1. 导数的概念；
2. 导数的几何意义；
3. 可导与连续的关系.
1. 深刻理解导数的概念，会用定义求导数（包括分段函数的导数），理解函数可导性与连续性的关系；
2. 理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方程和法线方程的方法，能用导数描述一些物理量.
先回顾函数的改变量：设函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0, \delta)$ 内有定义，在 $x_0$ 处给自变量一个改变量 $\Delta x$，相应地函数 $y$ 的改变量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
设一质点作变速直线运动，位置函数为 $s = s(t)$，求质点在某时刻 $t_0$ 的瞬时速度.
分析： 当质点作匀速直线运动时，在时刻 $t_0$ 的瞬时速度
当质点作变速运动时，则不然。我们考虑从 $t_0$ 到 $t_0 + \Delta t$ 这一时间间隔内，质点经过的路程 $\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)$
于是比值 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ 就是质点在 $t_0$ 到 $t_0 + \Delta t$ 这段时间内的平均速度，记为 $\bar{v}$，即 $\bar{v} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$
$\bar{v}$ 可作为质点在时刻 $t_0$ 的瞬时速度的近似值，显然 $|\Delta t|$ 越小，近似程度越好. 令 $\Delta t \to 0$，若 $\bar{v}$ 的极限存在。则此极限值就是质点在时刻 $t_0$ 的瞬时速度 $v(t_0)$
即 $v(t_0) = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \bar{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$
将一根质量非均匀分布的细杆放在 $x$ 轴上，它的一端位于原点，分布在 $[0, x]$ 上的质量 $m$ 是 $x$ 的函数 $m = m(x)$，求杆中某点 $x_0$ 处的线密度。
平均线密度为 $\bar{\rho} = \dfrac{\Delta m}{\Delta x} = \dfrac{m(x_0 + \Delta x) - m(x_0)}{\Delta x}$
当 $|\Delta x|$ 很小时，平均线密度 $\bar{\rho}$ 可作为细杆在点 $x_0$ 处的线密度的近似值，显然 $|\Delta x|$ 越小，近似程度越好. 令 $\Delta x \to 0$，若 $\bar{\rho}$ 的极限存在，则此极限值就是细杆在点 $x_0$ 处的线密度 $\rho(x_0)$，即
上述两个实际问题的物理意义虽然不同，但解决问题的方法是相同的，都是求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。
设函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0, \delta)$ 内有定义，在 $x_0$ 处给自变量一改变量 $\Delta x$，且 $x_0 + \Delta x \in U(x_0, \delta)$，
相应地函数 $y$ 有改变量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
如果极限 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
存在，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并称此极限值为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点处的导数（或称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点处的变化率），记为
例 求函数 $y = \sqrt{x}$ 在点 $x_0 (> 0)$ 处的导数。
解法二 (1) 先求导函数
对于自变量在 $x$ 给定改变量 $\Delta x$，相应地函数的改变量为：$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$
于是 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$，从而
$y' = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$
$= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，即 $f'(x) = (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
(2) 再求导数 $f'(x)$ 在 $x = x_0$ 处的函数值
$f'(x_0) = (\sqrt{x})'\bigg|_{x=x_0} = \dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}$
练习 求下列曲线在指定点处的切线方程与法线方程：
(1) $y = \sin x$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 处
解 (1) $y' = (\sin x)' = \cos x$，$y'\bigg|_{x=\frac{\pi}{3}} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$
切线方程为 $y - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$
法线方程为 $y - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -2\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$
(2) $y = \ln x$ 在 $(e, 1)$ 处
解 (2) $y' = (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$，$y'\bigg|_{x=e} = \dfrac{1}{e}$
切线方程为 $y - 1 = \dfrac{1}{e}(x - e)$，即 $ey - x = 0$.
法线方程为 $y - 1 = -e(x - e)$，即 $y + ex - e^2 - 1 = 0$.
2. 曲线 $y = x^3$ 上哪一点处的切线平行于直线 $y = 12x - 1$，哪一点处的法线垂直于直线 $3x - y - 1 = 0$.
解 设曲线 $y = x^3$ 上 $M(x_0, y_0)$ 点处的切线平行于直线 $y = 12x - 1$，$y'\bigg|_{x=x_0} = 3x^2\bigg|_{x=x_0} = 3x_0^2$
依题意：$3x_0^2 = 12 \Rightarrow x_0^2 = 4 \Rightarrow x_0 = \pm 2 \Rightarrow y_0 = \pm 8$
故所求点为 $(2, 8)$ 或 $(-2, -8)$.
设曲线 $y = x^3$ 上 $M_1(x_1, y_1)$ 点处的法线垂直于直线 $3x - y - 1 = 0$，$y'\bigg|_{x=x_1} = 3x^2\bigg|_{x=x_1} = 3x_1^2$
依题意：$3x_1^2 = 3 \Rightarrow x_1^2 = 1 \Rightarrow x_1 = \pm 1 \Rightarrow y_1 = \pm 1$
故所求点为 $(1, 1)$ 或 $(-1, -1)$.
定理 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续.
证明 在 $x_0$ 处给自变量 $x$ 一个改变量 $\Delta x$，函数 $y$ 相应地有改变量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
因为函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 处可导
即 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)$ 存在.
$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x\right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x = f'(x_0) \cdot 0 = 0$
即 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续.
注意： 定理的逆命题不成立。即一个函数在一点连续，它不一定在该点可导.
例 函数 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续，但在点 $x = 0$ 处不可导.
因为在点 $x = 0$ 处有 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \dfrac{|\Delta x|}{\Delta x} = \begin{cases} 1, & \text{当} \Delta x > 0 \text{时} \\ -1, & \text{当} \Delta x < 0 \text{时} \end{cases}$
$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 1 = 1$，$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-}(-1) = -1$
$\therefore \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 不存在。所以函数 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。
函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。
如果极限 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限值为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的右导数，记为 $f'_+(x_0)$.
如果极限 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限值为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数，记为 $f'_-(x_0)$.
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处左、右导数都存在且相等。
左导数、右导数的另一种形式：
令 $x_0 + \Delta x = x$，当 $\Delta x \to 0^+$ 时，有 $x \to x_0^+$.
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的右导数 $f'_+(x_0)$ 也可以表示为：
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数 $f'_-(x_0)$ 也可以表示为：
练习 问 $a$、$b$ 取什么值时，才能使函数
$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{当} x \le 2 \text{时}; \\ ax + b, & \text{当} x > 2 \text{时}. \end{cases}$ 在 $x = 2$ 处连续且可导。
解 $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4 = f(2)$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+}(ax + b) = 2a + b$
当 $2a + b = 4$，即 $b = 4 - 2a$ 时，$f(x)$ 在 $x = 2$ 处连续
$f'_-(2) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = 4$
$f'_+(2) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{a(2 + \Delta x) + b - 4}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{a\Delta x}{\Delta x} = a$
由 $\begin{cases} b = 4 - 2a \\ a = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = -4 \end{cases}$
1. 证明函数 $f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x}, & \text{当} x \ne 0 \text{时}; \\ 0, & \text{当} x = 0 \text{时}. \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导；
证明 $\because \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0 = f(0)$
$f'(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin\dfrac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ 不存在.
$\therefore f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导.
2. 设函数 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{当} x < 0 \text{时}; \\ 0, & \text{当} x \ge 0 \text{时}. \end{cases}$ 求 $f'(x)$.
解 当 $x < 0$ 时 $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$
当 $x > 0$ 时 $f'(x) = 0' = 0$
$f'_-(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$
$f'_+(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{x} = 0$
$f'_-(0) \ne f'_+(0) \Rightarrow f'(0)$ 不存在.
则 $f'(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{当} x < 0 \text{时}; \\ 0, & \text{当} x > 0 \text{时}. \end{cases}$
1. 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数
(1) 函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数
(2) 函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处左、右导数都存在且相等。
2. 函数 $y = f(x)$ 的导函数（导数）
求 $y = f(x)$ 的导数 $y'$ 一般步骤如下：
1. 求增量 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
2. 算比值 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
3. $y' = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率.
若 $f'(x_0)$ 存在，则曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, f(x_0))$ 处的
切线方程为 $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
法线方程为 $y - y_0 = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（$f'(x_0) \ne 0$）
若 $f'(x_0) = \infty$，则曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为 $x = x_0$，法线方程为 $y = y_0$
函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。