1. 函数的和、差、积、商的求导法则；
2. 反函数的求导法则；
3. 复合函数的求导法则。
1. 熟悉导数的运算法则及导数基本公式；
2. 熟练掌握函数的求导计算方法。
定理 1 设函数 $u(x)$ 与 $v(x)$ 在点 $x$ 处可导，则函数 $u \pm v$，$uv$，$\dfrac{u}{v}$（$v \ne 0$）在点 $x$ 处也可导，并且有
(1) $(u \pm v)' = u' \pm v'$；
(2) $(uv)' = u'v + uv'$；
(3) $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \ne 0$）.
说明：
定理 1 (1) 可以推广到有限个可导函数的代数和的情形；
定理 1 (2) 可以推广到有限个可导函数的乘积的情形。
例如 设 $u(x), v(x), w(x)$ 在点 $x$ 处可导，则 $uvw$ 在 $x$ 处仍可导，且有 $(uvw)' = u'vw + v'uw + uvw'$
由定理 1 (2) 可以得到 $[Cf(x)]' = Cf'(x)$；
由定理 1 (3) 可以得到 $\left[\dfrac{C}{v(x)}\right]' = -\dfrac{Cv'}{v^2}$（$v \ne 0$），其中 $C$ 为常数.
例 1 求 $y = x^2 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} - 5\cos x + 3\log_a x + \ln 4$ 的导数.
解 $y' = (x^2)' + (x^{-\frac{1}{2}})' - 5(\cos x)' + 3(\log_a x)' + (\ln 4)'$
$= 2x - \dfrac{1}{2\sqrt{x^3}} + 5\sin x + \dfrac{3}{x\ln a} + \dfrac{1}{4}$
例 2 求 $y = 10x^5\ln x$ 的导数.
解 $y' = (10x^5\ln x)' = 10[(x^5)'\ln x + x^5(\ln x)'] = 10(5x^4\ln x + x^5 \cdot \dfrac{1}{x}) = 10x^4(5\ln x + 1)$
例 3 求 $y = x\ln x \cdot \sin x + \sin\dfrac{\pi}{4}$ 的导数.
解 $y' = (x\ln x \cdot \sin x)' + \left(\sin\dfrac{\pi}{4}\right)'$
$= (x)'\ln x \cdot \sin x + x(\ln x)'\sin x + x\ln x(\sin x)'$
$= \ln x \cdot \sin x + \sin x + x\ln x\cos x$
例 4 求 $y = \dfrac{x-1}{x+1}$ 的导数.
解 $y' = \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)' = \dfrac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \dfrac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{(x+1)^2}$
例 5 求 $y = \tan x$ 的导数.
解 $y' = (\tan x)' = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' = \dfrac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
即 $(\tan x)' = \sec^2 x$. 同理可得 $(\cot x)' = -\csc^2 x$.
例 6 求 $y = \sec x$ 的导数.
解 $y' = (\sec x)' = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)' = \dfrac{-(\cos x)'}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x$.
同理可得 $(\csc x)' = -\csc x\cot x$.
定理 2 设函数 $u = \varphi(x)$ 在点 $x$ 处可导，函数 $y = f(u)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 在对应点 $x$ 处仍可导，且有
说明： 复合函数求导法则也可推广到多次复合的情形.
例如，设 $y = f(u)$，$u = \varphi(v)$，$v = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f\{\varphi[g(x)]\}$ 的导数为
或记为 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$
说明： 对复合函数的复合过程能正确掌握后，可不必写出中间变量，只要记住复合过程，从外向里逐层求导即可。
例 1 求 $y = \sin(\omega x + \varphi_0)$ 的导数. 其中 $\omega, \varphi_0$ 为常数.
解 $y = \sin(\omega x + \varphi_0)$ 是由 $y = \sin u$，与 $u = \omega x + \varphi_0$ 复合而成，$\dfrac{dy}{du} = \cos u$，$\dfrac{du}{dx} = \omega$，
于是 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = \cos u \cdot \omega = \omega\cos(\omega x + \varphi_0)$
例 2 求 $y = (x^3 - 2)^5$ 的导数.
解 $y = (x^3 - 2)^5$ 是由 $y = u^5$ 与 $u = x^3 - 2$ 复合而成
$\dfrac{dy}{du} = 5u^4$，$\dfrac{du}{dx} = 3x^2$
于是 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 3x^2 = 15x^2(x^3 - 2)^4$
例 3 求 $y = \ln\tan x$ 的导数.
解 $y' = (\ln\tan x)' = \dfrac{1}{\tan x} \cdot (\tan x)' = \dfrac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \dfrac{1}{\sin x\cos x}$
例 4 求 $y = \sin^2 3x$ 的导数.
解 $y' = (\sin^2 3x)' = 2\sin 3x \cdot (\sin 3x)' = 2\sin 3x\cos 3x \cdot (3x)' = 6\sin 3x\cos 3x = 3\sin 6x$
例 5 求 $y = \ln[\ln(\ln x)]$ 的导数.
解 $y' = \{\ln[\ln(\ln x)]\}' = \dfrac{1}{\ln(\ln x)} \cdot [\ln(\ln x)]' = \dfrac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \dfrac{1}{\ln x} \cdot (\ln x)' = \dfrac{1}{x\ln x \cdot \ln(\ln x)}$
例 6 求 $y = \sin nx \cdot \sin^n x$（$n$ 为常数）的导数.
解 $y' = (\sin nx \cdot \sin^n x)' = (\sin nx)' \cdot \sin^n x + \sin nx(\sin^n x)'$
$= n\cos nx \cdot \sin^n x + n\sin nx \cdot \sin^{n-1} x \cdot \cos x$
$= n\sin^{n-1} x(\cos nx \cdot \sin x + \sin nx \cdot \cos x)$
$= n\sin^{n-1} x \cdot \sin(n+1)x$
例 7 求 $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})$（$a > 0$）的导数.
解 $y' = \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot (x + \sqrt{x^2 + a^2})' = \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \left(1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + a^2}}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$
定理 3 如果函数 $x = \varphi(y)$ 在某区间 $I_y$ 内单调、可导且 $\varphi'(y) \ne 0$，那末它的反函数 $y = f(x)$ 在对应区间 $I_x$ 内也可导，且有
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例 1 求函数 $y = \arcsin x$（$-1 < x < 1$）的导数.
解 $y = \arcsin x$ 是 $x = \sin y$ 的反函数.
$\because x = \sin y$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 内单调、可导，且 $(\sin y)' = \cos y > 0$，$\therefore$ 在 $(-1, 1)$ 内有
$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{(\sin y)'} = \dfrac{1}{\cos y} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
类似的，有 $(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
例 2 求函数 $y = \arctan x$（$-\infty < x < +\infty$）的导数.
解 $y = \arctan x$ 是 $x = \tan y$ 的反函数.
$\because x = \tan y$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 内单调、可导，且 $(\tan y)' = \sec^2 y > 0$，$\therefore$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内有
$(\arctan x)' = \dfrac{1}{(\tan y)'} = \dfrac{1}{\sec^2 y} = \dfrac{1}{1 + \tan^2 y} = \dfrac{1}{1 + x^2}$
类似的，有 $(\text{arccot}\,x)' = -\dfrac{1}{1 + x^2}$.
例 3 设 $y = a^x$（$a > 0, a \ne 1$），求 $y'$.
解 $y = a^x$ 是 $x = \log_a y$ 的反函数，而 $x = \log_a y$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内单调，可导，
$(\log_a y)' = \dfrac{1}{y\ln a} \ne 0$，$\therefore$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内有
$(a^x)' = \dfrac{1}{(\log_a y)'} = y\ln a = a^x \cdot \ln a$
即 $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$（$-\infty < x < +\infty$）
当 $a = e$ 时，得 $(e^x)' = e^x$
| 公式 | 公式 |
|------|------|
| $(C)' = 0$ | $(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}$ |
| $(\sin x)' = \cos x$ | $(\cos x)' = -\sin x$ |
| $(\tan x)' = \sec^2 x$ | $(\cot x)' = -\csc^2 x$ |
| $(a^x)' = a^x\ln a$ | $(e^x)' = e^x$ |
| $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$ | $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ |
| $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$ | $(\text{arccot}\,x)' = -\dfrac{1}{1+x^2}$ |
设 $u = u(x), v = v(x)$ 可导，则
(1) $(u \pm v)' = u' \pm v'$，(3) $(cu)' = cu'$（$C$ 是常数）
(2) $(uv)' = u'v + uv'$，(4) $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}$（$v \ne 0$）
注意： $(uv)' \ne u'v'$；$\left(\dfrac{u}{v}\right)' \ne \dfrac{u'}{v'}$.
（1）可以推广到有限个可导函数的代数和的情形。
（2）可以推广到有限个可导函数的乘积的情形。
设 $y = f(u)$，而 $u = \varphi(x)$，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 的导数为 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ 或 $y'(x) = f'(u) \cdot \varphi'(x)$.
复合函数求导法则也可推广到多次复合的情形。
设 $y = f(x)$ 的反函数为 $x = \varphi(y)$，则 $f'(x) = \dfrac{1}{\varphi'(y)}$（$\varphi'(y) \ne 0$）
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.
注意：初等函数的导数仍为初等函数
1. 函数的和、差、积、商的求导法则；
2. 反函数的求导法则；
3. 复合函数的求导法则.