\text{无穷小}}=\text{无穷大}$，$\dfrac{1}{\text{无穷大}}=\text{无穷小}$（无穷小 $\neq 0$）。
性质：有限个无穷小之和/积仍为无穷小；有界函数 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小。
| 条件 $\lim\frac{f}{g}=$ | 称谓 | 记号 |
|---|---|---|
| $0$ | $f$ 是 $g$ 的高阶无穷小 | $f=o(g)$ |
| $\infty$ | $f$ 是 $g$ 的低阶无穷小 | — |
| $c\neq 0$ | 同阶无穷小 | — |
| $1$ | 等价无穷小 | $f\sim g$ |
求极限第一步永远是代入：
情况① 算出具体数 $C$ → 极限就是 $C$（函数连续）
情况② 得到 $\frac{a}{0}$（$a\neq 0$）→ 极限为 $\infty$
情况③ 得到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ → 未定式！必须化简
$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$
遇到以上形式不能直接写答案，必须进一步化简。
分子分母都含零因子 $(x-x_0)$，分解后约掉。
例 2：$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4$
$x\to\infty$ 时多项式之比，看分子分母最高次幂：
① 分子的最高次幂 $<$ 分母的最高次幂 → 比值趋向于 $0$
② 分子的最高次幂 $>$ 分母的最高次幂 → 比值趋向于 $\infty$
③ 分子的最高次幂 $=$ 分母的最高次幂 → 比值趋向于最高次项的系数之比
例 3：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+x}{2x^2-1}=\frac{3}{2}$（同次 → 系数比 $\frac{3}{2}$）
分子分母同乘共轭式：$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$
例 4：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$=\lim\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{2}$
当 $x\to 0$ 时（铁律：只能在乘除因式中替换，加减不可用！）
| $\sin x\sim x$ | $\tan x\sim x$ | $e^x-1\sim x$ |
| $\arcsin x\sim x$ | $\arctan x\sim x$ | $\ln(1+x)\sim x$ |
| $(1+x)^a-1\sim ax$ | $a^x-1\sim x\ln a$ | |
"内层→0"时可嵌套：$\sin(e^x-1)\sim e^x-1\sim x$
例 5：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}=\lim\frac{3x}{x}=3$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
口诀："$\sin x$ 除以 $x$，趋零等于一"
变式：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\square}{\square}=1$，只要 $\square\to 0$ 即可。
(1) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}=\lim\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{3}{2}=1\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
(2) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{1}{1}=1$
(3) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 3x}=\lim\frac{5x}{3x}=\frac{5}{3}$（等价替换）
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$，不能用等价替换（加减项中！）
此类题超纲（需洛必达法则），了解即可，答案为 $\frac{1}{6}$。
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
等价形式：$\lim\limits_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e$
口诀："一加小量开大方，结果等于 $e$ 登场"（专治 $1^\infty$ 型）
遇到 $(1+\square)^{\triangle}$ 型，令 $u=\square$，凑成 $(1+u)^{1/u}$ 的形式。
步骤：① 令底数中的小量为 $u$ → ② 凑 $1/u$ 到指数 → ③ 分离出 $e$
(1) $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{3x}=\lim[(1+\frac{1}{x})^x]^3=e^3$
(2) $\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x$，令 $t=-x$：
$=\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{-t}=e^{-1}=\frac{1}{e}$
(3) $\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x+1}{x-1})^x=\lim(1+\frac{2}{x-1})^x$
令 $u=\frac{2}{x-1}$，$x=\frac{2}{u}+1$，凑成 $(1+u)^{(2/u+1)}$
$=\lim[(1+u)^{1/u}]^2\cdot(1+u)^1=e^2$
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}=\lim\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$（等价替换）
$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\Longleftrightarrow$ 同时满足：
① $f(x_0)$ 存在（有定义）
② $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在（极限存在）
③ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$（极限等于函数值）
通俗：函数图像在该点"不断开"，可以一笔画完。
重要定理：基本初等函数在其定义域上都是连续的；一切初等函数在其定义域的每个区间上都是连续的。因此求初等函数在定义域内某点的极限 → 直接代入！
| 类别 | 间断点类型 | 特征 |
|---|---|---|
| 第一类 左右极限都存在 | 可去间断点 | 左$=$右 $\neq f(x_0)$ 或无定义 |
| 跳跃间断点 | 左$\neq$右（但都有限） | |
| 第二类 至少一侧不存在 | 无穷间断点 | 至少一侧极限为 $\infty$ |
| 振荡间断点 | 极限不存在也不为 $\infty$ |
(1) $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，$x=1$ 处无定义
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim(x+1)=2$（极限存在有限）
$x=1$ 是可去间断点（补充 $f(1)=2$ 即连续）
(2) $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，$x=\pm 1$ 处无定义
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{1}{x^2-1}=\infty$ → $x=1$ 是无穷间断点
$\lim\limits_{x\to -1}\frac{1}{x^2-1}=\infty$ → $x=-1$ 是无穷间断点
(3) $f(x)=\begin{cases}x,&x<0\\1,&x=0\\x+1,&x>0\end{cases}$
左极限 $=0$，右极限 $=1$，左$\neq$右 → $x=0$ 是跳跃间断点
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x}{x},&x\neq 0\\a,&x=0\end{cases}$，求 $a$ 使 $f$ 在 $x=0$ 连续
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim\frac{2x}{x}=2$（等价替换）
连续要求：$\lim f(x)=f(0)$，即 $2=a$
必写完整三等式：左极限 $=$ 右极限 $=f(x_0)$
$f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},&x\neq 1\\a,&x=1\end{cases}$，求 $a$
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$，故 $a=2$
例 13：$\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}=\lim\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{1}=6$
例 14：$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{2}$
例 15：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+x-1}{5x^2+2}=\frac{3}{5}$（同次→系数比）
例 16：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^3+x}=0$（分子次$<$分母次→$0$）
例 17：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^n+2^n}{3^{n+1}+2^{n+1}}=\lim\frac{1+(2/3)^n}{3+2(2/3)^n}=\frac{1}{3}$
例 18：$\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$
$=\lim\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$
分子分母同除 $x$：$=\lim\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}=\frac{1}{2}$
例 19：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{\sin 5x}=\lim\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$
例 20：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{e^{2x}-1}=\lim\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$
例 21：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arctan x\cdot(e^x-1)}{x\sin x}=\lim\frac{x\cdot x}{x\cdot x}=1$
例 22：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}=\lim\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$
例 23：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}=\lim\frac{2\cdot(x/2)^2}{x^2}=\frac{1}{2}$
技巧：$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\sim 2\cdot\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}$
例 24：$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim[(1+\frac{2}{x})^{x/2}]^2=e^2$
例 25：$\lim\limits_{x\to 0}(1+3x)^{2/x}$
$=\lim[(1+3x)^{1/(3x)}]^6=e^6$
例 26：$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x}{x+2})^x=\lim(1-\frac{2}{x+2})^x$
令 $u=-\frac{2}{x+2}$：$=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$
例 27：$f(x)=\begin{cases}\frac{e^x-1}{x},&x<0\\a+1,&x=0\\\frac{\ln(1+x)}{x},&x>0\end{cases}$，求 $a$ 使 $f$ 连续
左极限：$\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{e^x-1}{x}=1$（等价替换）
右极限：$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$（等价替换）
连续：$1=1=a+1$，$a=0$
| 遇到的情况 | 对策 |
|---|---|
| $\frac{0}{0}$ 多项式型 | 因式分解，约去零因子 |
| $\frac{\infty}{\infty}$ 型 | 抓大头，同除最高次 |
| 含根号差 | 有理化（乘共轭式） |
| 含三角/指对 $\frac{0}{0}$ | 等价无穷小替换 |
| $\frac{\sin\square}{\square}$ 结构 | 第一重要极限 |
| $1^\infty$ 型 | 第二重要极限换元法 |
| 分段函数分界点 | 分别算左右极限 |
| 求参数使连续 | 左极限$=$右极限$=f(x_0)$ |
| 判断间断点 | 算单侧极限，看类型 |
$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$e^x-1\sim x$
$\ln(1+x)\sim x$，$\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$
$(1+x)^a-1\sim ax$，$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$
① 等价替换用在加减项——只能对乘除因式用！加减必须先合并。
② 只算一侧极限——分段函数必须左右都算，缺一侧直接扣分。
③ 第二重要极限忘凑底数——必须凑成 $(1+u)^{1/u}$ 的标准形式。
④ 连续求参数漏三等式——必须写"左$=$右$=f(x_0)$"。
⑤ 间断点一二类搞混——第一类 $=$ 左右极限都有限（可去/跳跃）；有$\infty$或不存在就是第二类。
⑥ 极限为 $\infty$ 说"存在"——$\infty$ 不是数，极限为 $\infty$ 本质也是"不存在"。
第一重要极限：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
第二重要极限：$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
极限存在条件：左极限 $=$ 右极限
连续三要素：有定义 + 极限存在 + 极限$=$函数值