第五章 · 向量代数与空间解析几何

空间向量及空间直角坐标系

第一节

一、空间向量概念

生活中的向量 —— 为什么需要"方向"？

?思考

          在日常生活中，温度是 $30°C$、质量是 $5kg$ ——这些量只有大小，没有方向，叫做标量。


          但有些量不仅有大小，还有方向：
        
风速：不仅知道多大，还要知道吹向哪里
力：推一个箱子，方向不同效果完全不同
位移：从A走到B，方向很重要
速度、加速度：都有方向性

既有大小又有方向的量 → 向量

一、空间向量概念

向量的定义与表示方法

定向量的定义

          既有大小又有方向的量叫做向量。

          在数学上，用一条有方向的线段（有向线段）来表示向量：

          · 线段的长度 → 向量的大小

          · 箭头的指向 → 向量的方向

记向量的记法

方法一：用有向线段的起点和终点，记作 $\vec{AB}$
（$A$ 是起点，$B$ 是终点，箭头指向 $B$）

方法二：用粗体小写字母，如 $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{r}$
（手写时在字母上加箭头：$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{r}$）

!!自由向量

向量只关心大小和方向，与起点位置无关。
大小相等、方向相同的向量就是相等向量，记为 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$。
相等的向量经过平移可以完全重合。

一、空间向量概念

向量的模、单位向量与零向量

模向量的模

        向量的大小叫做向量的模（长度）。

        向量 $\boldsymbol{a}$ 的模记为 $|\boldsymbol{a}|$

        向量 $\vec{AB}$ 的模记为 $|\vec{AB}|$

            a
            →
            
            |a| = 模（长度）

1单位向量

模等于 $1$ 的向量叫做单位向量。

即 $|\boldsymbol{a}| = 1$ 时，$\boldsymbol{a}$ 是单位向量。

0零向量

模等于 $0$ 的向量叫做零向量，记作 $\boldsymbol{0}$。

零向量的起点与终点重合。
它的方向是任意的（不确定）。

∥向量的平行

两个非零向量，如果方向相同或相反，就称它们平行，记作 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$。规定：零向量与任何向量平行。两个平行向量移到同一起点后，终点和公共起点在一条直线上，所以平行又叫共线。

二、空间向量的线性运算

向量的加法 —— 三角形法则

+向量加法的定义

          设有两个向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$，把 $\boldsymbol{b}$ 的起点移到 $\boldsymbol{a}$ 的终点，从 $\boldsymbol{a}$ 的起点到 $\boldsymbol{b}$ 的终点所得的向量 $\boldsymbol{c}$，就是 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和。

$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$

记忆口诀："首尾相连，首指尾"
第一个向量的起点出发 → 第二个向量的终点到达

律加法运算律

交换律：$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}$
结合律：$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$

二、空间向量的线性运算

向量的加法 —— 平行四边形法则

▱平行四边形法则

          当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不平行时，把它们移到同一起点，以 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 为邻边作一个平行四边形，从公共起点到对角的向量就等于 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$。

△三角不等式

由三角形两边之和大于第三边，可得：

$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$

$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$

等号在 $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 同向或反向时成立。

两种法则本质相同！三角形法则"首尾相连"，平行四边形法则"共同起点找对角"。

二、空间向量的线性运算

负向量与向量的减法

−负向量

          与 $\boldsymbol{a}$ 的模相同而方向相反的向量叫做 $\boldsymbol{a}$ 的负向量，记为 $-\boldsymbol{a}$。

          特别地：$\boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}$

−向量减法的定义

向量 $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的差定义为：

$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} + (-\boldsymbol{a})$

把"减去一个向量"变成"加上它的负向量"。

★几何意义

若把 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 移到同一起点，
则从 $\boldsymbol{a}$ 的终点指向 $\boldsymbol{b}$ 的终点的向量就是 $\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$。

对任意一点 $O$：$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

二、空间向量的线性运算

向量与数的乘法（数乘）

×数乘的定义

          向量 $\boldsymbol{a}$ 与实数 $\lambda$ 的乘积记为 $\lambda\boldsymbol{a}$，它是一个向量：

          模：$|\lambda\boldsymbol{a}| = |\lambda| \cdot |\boldsymbol{a}|$

          方向：

          · 当 $\lambda > 0$ 时，$\lambda\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 同向

          · 当 $\lambda < 0$ 时，$\lambda\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 反向

          · 当 $\lambda = 0$ 时，$\lambda\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$（零向量）

律数乘运算律

结合律：$\lambda(\mu\boldsymbol{a}) = (\lambda\mu)\boldsymbol{a}$
分配律：$(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{a}$
$\lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$

特别地：$1\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}$，$(-1)\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}$

二、空间向量的线性运算

单位向量与平行的条件

e单位向量的表示

          设 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$，则与 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量记为 $\boldsymbol{a}^0$：
        
          $\boldsymbol{a}^0 = \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$
        
          于是任何非零向量都可以表示为：
        
          $\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}| \cdot \boldsymbol{a}^0$
        
          即：向量 = 模 × 单位方向向量

定定理 5-1：平行的充要条件

设 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$，则 $\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{a}$ 的充分必要条件是存在唯一的实数 $\lambda$，使得

$\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$

例 1

在平行四边形 $ABCD$ 中，设 $\vec{AB} = \boldsymbol{a}$，$\vec{AD} = \boldsymbol{b}$，$M$ 是对角线交点。试用 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 表示 $\vec{MA}$、$\vec{MB}$、$\vec{MC}$、$\vec{MD}$。

分析

$M$ 是对角线交点，所以 $\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AC}$，而 $\vec{AC} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$

求 MA

$\vec{MA} = -\vec{AM} = -\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$

求 MC

$\vec{MC} = -\vec{MA} = \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$

求 MD

$\vec{BD} = -\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，$\vec{MD} = \dfrac{1}{2}\vec{BD} = \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a})$

求 MB

$\vec{MB} = -\vec{MD} = \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$

二、向量线性运算

巩固练习 —— 向量基本概念与运算

练习 1

非零向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 应具有什么特点才能满足 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$？

分析

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 是平行四边形的一条对角线长，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 是另一条对角线长。

几何分析

两条对角线等长的平行四边形是矩形。

结论

所以 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，即两个向量互相垂直。

练习 2

非零向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 应具有什么特点才能满足 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$？

分析

由三角不等式 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$，等号成立的条件是什么？

结论

等号成立当且仅当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 方向相同（同向平行）。

练习 3

设 $\triangle ABC$，$M$ 为 $BC$ 中点，$N$ 为 $CA$ 中点，$P$ 为 $AB$ 中点。设 $\boldsymbol{a} = \vec{BC}$，$\boldsymbol{b} = \vec{CA}$，$\boldsymbol{c} = \vec{AB}$，试用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$ 表示 $\vec{AM}$、$\vec{BN}$、$\vec{CP}$。

前提

注意 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} = \vec{BC}+\vec{CA}+\vec{AB} = \boldsymbol{0}$（首尾相连回到起点）

求 AM

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \boldsymbol{c} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$

求 BN

$\vec{BN} = \vec{BC} + \vec{CN} = \boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}$

求 CP

$\vec{CP} = \vec{CA} + \vec{AP} = \boldsymbol{b} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{c}$

三、空间直角坐标系

从平面到空间 —— 建立坐标系

建坐标系的建立

          在空间取一定点 $O$ 和三个两两垂直的单位向量 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$，就确定了三条以 $O$ 为原点的两两垂直的数轴：

          · $x$ 轴（横轴）—— 沿 $\boldsymbol{i}$ 方向

          · $y$ 轴（纵轴）—— 沿 $\boldsymbol{j}$ 方向

          · $z$ 轴（竖轴）—— 沿 $\boldsymbol{k}$ 方向

          它们构成空间直角坐标系，也叫 $Oxyz$ 坐标系。

注注意事项

① 三个数轴具有相同的长度单位
② 通常 $x$ 轴和 $y$ 轴在水平面上，$z$ 轴是铅垂线
③ 正向通常符合右手规则：右手四指从 $x$ 轴正向弯向 $y$ 轴正向时，大拇指指向 $z$ 轴正向

三、空间直角坐标系

坐标面与卦限

面三个坐标面

          任意两个坐标轴确定一个坐标面：

          · $xOy$ 面 —— 由 $x$ 轴和 $y$ 轴确定

          · $yOz$ 面 —— 由 $y$ 轴和 $z$ 轴确定

          · $zOx$ 面 —— 由 $z$ 轴和 $x$ 轴确定

卦八个卦限

三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限。

卦限	$x$	$y$	$z$
Ⅰ	+	+	+
Ⅱ	−	+	+
Ⅲ	−	−	+
Ⅳ	+	−	+
Ⅴ	+	+	−
Ⅵ	−	+	−
Ⅶ	−	−	−
Ⅷ	+	−	−

三、空间直角坐标系

巩固练习 —— 坐标系中点的位置

练习 4

在空间直角坐标系中，指出下列各点的位置：
A$(-1, 3, 2)$，B$(2, 0, 0)$，C$(0, 3, 4)$，D$(1, 2, 1)$

判断方法

看各坐标的正负号，确定卦限；若某坐标为 $0$，则点在坐标面或坐标轴上。

点 A(−1, 3, 2)

$x<0, y>0, z>0$ → 在第Ⅱ卦限

点 B(2, 0, 0)

$y=0, z=0$ → 在 $x$ 轴上（且在正半轴）

点 C(0, 3, 4)

$x=0$ → 在 $yOz$ 坐标面上

点 D(1, 2, 1)

$x>0, y>0, z>0$ → 在第Ⅰ卦限

练习 5

求点 $M(a, b, c)$ 关于各坐标面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标。

关于坐标面对称

关于 $xOy$ 面：变 $z$ 符号 → $(a, b, -c)$
关于 $yOz$ 面：变 $x$ 符号 → $(-a, b, c)$
关于 $zOx$ 面：变 $y$ 符号 → $(a, -b, c)$

关于坐标轴对称

关于 $x$ 轴：变 $y, z$ 符号 → $(a, -b, -c)$
关于 $y$ 轴：变 $x, z$ 符号 → $(-a, b, -c)$
关于 $z$ 轴：变 $x, y$ 符号 → $(-a, -b, c)$

关于原点对称

全部变号 → $(-a, -b, -c)$

记忆规律

关于哪个面对称，就变垂直于该面的那个坐标的符号；
关于哪个轴对称，就变另外两个坐标的符号。

本节总结

知识框架与要点回顾

一、向量基本概念

· 向量 = 大小 + 方向
· 模 $|\boldsymbol{a}|$ = 向量的长度
· 单位向量：$|\boldsymbol{a}|=1$
· 零向量：$|\boldsymbol{0}|=0$，方向任意
· 平行（共线）：$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$

二、线性运算

· 加法：三角形 / 平行四边形法则
· 减法：$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+(-\boldsymbol{a})$
· 数乘：$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda|\cdot|\boldsymbol{a}|$
· 单位向量：$\boldsymbol{a}^0 = \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$
· 平行条件：$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$

三、空间直角坐标系

· 三轴：$x$, $y$, $z$（右手规则）
· 三个坐标面：$xOy$, $yOz$, $zOx$
· 八个卦限（Ⅰ~Ⅷ）
· 对称点规律：关于面变一个坐标，关于轴变两个坐标

核心公式速查

$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$

$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+(-\boldsymbol{a})$

$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda|\,|\boldsymbol{a}|$

$\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$

$\boldsymbol{a}^0 = \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$

补充例题 1

例题：求向量的模

题目

已知向量 $\vec{a}=(1,2,3)$，求其模 $|\vec{a}|$。

解题过程

解：由向量模的公式：
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$ 代入各分量：
$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$$

答：$|\vec{a}| = \sqrt{14}$

补充例题 2

例题：求两点之间的距离

题目

求空间中两点 $A(1,0,2)$ 和 $B(3,1,4)$ 之间的距离 $|AB|$。

解题过程

解：两点间距离公式：
$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$ 代入坐标：
$$|AB| = \sqrt{(3-1)^2 + (1-0)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$$

答：$|AB| = 3$

题型归纳

常见题型与解题策略

题型一：用已知向量表示未知向量

方法：利用"首尾相连"的三角形法则，把目标向量拆成已知向量的组合。
关键：找中间过渡点，如 $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
中点公式：$M$ 为 $AB$ 中点时 $\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AB}$

题型二：向量等式的条件探究

方法：利用向量加减法的几何意义（平行四边形的对角线），结合三角不等式等号成立条件。
常见结论：
· $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ⟹ $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$
· $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ ⟹ $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 同向

题型三：判断点的位置

方法：看坐标各分量的正负号判卦限；某分量为零则在坐标面/轴上。
口诀：
· 一个分量为 $0$ → 坐标面上
· 两个分量为 $0$ → 坐标轴上
· 三个分量为 $0$ → 原点

题型四：求对称点坐标

方法：找到对称关系，改变相应坐标的符号。
记忆技巧：
· 关于面对称 → 变垂直方向的坐标
· 关于轴对称 → 保留该轴坐标，变另外两个
· 关于原点对称 → 三个坐标全变号

💡 学习建议：向量运算的核心是理解几何意义。画图是解题的第一步！每道题先画出向量图，再用公式计算。

卦限	$x$	$y$	$z$
Ⅰ	+	+	+
Ⅱ	−	+	+
Ⅲ	−	−	+
Ⅳ	+	−	+
Ⅴ	+	+	−
Ⅵ	−	+	−
Ⅶ	−	−	−
Ⅷ	+	−	−

卦限	$x$	$y$	$z$
Ⅰ	+	+	+
Ⅱ	−	+	+
Ⅲ	−	−	+
Ⅳ	+	−	+
Ⅴ	+	+	−
Ⅵ	−	+	−
Ⅶ	−	−	−
Ⅷ	+	−	−

卦限	$x$	$y$	$z$
Ⅰ	+	+	+
Ⅱ	−	+	+
Ⅲ	−	−	+
Ⅳ	+	−	+
Ⅴ	+	+	−
Ⅵ	−	+	−
Ⅶ	−	−	−
Ⅷ	+	−	−