第六章 多元函数的微分学

偏导数 核心

求 $z=f(x,y)$ 对 $x$ 的偏导：把 $y$ 当常数，按一元函数求导。

$f_x=\frac{\partial z}{\partial x}$（对 $x$ 偏导），$f_y=\frac{\partial z}{\partial y}$（对 $y$ 偏导）

口诀：对谁求导，把其他变量全当常数！

例 1 · 求偏导数

(1) $z=x^2y+3xy^3$

$z_x=2xy+3y^3$，$z_y=x^2+9xy^2$

(2) $z=e^{xy}\sin x$

$z_x=ye^{xy}\sin x+e^{xy}\cos x=e^{xy}(y\sin x+\cos x)$

$z_y=xe^{xy}\sin x$

(3) $z=\ln(x^2+y^2)$

$z_x=\frac{2x}{x^2+y^2}$，$z_y=\frac{2y}{x^2+y^2}$

高阶偏导数

四个二阶偏导数：$f_{xx}$，$f_{xy}$，$f_{yx}$，$f_{yy}$

混合偏导相等：在连续条件下 $f_{xy}=f_{yx}$（求导顺序可交换）

全微分 必背

$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$

口诀："各自偏导乘微分，加在一起全微分"

例 2 · 求全微分

(1) $z=x^2y+y^2$

$\mathrm{d}z=2xy\,\mathrm{d}x+(x^2+2y)\,\mathrm{d}y$

(2) $z=e^{x+2y}$

$\mathrm{d}z=e^{x+2y}\mathrm{d}x+2e^{x+2y}\mathrm{d}y$

全微分近似计算

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x\Delta x+f_y\Delta y$

例 3 · 近似计算

求 $\sqrt{1.02^2+1.97^2}$ 的近似值

$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，取 $x_0=1$，$y_0=2$，$\Delta x=0.02$，$\Delta y=-0.03$

$f(1,2)=\sqrt{5}$，$f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$f_y=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\approx\sqrt{5}+\frac{0.02}{\sqrt{5}}-\frac{0.06}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}-\frac{0.04}{\sqrt{5}}\approx 2.218$

链式法则 必考

情形一（全导数）：$z=f(u,v)$，$u=u(t)$，$v=v(t)$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

情形二（偏导数）：$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

通解口诀

① 画树：画出变量依赖关系的树状图

② 分路：找从顶层到底层的所有路径

③ 连乘：同一路径上的偏导全部相乘

④ 相加：不同路径的结果加起来

例 4 · 全导数

$z=uv+\sin t$，$u=e^t$，$v=\cos t$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v\cdot e^t+u\cdot(-\sin t)+\cos t$

$=e^t\cos t-e^t\sin t+\cos t=e^t(\cos t-\sin t)+\cos t$

例 5 · 偏导数

$z=e^u\sin v$，$u=xy$，$v=x+y$

$\frac{\partial z}{\partial x}=e^u\sin v\cdot y+e^u\cos v\cdot 1$

$=e^{xy}(y\sin(x+y)+\cos(x+y))$

隐函数求导公式 必背

一元：$F(x,y)=0$ 确定 $y=f(x)$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}$（$F_y\neq 0$）

二元：$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=f(x,y)$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$（$F_z\neq 0$）

口诀：求谁的偏导，谁放分子下标；函数名永远压分母。别忘负号！

例 6 · 一元隐函数

$F(x,y)=x^2+y^2-4=0$

$F_x=2x$，$F_y=2y$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$

例 7 · 二元隐函数

$F=x^2+y^2+z^2-1=0$

$F_x=2x$，$F_y=2y$，$F_z=2z$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}$

例 8 · 含积指函数

$F=xe^y+ye^z-1=0$

$F_x=e^y$，$F_y=xe^y+e^z$，$F_z=ye^z$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{e^y}{ye^z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{xe^y+e^z}{ye^z}$

无条件极值判定 必考大题

第一步：解方程组 $f_x=0$，$f_y=0$，找所有驻点

第二步：在驻点处算三个二阶偏导：

$A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$

第三步：判别式 $\Delta=AC-B^2$ 定乾坤：

判别	结论
$\Delta>0$，$A<0$	极大值
$\Delta>0$，$A>0$	极小值
$\Delta<0$	无极值（鞍点）
$\Delta=0$	无法判定，另行讨论

例 9 · 完整极值大题

$f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$

① $f_x=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)=0$ → $x=-3,1$

$f_y=-3y^2+6y=-3y(y-2)=0$ → $y=0,2$

驻点：$P_1(1,0)$，$P_2(1,2)$，$P_3(-3,0)$，$P_4(-3,2)$

② $A=f_{xx}=6x+6$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=-6y+6$

③ 列表判定（满分模板）：

驻点	$A$	$B$	$C$	$\Delta$	结论
$(1,0)$	$12$	$0$	$6$	$72>0$	极小$-5$
$(1,2)$	$12$	$0$	$-6$	$-72<0$	无极值
$(-3,0)$	$-12$	$0$	$6$	$-72<0$	无极值
$(-3,2)$	$-12$	$0$	$-6$	$72>0$	极大$31$

例 10 · 简洁极值题

$z=x^2-xy+y^2-2x+y$

$z_x=2x-y-2=0$，$z_y=-x+2y+1=0$

解得驻点 $(1,0)$

$A=2$，$B=-1$，$C=2$，$\Delta=4-1=3>0$，$A>0$

极小值 $f(1,0)=1-0+0-2+0=-1$

条件极值：拉格朗日乘数法 重点

求 $z=f(x,y)$ 在 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值：

构造：$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$

解方程组 $L_x=0$，$L_y=0$，$\varphi(x,y)=0$

考场速解技巧：消 $\lambda$ 比例法

从 $L_x=0$ 和 $L_y=0$ 消去 $\lambda$，得 $x,y$ 的比例关系，再代入约束。

例 11 · 拉格朗日乘数法

求 $z=xy$ 在 $x+y=1$ 下的极值

$L=xy+\lambda(x+y-1)$

$L_x=y+\lambda=0$，$L_y=x+\lambda=0$，$x+y=1$

由前两式：$y=-\lambda$，$x=-\lambda$ → $x=y$

代入约束：$2x=1$，$x=y=\frac{1}{2}$

极大值 $z=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

例 12 · 最优化应用

周长 $2(x+y)=24$ 的矩形，求面积最大

$L=xy+\lambda(x+y-12)$

$L_x=y+\lambda=0$，$L_y=x+\lambda=0$ → $x=y$

$2x=12$，$x=y=6$，$S_{\max}=36$

核心公式速查

知识点	公式
偏导数	对谁求导，其他当常数
全微分	$\mathrm{d}z=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$
链式法则	画树 → 分路连乘 → 相加
隐函数一元	$y'=-F_x/F_y$
隐函数二元	$z_x=-F_x/F_z$，$z_y=-F_y/F_z$
极值判别	$\Delta=AC-B^2$（$>0$有极值）
拉格朗日	$L=f+\lambda\varphi$

解题流程图

偏导题：定常数 → 当一元函数求导

链式法则：画树状图 → 找路径 → 连乘相加

极值题：解 $f_x=f_y=0$ → 算 $A,B,C$ → 判 $\Delta$

条件极值：构造 $L$ → 消 $\lambda$ → 代约束

六大高频踩坑点

① 偏导时忘把另一变量当常数——对 $x$ 求导时 $y$ 就是个数字。

② 隐函数公式漏负号——$y'=-F_x/F_y$，负号必须有！

③ 链式法则漏路径——必须画树状图，把通向目标的所有路径都加上。

④ 极值判别 $\Delta$ 算错——$\Delta=AC-B^2$，不是 $A+C-B^2$。

⑤ $\Delta>0$ 时看 $A$ 的正负搞反——$A>0$ 极小（凹底），$A<0$ 极大（凸顶）。

⑥ 拉格朗日忘代约束条件——消 $\lambda$ 后必须代回 $\varphi(x,y)=0$ 解出具体值。

混合偏导相等

在连续条件下 $f_{xy}=f_{yx}$，考试验算时可用来检查。

全微分形式不变性

无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量：$\mathrm{d}z=f_u\mathrm{d}u+f_v\mathrm{d}v$ 形式不变。