平面与空间直线方程
第五章 · 向量代数与空间解析几何

📐 平面方程

点法式方程 · 一般方程
点到平面的距离

📏 直线方程

对称式方程 · 参数方程
直线与平面的夹角

第四节
如何确定一个平面？

在日常生活中，一扇门绕着门轴转动时可以到达不同位置——每个位置就是一个不同的平面。

那么，怎样才能唯一确定空间中的一个平面呢？

1 一个点不够：过空间一点可以作无数个平面，就像门可以绕轴转到不同位置。
2 关键要素——法线向量：如果我们知道平面上的一个点，再知道一个与平面垂直的方向（法线向量），平面就被唯一确定了！
法线向量就像一根插在桌面上的筷子，它的方向唯一决定了桌面的"姿态"。
M₀ n Π
核心公式
平面的点法式方程

已知条件：平面 Π 过点 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\)，法线向量为 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\)。

第一步：设 \(M(x, y, z)\) 是平面上任意一点，则向量 \(\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0,\; y - y_0,\; z - z_0)\)。
第二步：因为 \(\overrightarrow{M_0M}\) 在平面内，而 \(\boldsymbol{n}\) 与平面垂直，所以 \(\boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_0M}\)，即它们的数量积为零。
第三步：\(\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0\)，展开得：
⭐ 平面的点法式方程
\(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\)
记忆口诀：法向量的分量 × 对应坐标差 = 0。只需要一个点和一个法向量！
M₀(x₀,y₀,z₀) M(x,y,z) M₀M n Π
题型一
已知点和法向量，求平面方程
例题

求过点 \((2, -3, 0)\) 且以 \(\boldsymbol{n} = (1, -2, 3)\) 为法线向量的平面方程。

分析：已知点 \(M_0(2, -3, 0)\)，法向量 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C) = (1, -2, 3)\)，直接代入点法式公式。
代入公式： \(1 \cdot (x - 2) + (-2)(y - (-3)) + 3(z - 0) = 0\)
展开化简： \(x - 2 - 2(y + 3) + 3z = 0\)
\(x - 2 - 2y - 6 + 3z = 0\)
结果：\(x - 2y + 3z - 8 = 0\)
解题套路：
① 确认点坐标 \((x_0, y_0, z_0)\)
② 确认法向量 \((A, B, C)\)
③ 代入 \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
④ 展开、合并同类项
题型二
已知三点，求平面方程
例题

求过三点 \(M_1(2,-1,4)\)、\(M_2(-1,3,-2)\)、\(M_3(0,2,3)\) 的平面方程。

思路：三点确定一个平面。我们需要找到这个平面的法向量。方法是：用两个共面向量做向量积（叉乘），得到的向量就垂直于平面！
第一步 求两个共面向量：
\(\overrightarrow{M_1M_2} = (-1-2,\; 3-(-1),\; -2-4) = (-3, 4, -6)\)
\(\overrightarrow{M_1M_3} = (0-2,\; 2-(-1),\; 3-4) = (-2, 3, -1)\)
第二步 叉乘求法向量： \(\boldsymbol{n} = \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -3 & 4 & -6 \\ -2 & 3 & -1 \end{vmatrix}\)
展开行列式：
\(\boldsymbol{n} = \boldsymbol{i}(4 \times(-1) - (-6)\times 3) - \boldsymbol{j}((-3)\times(-1) - (-6)\times(-2)) + \boldsymbol{k}((-3)\times 3 - 4\times(-2))\)
\(= \boldsymbol{i}(-4+18) - \boldsymbol{j}(3-12) + \boldsymbol{k}(-9+8) = 14\boldsymbol{i} + 9\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}\)
第三步 代入点法式（取点 \(M_1(2,-1,4)\)）：
\(14(x-2) + 9(y+1) - 1 \cdot (z-4) = 0\)
结果：\(14x + 9y - z - 15 = 0\)
叉乘复习：
\(\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\)

按第一行展开：
\(\boldsymbol{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2)\)
\(- \boldsymbol{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1)\)
\(+ \boldsymbol{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)\)
核心公式
平面的一般方程

将点法式方程 \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) 展开，把常数项合并记为 \(D\)：

⭐ 平面的一般方程
\(Ax + By + Cz + D = 0\)

其中 \(A, B, C\) 不全为零，它们就是该平面的一个法线向量 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\) 的坐标。

也就是说，任何三元一次方程的图形都是一个平面！反过来，任何平面都可以用三元一次方程表示。
读方程的技巧：看到 \(Ax+By+Cz+D=0\)，法向量直接读出 \(\boldsymbol{n}=(A,B,C)\)——就是 \(x, y, z\) 前面的系数！
特殊情况：D = 0
平面过原点
如 \(2x+3y-z=0\)
特殊情况：缺某变量
平面平行于该坐标轴
如 \(x+y+1=0\) 平行于 \(z\) 轴
z y x O n
题型三
过两点且垂直于已知平面
例题

一平面通过两点 \(M_1(1,1,1)\) 和 \(M_2(0,1,-1)\)，且垂直于平面 \(x+y+z=0\)，求它的方程。

分析：要求的平面需满足两个条件：① 过两点 → 法向量 \(\boldsymbol{n}\) 与 \(\overrightarrow{M_1M_2}\) 垂直；② 垂直于已知平面 → 法向量 \(\boldsymbol{n}\) 也与已知平面的法向量 \(\boldsymbol{n}_1\) 垂直。
求已知向量：
\(\overrightarrow{M_1M_2} = (-1, 0, -2)\)，已知平面法向量 \(\boldsymbol{n}_1 = (1, 1, 1)\)
设法向量 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\)：
由 \(\boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_1M_2}\)：\(-A - 2C = 0\)，即 \(A = -2C\)
由 \(\boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{n}_1\)：\(A + B + C = 0\)，即 \(B = -A - C\)
代入求解：由 \(A = -2C\) 代入得 \(B = -(-2C) - C = C\)。取 \(C = 1\)，得 \(A = -2,\; B = 1,\; C = 1\)。
代入点法式（取 \(M_2(0,1,-1)\)）：
\(-2(x-0) + 1(y-1) + 1(z+1) = 0\)
结果：\(2x - y - z = 0\)
重要公式
点到平面的距离

问题：已知平面 \(\pi: Ax+By+Cz+D=0\) 和平面外一点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\)，如何求 \(P_0\) 到平面的距离？

推导思路：在平面上任取一点 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\)，连接 \(\overrightarrow{P_1P_0}\)。距离 \(d\) 就是 \(\overrightarrow{P_1P_0}\) 在法向量 \(\boldsymbol{n}\) 方向上投影的绝对值。
投影公式：\(d = |\overrightarrow{P_1P_0}| \cdot |\cos\theta| = \dfrac{|\overrightarrow{P_1P_0} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}\)

展开后，利用 \(P_1\) 在平面上（满足 \(Ax_1+By_1+Cz_1 = -D\)），化简得到：
⭐ 点到平面的距离公式
\(d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
记忆方法：分子 = 把点坐标代入方程左边取绝对值；分母 = 法向量的模。
π P₁ P₀ n d N θ
距离计算
距离公式的应用
例题

求点 \((2, 1, 1)\) 到平面 \(x + y - z + 1 = 0\) 的距离。

识别参数：点 \(P_0(2, 1, 1)\)，平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 中 \(A=1, B=1, C=-1, D=1\)。
代入公式： \(d = \dfrac{|1 \times 2 + 1 \times 1 + (-1) \times 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}\)
计算： 分子：\(|2 + 1 - 1 + 1| = |3| = 3\)
分母：\(\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\)
结果：\(d = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)
易错提醒：
① 分子别忘加绝对值！
② 常数项 \(D\) 要带正确的正负号
③ 分母中 \(C=-1\)，平方后是 \(+1\)
验证技巧：
把点代入平面方程左边，如果 \(\neq 0\)，说明点确实不在平面上。\(2+1-1+1=3 \neq 0\) ✓
巩固练习
平面方程·课堂练习
练习 1

已知球心为 \((1, 3, -2)\)，且球面过原点，写出该球面方程。

解：半径 \(R = \sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2+(-2-0)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}\)。
球面方程：\((x-1)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 = 14\)。
练习 2

指出方程 \(x+y-z+1=0\) 在空间中表示什么图形？它的法向量是什么？

解：这是一个平面。法向量 \(\boldsymbol{n} = (1, 1, -1)\)，直接读 \(x, y, z\) 的系数即可。
练习 3

方程 \(x^2+y^2+z^2-2x+4y=0\) 表示怎样的曲面？

解：配方：\((x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 5\)。这是球心在 \((1,-2,0)\)、半径为 \(\sqrt{5}\) 的球面。
空间直线及其方程
对称式方程 · 参数方程 · 线面夹角
第五节
方向向量——直线的"指南针"

确定空间中一条直线，需要知道两个要素：直线上的一个点和直线的方向。

✦ 方向向量：如果一个非零向量平行于一条直线，就叫做这条直线的方向向量，记为 \(\boldsymbol{s} = (m, n, p)\)。
✦ 方向余弦与方向数：方向向量 \(\boldsymbol{s}\) 的坐标 \(m, n, p\) 叫做直线的一组方向数，而 \(\boldsymbol{s}\) 的方向余弦叫做直线的方向余弦。
方向向量就像铁轨的走向——沿着它的方向，直线不断延伸。和平面的"法向量"不同，方向向量是沿着直线的，而法向量是垂直于平面的。
z y x L M₀ s M ∥ L
核心公式
直线的对称式方程（点向式方程）

已知：直线 \(L\) 过点 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\)，方向向量 \(\boldsymbol{s} = (m, n, p)\)。

推导：设 \(M(x, y, z)\) 是直线上任一点，则 \(\overrightarrow{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)\)。
因为 \(M\) 在直线上，\(\overrightarrow{M_0M}\) 与方向向量 \(\boldsymbol{s}\) 平行，即对应坐标成比例：
⭐ 直线的对称式方程（点向式方程）
\(\dfrac{x - x_0}{m} = \dfrac{y - y_0}{n} = \dfrac{z - z_0}{p}\)
特殊情况处理：当某个方向数为 0 时，例如 \(m=0\)（直线平行于 \(yOz\) 面），方程写成： \(x = x_0, \quad \dfrac{y - y_0}{n} = \dfrac{z - z_0}{p}\)
和平面方程对比：平面用法向量（垂直于平面），直线用方向向量（沿着直线）。公式结构也不同——平面是"乘法求和=0"，直线是"除法求比例相等"。
z y x M₀(x₀,y₀,z₀) s(m,n,p)
核心公式
直线的参数方程

将对称式方程 \(\dfrac{x - x_0}{m} = \dfrac{y - y_0}{n} = \dfrac{z - z_0}{p}\) 的公比设为参数 \(t\)，就得到参数方程。

设 \(\dfrac{x - x_0}{m} = \dfrac{y - y_0}{n} = \dfrac{z - z_0}{p} = t\)，分别解出 \(x, y, z\)：
⭐ 直线的参数方程
\(\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}\)
参数 \(t\) 的含义：
\(t = 0\) 时得到点 \(M_0\)；
\(t > 0\) 沿 \(\boldsymbol{s}\) 的正方向；
\(t < 0\) 沿 \(\boldsymbol{s}\) 的反方向。
对称式 vs 参数式：
对称式紧凑美观；
参数式方便计算（如求交点时代入方程更容易）。
题型四
写出直线方程
例题

求过点 \((2, 1, 3)\) 且与直线 \(\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{-1}\) 垂直相交的直线方程。

分析：已知直线的方向向量 \(\boldsymbol{s}_1 = (3, 2, -1)\)。过点 \((2,1,3)\) 作一平面垂直于已知直线，平面法向量就是 \(\boldsymbol{s}_1\)。
第一步 作垂直平面：法向量 \(\boldsymbol{n} = (3, 2, -1)\)，过点 \((2,1,3)\)：
\(3(x-2) + 2(y-1) - 1(z-3) = 0\)，即 \(3x + 2y - z - 5 = 0\)
第二步 求交点（垂足）：将已知直线参数化：\(x = -1+3t,\; y = 1+2t,\; z = -t\)，代入平面方程：
\(3(-1+3t) + 2(1+2t) - (-t) - 5 = 0\)
\(-3+9t+2+4t+t-5 = 0 \Rightarrow 14t = 6 \Rightarrow t = \dfrac{3}{7}\)
垂足坐标：\(x = -1 + \dfrac{9}{7} = \dfrac{2}{7},\; y = 1 + \dfrac{6}{7} = \dfrac{13}{7},\; z = -\dfrac{3}{7}\)
第三步 写方程：方向向量 = \(\overrightarrow{(2,1,3) \to (\frac{2}{7}, \frac{13}{7}, -\frac{3}{7})} = (-\dfrac{12}{7}, \dfrac{6}{7}, -\dfrac{24}{7})\)，化简取 \((2, -1, 4)\)。
\(\dfrac{x-2}{2} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z-3}{4}\)
核心公式
两直线的夹角

设两条直线 \(L_1, L_2\) 的方向向量分别为 \(\boldsymbol{s}_1 = (m_1, n_1, p_1)\) 和 \(\boldsymbol{s}_2 = (m_2, n_2, p_2)\)。

两直线的夹角 \(\varphi\)（规定 \(0 \leqslant \varphi \leqslant \dfrac{\pi}{2}\)）由两方向向量的夹角确定：
⭐ 两直线夹角公式
\(\cos\varphi = \dfrac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\;\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\)
垂直条件 \(L_1 \perp L_2\)：
\(m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2 = 0\)
平行条件 \(L_1 \parallel L_2\)：
\(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{p_1}{p_2}\)
分子加绝对值是因为我们取锐角（或直角）。这和向量夹角公式唯一的区别就是多了绝对值！
例题

求 \(L_1: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z+3}{1}\) 和 \(L_2: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y+2}{-2} = \dfrac{z}{1}\) 的夹角。

解：\(\boldsymbol{s}_1=(1,-4,1)\)，\(\boldsymbol{s}_2=(2,-2,1)\)。
\(\cos\varphi = \dfrac{|1\times2+(-4)\times(-2)+1\times1|}{\sqrt{1+16+1}\;\sqrt{4+4+1}} = \dfrac{|2+8+1|}{\sqrt{18}\;\sqrt{9}} = \dfrac{11}{3\sqrt{18}} = \dfrac{11}{9\sqrt{2}} \approx \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

实际计算：\(\dfrac{11}{9\sqrt{2}} = \dfrac{11\sqrt{2}}{18}\)。所以 \(\varphi = \arccos\dfrac{11\sqrt{2}}{18}\)。

题型五
计算两直线的夹角
例题

求直线 \(L_1: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z+3}{1}\) 和 \(L_2: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y+2}{-2} = \dfrac{z}{1}\) 的夹角。

读出方向向量：
\(\boldsymbol{s}_1 = (1, -4, 1)\)，\(\boldsymbol{s}_2 = (2, -2, -1)\)
代入夹角公式：
\(\cos\varphi = \dfrac{|1 \times 2 + (-4) \times (-2) + 1 \times (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}}\)
计算：
分子：\(|2 + 8 - 1| = |9| = 9\)
分母：\(\sqrt{1+16+1} \cdot \sqrt{4+4+1} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{9} = 3\sqrt{2} \times 3 = 9\sqrt{2}\)
\(\cos\varphi = \dfrac{9}{9\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
结果：\(\varphi = \dfrac{\pi}{4}\)（即 45°）
L₁ L₂ φ = 45°
重要公式
直线与平面的夹角

直线 \(L\) 与它在平面 \(\pi\) 上的投影直线之间的夹角 \(\theta\)（\(0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}\)）叫做直线与平面的夹角。

设直线方向向量 \(\boldsymbol{s} = (m, n, p)\)，平面法向量 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\)。
关键观察：\(\boldsymbol{s}\) 与 \(\boldsymbol{n}\) 的夹角 \(\varphi\) 与线面夹角 \(\theta\) 的关系是 \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \varphi\)（互余），所以 \(\sin\theta = |\cos\varphi|\)。
⭐ 直线与平面的夹角公式
\(\sin\theta = \dfrac{|Am + Bn + Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\;\sqrt{m^2+n^2+p^2}}\)
垂直条件 \(L \perp \pi\)：
\(\dfrac{A}{m} = \dfrac{B}{n} = \dfrac{C}{p}\)
（方向向量 ∥ 法向量）
平行条件 \(L \parallel \pi\)：
\(Am + Bn + Cp = 0\)
（方向向量 ⊥ 法向量）
注意：线面夹角公式用的是 sin（不是 cos），因为线面夹角 = 90° - 方向向量与法向量的夹角。分子和两直线夹角公式一样，只是左边变成了 sin！
π L s n θ φ θ + φ = 90°
题型六
计算直线与平面的夹角
例题

已知直线 \(L: \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{-2}\) 和平面 \(\pi: 2x+y+z+1=0\)，求 \(L\) 与 \(\pi\) 的夹角 \(\theta\)。

读出向量：
直线方向向量 \(\boldsymbol{s} = (-1, 1, -2)\)
平面法向量 \(\boldsymbol{n} = (2, 1, 1)\)
代入公式：
\(\sin\theta = \dfrac{|(-1)\times 2 + 1 \times 1 + (-2) \times 1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}\;\sqrt{2^2+1^2+1^2}}\)
计算：
分子：\(|-2 + 1 - 2| = |-3| = 3\)
分母：\(\sqrt{1+1+4} \cdot \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\)
\(\sin\theta = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
结果：\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\)（即 30°）
解题步骤总结：
① 从直线方程读出 \(\boldsymbol{s}=(m,n,p)\)
② 从平面方程读出 \(\boldsymbol{n}=(A,B,C)\)
③ 代入 \(\sin\theta\) 公式
④ 由 \(\sin\theta\) 反求 \(\theta\)
对比记忆：
两直线夹角 → 用 \(\cos\varphi\)
线面夹角 → 用 \(\sin\theta\)
分子结构完全一样！
核心总结
垂直与平行的判定条件

两直线垂直 \(L_1 \perp L_2\)

\(m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2 = 0\)

方向向量数量积为零

两直线平行 \(L_1 \parallel L_2\)

\(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{p_1}{p_2}\)

方向向量对应坐标成比例

直线 ⊥ 平面

\(\dfrac{A}{m} = \dfrac{B}{n} = \dfrac{C}{p}\)

方向向量 ∥ 法向量

直线 ∥ 平面

\(Am + Bn + Cp = 0\)

方向向量 ⊥ 法向量

记忆规律：垂直用"数量积=0"，平行用"成比例"。但线面关系要"反着想"——直线⊥平面时，方向向量反而要和法向量平行！
快速练习

直线 \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{-1}\) 与平面 \(x+y+z=0\) 的关系？

判断：\(Am+Bn+Cp = 2+1+(-1) = 2 \neq 0\)，又 \(\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{1}{1}\)，所以既不垂直也不平行，它们相交。

快速练习

直线 \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}\) 与平面 \(x+y-2z=0\) 的关系？

判断：\(Am+Bn+Cp = 1+1-2 = 0\)，所以直线平行于平面（或在平面内）。

综合练习
平面与直线·综合应用
练习 A

设线段 \(AB\) 的端点 \(A(1,2,3)\) 和 \(B(2,-1,4)\)，求线段 \(AB\) 的垂直平分面方程。

分析：垂直平分面上的点到 \(A\) 和 \(B\) 等距。法向量 = \(\overrightarrow{AB} = (1, -3, 1)\)，过中点 \((\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{2})\)。
方法一（等距法）：设 \(M(x,y,z)\)，由 \(|MA| = |MB|\)：
\(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2} = \sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2+(z-4)^2}\)
两边平方展开后化简得：\(2x - 6y + 2z - 7 = 0\)。
方法二（点法式）：法向量 \(\boldsymbol{n} = \overrightarrow{AB} = (1,-3,1)\)，过中点 \((\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{2})\)：
\(1 \cdot (x - \dfrac{3}{2}) - 3(y - \dfrac{1}{2}) + 1 \cdot (z - \dfrac{7}{2}) = 0\)
化简：\(x - 3y + z - \dfrac{7}{2} = 0\)，即 \(2x - 6y + 2z - 7 = 0\)。✓
两种方法殊途同归！考试时用点法式更快——法向量就是 AB 向量，过中点即可。
综合练习
空间解析几何·综合题
练习 B

指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形：

(1) \(x = 3\)   (2) \(x - y + 1 = 0\)   (3) \(x^2 + y^2 = 9\)   (4) \(x^2 - y^2 = 1\)

(1) \(x = 3\)：平面中是一条竖直线（平行于 \(y\) 轴）；空间中是一个平面（平行于 \(yOz\) 面，距 \(yOz\) 面 3 个单位）。

(2) \(x - y + 1 = 0\)：平面中是一条直线；空间中是一个平面（平行于 \(z\) 轴，法向量 \((1,-1,0)\)）。
(3) \(x^2 + y^2 = 9\)：平面中是圆心在原点、半径为 3 的圆；空间中是一个圆柱面（母线平行于 \(z\) 轴，准线是 \(xOy\) 面上的圆）。

(4) \(x^2 - y^2 = 1\)：平面中是等轴双曲线；空间中是一个双曲柱面（母线平行于 \(z\) 轴）。
规律：平面方程缺少某个变量时，图形沿该变量对应的坐标轴方向无限延伸（成为柱面或平面）。
补充知识
空间直线的一般方程

空间直线可以看作两个平面的交线。如果两个平面方程分别为：

\(\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases}\)

这就叫做空间直线的一般方程。它表示两个平面交出来的那条直线。

如何转化为对称式？先求出两平面法向量 \(\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\)，做叉乘 \(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2\) 得到直线方向向量，再找直线上一点即可。
思考

方程组 \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = 0 \end{cases}\) 表示什么？

这是两个平面的交线，即一条空间直线。法向量 \(\boldsymbol{n}_1=(1,1,1)\)，\(\boldsymbol{n}_2=(1,-1,1)\)。方向向量 \(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2 = (2, 0, -2)\)，化简为 \((1, 0, -1)\)。

一般方程不直观，考试更常用对称式和参数方程。但从一般方程转化为对称式是常考题型！
π₁ π₂ L s
本课总结
核心公式速查表

📐 平面点法式方程

\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

法向量 \(\boldsymbol{n}=(A,B,C)\)，过点 \(M_0\)

📐 平面一般方程

\(Ax+By+Cz+D=0\)

法向量直接读系数

📏 点到平面距离

\(d = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

分子代入取绝对值，分母法向量的模

📏 直线对称式方程

\(\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}\)

方向向量 \(\boldsymbol{s}=(m,n,p)\)，过点 \(M_0\)

📏 直线参数方程

\(\begin{cases} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{cases}\)

📐 两直线夹角

\(\cos\varphi = \dfrac{|\boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{s}_2|}{|\boldsymbol{s}_1||\boldsymbol{s}_2|}\)

📐 线面夹角

\(\sin\theta = \dfrac{|\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|}\)

注意是 sin 不是 cos！

⚡ 垂直 & 平行

线⊥线 / 线∥面：数量积=0
线∥线 / 线⊥面：成比例

学完本课你应该能：
✅ 由点和法向量写出平面方程   ✅ 计算点到平面的距离
✅ 由点和方向向量写出直线方程   ✅ 计算直线与直线、直线与平面的夹角
✅ 判断直线与平面的垂直、平行关系
补充例题 1
求平面方程

题目：求过点 $(1,2,3)$、法向量为 $(1,1,1)$ 的平面方程。

解：由平面的点法式方程：
$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$ 其中法向量 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)=(1,1,1)$，过点 $(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)$：
$$1\cdot(x-1) + 1\cdot(y-2) + 1\cdot(z-3) = 0$$ $$x - 1 + y - 2 + z - 3 = 0$$ $$x + y + z = 6$$
答：$x + y + z = 6$
补充例题 2
求直线方程

题目：求过两点 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,1)$ 的直线方程。

解：方向向量为：
$$\boldsymbol{s} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$$ 取点 $(1,0,0)$，由对称式方程：
$$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$$ $$\frac{x-1}{-1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-0}{1}$$
答：$\dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}$
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