1. 微分的概念；
2. 微分运算法则；
3. 微分在近似计算中的应用。
1. 理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系；
2. 熟悉微分的运算法则；
3. 会用微分进行近似计算。
例 1 一个金属正方形薄片，受冷热影响时，其边长由 $x_0$ 变到 $x_0 + \Delta x$（$|\Delta x|$ 很小），如图所示，求其面积 $A$ 的改变量的近似值。
解 边长为 $x$ 的正方形薄片的面积 $A = x^2$，
当边长从 $x_0$ 变到 $x_0 + \Delta x$ 时，面积 $A$ 有相应的改变量
这个 $\Delta A = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$ 由两部分组成：
第一部分：$2x_0\Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数
第二部分：$(\Delta x)^2$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小（当 $\Delta x \to 0$ 时）
所以当 $|\Delta x|$ 很小时，可以略去 $(\Delta x)^2$，仅用第一部分 $\Delta x$ 的线性函数 $2x_0\Delta x$ 作为 $\Delta A$ 的近似值，即 $\Delta A \approx 2x_0\Delta x$
由此，我们引进微分概念.
定义 若函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 处的改变量 $\Delta y$ 可以表示为 $\Delta x$ 线性函数 $A \cdot \Delta x$（$A$ 是常数）与一个比 $\Delta x$ 高阶的无穷小之和 $\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$
则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，其中 $A \cdot \Delta x$ 称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记为 $dy\big|_{x=x_0} = A \cdot \Delta x$，即
[注] (1) 函数的微分 $A\Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，它与 $\Delta y$ 相差一个比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
(2) 当 $A \ne 0$ 时，$A \cdot \Delta x$ 是 $\Delta y$ 的主要部分，所以也称微分 $dy$ 是 $\Delta y$ 的线性主部.
一方面，如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点可微，则依定义有 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$
上式两端除以 $\Delta x$，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = A + \dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}$
$f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\left(A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right) = A$
即 $A = f'(x_0)$
这说明函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，则函数在点 $x_0$ 必可导. 且 $f'(x_0) = A$
反之，如果 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，即 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)$
存在，根据极限与无穷小的关系，则有
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) + \alpha$，其中 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \alpha = 0$
从而 $\Delta y = f'(x_0) \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x$
这里 $f'(x_0)$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，$\alpha \cdot \Delta x$ 是当 $\Delta x \to 0$ 时比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
按微分的定义，知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微.
这表明：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，则函数在点 $x_0$ 必可微.
由此可见，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导与可微是等价的.
所以函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分
由 (1) 式可知，自变量微分 $dx = x' \cdot \Delta x = \Delta x$
所以函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处微分，又可写成
这是函数微分的常见写法.
若函数 $f(x)$ 在某区间内每一点都可微，则称 $f(x)$ 是该区间内的可微函数，记为
由此式，可得 $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$
这表明，函数的导数 $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ 可以看作函数的微分 $dy$ 与自变量的微分 $dx$ 之商，故导数也称微商.
函数 $y = f(x)$ 的图形是一曲线，当自变量 $x$ 由 $x_0$ 变到 $x_0 + \Delta x$ 时，曲线上的对应点 $M(x_0, y_0)$ 变到 $P(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$，从图可知 $MN = \Delta x$，$NP = \Delta y$
过点 $M$ 作切线 $MT$，它的倾角为 $\theta$，则
$NT = MN \cdot \tan\theta = f'(x_0) \cdot \Delta x = dy$
即 $dy = NT$
于是，函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分就是曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线 $MT$，当横坐标由 $x_0$ 变到 $x_0 + \Delta x$ 时，其对应的纵坐标的改变量.
例 2 求函数 $y = x^2 + 1$ 在 $x = 1$ 处当 $\Delta x = 0.1$ 时的改变量 $\Delta y$ 和微分 $dy$ 的值.
解 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^2 + 1 - (x^2 + 1) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$
所以 $\Delta y\big|_{\substack{x=1 \\ \Delta x = 0.1}} = 2 \times 1 \cdot 0.1 + (0.1)^2 = 0.21$
而 $dy = f'(x)\Delta x = (x^2 + 1)'\Delta x = 2x\Delta x$
所以 $dy\big|_{\substack{x=1 \\ \Delta x = 0.1}} = 2 \times 1 \times 0.1 = 0.2$
$d(C) = 0$，$d(x^\mu) = \mu x^{\mu-1}dx$
$d(a^x) = a^x\ln a\,dx$，$d(e^x) = e^xdx$
$d(\log_a x) = \dfrac{1}{x\ln a}dx$，$d(\ln x) = \dfrac{1}{x}dx$
$d(\sin x) = \cos x\,dx$，$d(\cos x) = -\sin x\,dx$
$d(\tan x) = \sec^2 x\,dx$，$d(\cot x) = -\csc^2 x\,dx$
$d(\arcsin x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$，$d(\arccos x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$d(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}dx$，$d(\text{arccot}\,x) = -\dfrac{1}{1+x^2}dx$
$d(u \pm v) = du \pm dv$，$d(uv) = vdu + udv$
$d(Cu) = Cdu$（$C$ 是常数），$d\left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{vdu - udv}{v^2}$（$v \ne 0$）
只对 $d(uv) = vdu + udv$ 证明：$dy = f'(x)dx$
$d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = vu'dx + uv'dx = vdu + udv$
(1) 对于函数 $y = f(u)$，当 $u$ 为自变量时，则函数 $y = f(u)$ 的微分为 $dy = f'(u)du$；
(2) 对于函数 $y = f(u)$，当 $u$ 为中间变量时，设 $u = \varphi(x)$
则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 的微分为
$dy = \{f[\varphi(x)]\}'dx = f'(u)\varphi'(x)dx$
由于 $du = \varphi'(x)dx$，所以上式也可写成 $dy = f'(u)du$；
不论 $u$ 是自变量还是中间变量，函数 $y = f(u)$ 的微分的形式总是：$dy = f'(u)du$；这个性质称为一阶微分形式的不变性.
例 3 求 $y = \cos\sqrt{x}$ 的微分 $dy$
解 方法一 利用微分的定义 $dy = f'(x)dx$
$dy = (\cos\sqrt{x})'dx = -\sin\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})'dx = -\sin\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx = -\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}\,dx$
方法二 利用微分形式的不变性来求，把 $\sqrt{x}$ 看作中间变量 $u$，则
$dy = d(\cos u) = -\sin u\,du = -\sin\sqrt{x}\,d\sqrt{x} = -\sin\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx = -\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}\,dx$
例 4 $y = \ln(1 + e^x)$，求 $dy$.
解 $dy = d[\ln(1 + e^x)] = \dfrac{1}{1+e^x} \cdot d(1+e^x) = \dfrac{e^x}{1+e^x}dx$
例 5 设 $y = e^{-ax}\sin bx$，求 $dy$
解 应用积的微分法则，得
$dy = \sin bx\,de^{-ax} + e^{-ax}d(\sin bx) = \sin bx \cdot e^{-ax}d(-ax) + e^{-ax}\cos bx\,d(bx)$
$= -a\sin bx \cdot e^{-ax}dx + b\cos bx \cdot e^{-ax}dx$
$= (-a\sin bx + b\cos bx)e^{-ax}dx$
(1) 求函数改变量 $\Delta y$ 的近似值
当 $f'(x_0) \ne 0$，且 $|\Delta x|$ 很小时，有 $\Delta y$ 的近似计算公式
例 7 一个边长为 $10cm$ 的立方体，受热后边长伸长 $0.001cm$，问该立方体的体积大约增加多少？
解 设立方体的体积为 $V = x^3$，取 $x_0 = 10$，$\Delta x = 0.001$
$dV = (x^3)'dx = 3x^2dx$
则由近似计算公式，得
$\Delta V \approx dV\big|_{\substack{x_0=10 \\ \Delta x = 0.001}} = 3x^2\Delta x\big|_{\substack{x_0=10 \\ \Delta x=0.001}} = 3 \times 10^2 \times 0.001 = 0.3 \, (cm^3)$
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分 $dy\big|_{x=x_0} = f'(x_0)dx$
函数 $f(x)$ 在某区间内任意点 $x$ 的微分 $dy = f'(x)dx$
导数（微商）$f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$，可导 $\iff$ 可微
1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
3. 复合函数微分法则（微分形式的不变性.）