向量的坐标运算

第一步：像解普通方程一样消元

由方程组解得：$x = 2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$，$y = 3\boldsymbol{a} - 5\boldsymbol{b}$

方法：第一个方程×2减第二个方程×3消去 $y$，类似于二元一次方程组的解法。

第二步：代入坐标计算 $x$

$x = 2(2,1,2) - 3(-1,1,-2) = (4,2,4) - (-3,3,-6) = (7,-1,10)$

第三步：代入坐标计算 $y$

$y = 3(2,1,2) - 5(-1,1,-2) = (6,3,6) - (-5,5,-10) = (11,-2,16)$

例2 · 求模

$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$

例2 · 求方向余弦

$\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos\gamma = \dfrac{-1}{\sqrt{3}}$

例3 · 求 $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} = (7,1,3) - (4,0,5) = (3, 1, -2)$

例3 · 求模

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$

题型一解答

(1) $2\boldsymbol{a} = (4, 2, -2)$　 (2) $\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (2,1,-1) - (3,-3,6) = (-1, 4, -7)$

(3) $2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (4,2,-2) + (1,-1,2) = (5, 1, 0)$　 (4) $3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} = (6,3,-3) - (2,-2,4) = (4, 5, -7)$

题型二解答

(1) $|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$

(2) $\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{6}}$，$\cos\beta = \dfrac{-1}{\sqrt{6}}$，$\cos\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

(3) $\boldsymbol{a}^0 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{6}},\, -\dfrac{1}{\sqrt{6}},\, \dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)$

$\overrightarrow{AB} = (1,2,3)$，$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$；$\overrightarrow{AC} = (-1,3,1)$，$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$；$\overrightarrow{BC} = (-2,1,-2)$，$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4+1+4} = 3$

求模

$\overrightarrow{OM} = (1, \sqrt{2}, 1)$，$|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{1 + 2 + 1} = 2$

求方向余弦

$\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$，$\cos\beta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\gamma = \dfrac{1}{2}$

第一步：建立向量

从 $M$ 到 $A$ 的向量记为 $\boldsymbol{a}$，从 $M$ 到 $B$ 的向量记为 $\boldsymbol{b}$，则 $\angle AMB$ 就是 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角。

$\boldsymbol{a} = \overrightarrow{MA} = (2-1,\, 2-1,\, 1-1) = (1, 1, 0)$

$\boldsymbol{b} = \overrightarrow{MB} = (2-1,\, 1-1,\, 2-1) = (1, 0, 1)$

第二步：计算数量积

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$

第三步：求模

$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$

第四步：用夹角公式

$\cos\angle AMB = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$

写出行列式的格式

$$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

第一行写 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$，第二行写 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，第三行写 $\boldsymbol{b}$ 的坐标。

$\boldsymbol{i}$ 的系数：遮住第一列，算 $2 \times 2$ 行列式

$\boldsymbol{i}$ 的系数 $= a_y b_z - a_z b_y$（交叉相乘再相减）

$\boldsymbol{j}$ 的系数：遮住第二列，注意前面有负号

$\boldsymbol{j}$ 的系数 $= -(a_x b_z - a_z b_x) = a_z b_x - a_x b_z$

$\boldsymbol{k}$ 的系数：遮住第三列

$\boldsymbol{k}$ 的系数 $= a_x b_y - a_y b_x$

列出行列式

$$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$

逐项展开

$\boldsymbol{i}$ 的系数：$1 \times 2 - (-1) \times (-1) = 2 - 1 = 1$

$\boldsymbol{j}$ 的系数（带负号）：$-(2 \times 2 - (-1) \times 1) = -(4+1) = -5$

$\boldsymbol{k}$ 的系数：$2 \times (-1) - 1 \times 1 = -2-1 = -3$

求模

$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$

(1) 数量积

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times 2 = 2 - 1 - 2 = -1$

(2) 夹角

$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$，$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

$\cos\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = -\dfrac{1}{6}$，所以 $\theta = \arccos\!\left(-\dfrac{1}{6}\right) \approx 99.6°$

(3) 向量积

由前面例题已知 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (1, -5, -3)$

$\overrightarrow{AB} = (2,2,2)$，$\overrightarrow{AC} = (1,2,4)$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 4 = 2 + 4 + 8 = 14 \neq 0$

注意：结果不为 $0$，说明 $\angle BAC \neq 90°$。需要重新检查题目条件或换别的角。

练习1 · 求向量

$\overrightarrow{AB} = (2, 2, 2)$，$\overrightarrow{AC} = (1, 2, 4)$

练习1 · 求叉积

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (8-4)\boldsymbol{i} - (8-2)\boldsymbol{j} + (4-2)\boldsymbol{k} = (4, -6, 2)$

练习2 · 思路

左边：$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\sin^2\theta$

右边：$|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\cos^2\theta = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2(1 - \cos^2\theta) = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\sin^2\theta$