第二章第三讲高阶导数

内容提要

函数的高阶导数；

教学要求

1. 会求函数的一阶、二阶导数和简单函数的 $n$ 阶导数；

2. 掌握抽象函数的一阶、二阶导数的求法。

$y = \sin x$ 及其各阶导数

▲ $\sin x$ 及其各阶导数

高阶导数

函数 $y = f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 仍是 $x$ 的函数，如果它仍可导，则称 $f'(x)$ 的导数为 $y = f(x)$ 的二阶导数，记为

y'', \quad f''(x), \quad \frac{d^2y}{dx^2} \quad \text{或} \quad \frac{d^2f}{dx^2}

类似地，如果 $f''(x)$ 仍可导，则称二阶导数 $f''(x)$ 的导数为 $f(x)$ 的三阶导数，记为

y''', \quad f'''(x), \quad \frac{d^3y}{dx^3} \quad \text{或} \quad \frac{d^3f}{dx^3}

一般地，如果 $y = f(x)$ 的 $(n-1)$ 阶导数仍可导，则称 $(n-1)$ 阶导数的导数为 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数，记为

y^{(n)}, \quad f^{(n)}(x), \quad \frac{d^ny}{dx^n} \quad \text{或} \quad \frac{d^nf}{dx^n}

于是，根据定义有 $y^{(n)} = [y^{(n-1)}]'$

说明：

(1) 称 $y' = f'(x)$ 为 $y = f(x)$ 的一阶导数（简称导数）

(2) 二阶和三阶导数可分别记为 $y''$ 和 $y'''$，但四阶以上的导数应记为 $y^{(4)}$，$y^{(5)}$，$\cdots$，$y^{(n)}$

(3) 二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。求高阶导数，只要逐步求导即可.

(4) $f(x)$ 具有 $n$ 阶导数，常称函数 $f(x)$ $n$ 阶可导.

例 1 已知路程函数 $s = \dfrac{1}{2}gt^2$（$g$ 为常数），求 $s$ 的二阶导数。

解因为 $s' = \left(\dfrac{1}{2}gt^2\right)' = gt$，所以 $s'' = (s')' = (gt)' = g$（这里 $g$ 为加速度）

一般地，若质点作变速直线运动的位置函数为 $s = s(t)$，则速度 $v(t) = s'(t)$，加速度 $a(t) = v'(t) = s''(t)$

例 2 设一质点作简谐运动，其运动规律为 $s = A\sin\omega t$（$A, \omega$ 是常数），求该点在时刻 $t$ 的速度和加速度.

解 $v(t) = s' = (A\sin\omega t)' = A\omega\cos\omega t$

$a(t) = s'' = (A\omega\cos\omega t)' = -A\omega^2\sin\omega t$

例 3 设函数 $f(x) = \arctan x$，求 $f''(0)$，$f'''(0)$.

解 $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$，$f''(x) = \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}$.

$f''(0) = \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}\bigg|_{x=0} = 0$

$f'''(x) = \dfrac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}$，$f'''(0) = \dfrac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}\bigg|_{x=0} = -2$

例 4 已知函数 $y = 5x^3 + 7x^2 + 6x + 9$，求 $y''$ 和 $y^{(4)}$

解 $y' = (5x^3 + 7x^2 + 6x + 9)' = 5 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 2x + 6$

$y'' = (5 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 2x + 6)' = 5 \cdot 3 \cdot 2x + 7 \cdot 2 \cdot 1$

$y''' = (5 \cdot 3 \cdot 2x + 7 \cdot 2 \cdot 1)' = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5 \times 3!$

$y^{(4)} = (5 \times 3!)' = 0$

一般地，$y = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$，则

▲ 多项式 $f$（蓝）、$f'$（红）、$f''$（绿）

$y^{(n)} = a_0 n!$，$y^{(n+1)} = 0$

这表明，对多项式函数求导，当导数的阶数与多项式的次数相等时，其导数结果等于最高次的系数乘以次数的阶乘。当导数的阶数大于多项式的次数时，其导数结果等于零。

例 5 求 $y = \sin x$ 的 $n$ 阶导数.

解 $y' = \cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$

$y'' = \left[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\right]' = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2}\right)$

$y''' = \left[\sin\left(x + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2}\right)\right]' = \cos\left(x + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + 3 \cdot \dfrac{\pi}{2}\right)$

…………………………………………

y^{(n)} = (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)

同理得 $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + n \cdot \dfrac{\pi}{2}\right)$

例 6 求 $y = \ln(1+x)$ 的 $n$ 阶导数.

解 $y' = \dfrac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$y'' = [(1+x)^{-1}]' = -1 \cdot (1+x)^{-2}$

$y''' = (-1)(-2)(1+x)^{-3}$

$y^{(4)} = (-1)(-2)(-3)(1+x)^{-4}$

…………………………………………

$y^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

练习：

1. 求 $y = e^x$ 的 $n$ 阶导数

解由 $(e^x)' = e^x$，知 $y^{(n)} = e^x$

2. 求 $y = a^x$ 的 $n$ 阶导数

解 $y' = a^x\ln a$，$y'' = a^x(\ln a)^2$，$y''' = a^x(\ln a)^3$，……

y^{(n)} = a^x(\ln a)^n

小结

1. 高阶导数的概念；

2. 高阶导数的求法.