第五章 · 向量代数与空间解析几何

曲面与空间曲线

球面 · 旋转曲面 · 柱面 · 二次曲面 · 空间曲线方程与投影

引入概念

什么是曲面方程？

?从平面到空间的思考

在平面上，一个方程 f(x, y) = 0 表示一条曲线；那么在空间中，一个方程 F(x, y, z) = 0 表示什么呢？
答案：表示一个曲面！

定曲面方程的定义

如果曲面 S 与方程 F(x, y, z) = 0 满足：
① 曲面上每一点的坐标都满足该方程
② 不在曲面上的点的坐标都不满足该方程
则称 F(x, y, z) = 0 为曲面 S 的方程，曲面 S 为方程的图形。

通俗理解：方程就像一个"身份验证器"，满足方程的点都在曲面上，不满足的就不在。

一、球面

球面方程 —— 一步步推导

问如何建立球面的方程？

球面就是到一个定点（球心）距离等于定值（半径）的所有点的集合。

设球心为 $M_0(x_0, y_0, z_0)$，半径为 $R$，$M(x,y,z)$ 是球面上任意一点。

第一步：写出几何条件

$M$ 在球面上 $\Leftrightarrow$ $|M_0 M| = R$

第二步：用坐标表示距离

$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} = R$

第三步：两边平方，得到球面方程

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$

特殊情况：球心在原点

当 $M_0 = O(0,0,0)$ 时：$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

一、球面

球面的一般方程与判别方法

展展开标准方程

把 $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$ 展开，得到形如：

$x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$

这就是球面的一般方程。
特点：$x^2, y^2, z^2$ 的系数都是 $1$（相同），且没有交叉项 $xy, yz, xz$。

法如何从一般方程还原球心和半径？

方法：配方法！

把 $x$ 的项配成 $(x-?)^2$，$y$ 的项配成 $(y-?)^2$，$z$ 的项配成 $(z-?)^2$。

然后就能看出球心和半径了。

例题

方程 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y = 0$ 表示怎样的曲面？

第一步：对 x 配方

$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

第二步：对 y 配方

$y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4$

第三步：代入原方程

$(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + z^2 = 0$

第四步：整理

$(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 5$

结论

球心 $M_0(1, -2, 0)$，半径 $R = \sqrt{5}$ 的球面。

配方口诀：系数的一半平方加减。如 $x^2 - 2x$，一半是 $1$，加 $1^2$ 得 $(x-1)^2 - 1$。

一、球面

球面应用 —— 求垂直平分面

例题

设有点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(2, -1, 4)$，求线段 $AB$ 的垂直平分面的方程。

分析：什么是垂直平分面？

垂直平分面上的点到 $A$ 和 $B$ 的距离相等，即 $|AM| = |BM|$。

设点 M(x, y, z)，列等式

$\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2}$
$= \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2}$

两边平方，展开

$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2$
$= (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2$

展开整理

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9$
$= x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 8z + 16$

消去并化简

$2x - 6y + 2z - 7 = 0$

一、球面

球面练习

练习 1

已知球心为 $(1, 3, -2)$，且球面过原点，写出该球面方程。

分析

球心 $M_0(1, 3, -2)$，球面过原点 $O(0,0,0)$，说明 $R = |M_0 O|$。

求半径

$R = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$

写出球面方程

$(x-1)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 = 14$

练习 2

设有点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(2, -1, 4)$，求线段 $AB$ 的垂直平分面的方程。

答案

$2x - 6y + 2z - 7 = 0$

总球面题型总结

题型一：已知球心和半径（或过某点），直接代入标准方程。
题型二：给出一般方程，用配方法还原球心和半径。
题型三：利用"到两点等距"建立方程（垂直平分面）。

二、旋转曲面

旋转曲面 —— 曲线转一圈变成面

定旋转曲面的定义

一条平面曲线绑在其平面上的一条直线（轴）上，绕这条直线旋转一周所生成的曲面，叫做旋转曲面。

这条直线叫做旋转轴。

法求旋转曲面方程的方法

设 $yOz$ 坐标面上有曲线 $C$：$f(y, z) = 0$。

绕 $z$ 轴旋转：把 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2 + y^2}$
得 $f(\pm\sqrt{x^2 + y^2},\; z) = 0$

绕 $y$ 轴旋转：把 $z$ 换成 $\pm\sqrt{x^2 + z^2}$
得 $f(y,\; \pm\sqrt{x^2 + z^2}) = 0$

记忆口诀：绕谁不动换另一个！绕 $z$ 轴，$z$ 不变，$y$ 变成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$。

二、旋转曲面

旋转曲面例题

例题：圆锥面

在 $yOz$ 面内，直线 $z = y\cot\alpha$（$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$）绕 $z$ 轴旋转，求所得圆锥面的方程。

分析

原曲线在 $yOz$ 面上：$f(y,z): z = y\cot\alpha$，即 $z - y\cot\alpha = 0$。

绕 z 轴旋转

$z$ 不变，$y$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2 + y^2}$：
$z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}\,\cot\alpha$

化简

两边平方，令 $a = \cot\alpha$：

$z^2 = a^2(x^2 + y^2)$

例题：双曲线旋转

将 $zOx$ 面上的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ 分别绕 $x$ 轴和 $z$ 轴旋转，求旋转曲面方程。

绕 x 轴旋转

$x$ 不变，$z$ 换为 $\pm\sqrt{y^2+z^2}$：

$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2+z^2}{c^2} = 1$

绕 z 轴旋转

$z$ 不变，$x$ 换为 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$：

$\dfrac{x^2+y^2}{a^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

三、柱面

柱面 —— 直线平移生成的曲面

定柱面的定义

平行于定直线并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹叫做柱面。

· 定曲线 $C$ 叫做柱面的准线
· 动直线 $L$ 叫做柱面的母线

键关键规律

在空间直角坐标系中：

只含 $x, y$ 而缺 $z$ 的方程 $F(x,y) = 0$
→ 表示母线平行于 $z$ 轴的柱面
→ 准线是 $xOy$ 面上的曲线 $F(x,y) = 0$

类似地：
· 只含 $x, z$ 缺 $y$ → 母线平行于 $y$ 轴
· 只含 $y, z$ 缺 $x$ → 母线平行于 $x$ 轴

(平行z轴) R

例题

方程 $y^2 = 2x$ 表示什么曲面？

分析

方程只含 $x, y$，缺 $z$ → 母线平行于 $z$ 轴的柱面。准线是 $xOy$ 面上的抛物线 $y^2 = 2x$，所以这是一个抛物柱面。

三、柱面

柱面判断练习 —— 方程在不同维度的含义

练习

指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形。

(1) $x = 3$

平面中：一条垂直于 $x$ 轴的直线
空间中：平行于 $yOz$ 面的平面

(2) $x - y + 1 = 0$

平面中：一条直线
空间中：平行于 $z$ 轴的平面（过 $z$ 轴的柱面，特殊情况就是平面）

(3) $x^2 + y^2 = 9$

平面中：圆心在原点、半径为 $3$ 的圆
空间中：母线平行于 $z$ 轴的圆柱面

(4) $x^2 - y^2 = 1$

平面中：等轴双曲线
空间中：母线平行于 $z$ 轴的双曲柱面

四、二次曲面

椭球面 —— 用截痕法理解

面椭球面方程

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

其中 $a > 0, b > 0, c > 0$。
当 $a = b = c$ 时就是球面。

法截痕法（理解曲面形状的方法）

用坐标面和平行于坐标面的平面去"切"曲面，看截面形状：

用 $xOy$ 面（$z=0$）截：
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ → 椭圆

用 $z = z_1$（平行面）截：
$\dfrac{x^2}{a^2(1-\frac{z_1^2}{c^2})} + \dfrac{y^2}{b^2(1-\frac{z_1^2}{c^2})} = 1$
仍是椭圆，且 $|z_1|$ 越大椭圆越小。

当 $|z_1| = c$ 时椭圆缩为一点，$|z_1| > c$ 无截痕。

四、二次曲面

椭圆抛物面

面椭圆抛物面方程

$\dfrac{x^2}{2p} + \dfrac{y^2}{2q} = z \quad (p > 0, q > 0)$

截用截痕法分析

因为 $\dfrac{x^2}{2p} + \dfrac{y^2}{2q} = z \geqslant 0$，曲面在 $xOy$ 面上方（$z \geqslant 0$）。

$z = 0$ 截：只得到原点 $(0,0,0)$

$z = z_1 > 0$ 截：
$\dfrac{x^2}{2pz_1} + \dfrac{y^2}{2qz_1} = 1$ → 椭圆
$z_1$ 越大，椭圆越大

$xOz$ 面（$y=0$）截：
$x^2 = 2pz$ → 抛物线

形状像一个碗或卫星天线！

五、空间曲线的方程

空间曲线 —— 两个曲面的交线

交一般方程（交线方程）

空间曲线可以看作两个曲面的交线。
联立两个曲面方程：

$\begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases}$

同时满足两个方程的点在两个曲面上 → 在交线上。

参参数方程

也可以用参数 $t$ 来表示曲线上点的坐标：

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$

当 $t$ 变化时，点 $(x(t), y(t), z(t))$ 就在曲线上移动。

例题：螺旋线

动点 $M$ 在圆柱面 $x^2 + y^2 = a^2$ 上以角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，同时以线速度 $v$ 沿 $z$ 轴方向上移。求轨迹方程。

分析运动

水平方向做圆周运动，竖直方向匀速上升。

写出参数方程

$\begin{cases} x = a\cos\omega t \\ y = a\sin\omega t \\ z = vt \end{cases}$

曲线名称

这就是螺旋线！像弹簧一样绕着圆柱面螺旋上升。

六、空间曲线在坐标面上的投影

投影曲线 —— 从立体到平面

投投影的概念

空间曲线 $C$：$\begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases}$

从方程组中消去一个变量（如 $z$），得到 $H(x,y) = 0$。

$H(x,y) = 0$ 是一个柱面（垂直于 $xOy$ 面）。

这个柱面与 $xOy$ 面的交线 $\begin{cases} H(x,y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}$
就是曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线。

通俗理解：想象用光从上往下照射曲线，在地面上留下的影子就是投影曲线！
操作步骤：❶ 消去要投影到的面所垂直的变量 → ❷ 加上该变量等于零。

六、投影

投影例题

例题

设一个立体由上半球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 和锥面 $z = \sqrt{3(x^2 + y^2)}$ 所围成，求它在 $xOy$ 面上的投影。

第一步：求交线

两曲面交线满足：$\sqrt{4-x^2-y^2} = \sqrt{3(x^2+y^2)}$

第二步：两边平方

$4 - x^2 - y^2 = 3(x^2 + y^2)$
$4 = 4(x^2 + y^2)$
$x^2 + y^2 = 1$

第三步：消去 z

已得到 $x^2 + y^2 = 1$，这就是投影柱面。

结论

投影曲线为 $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ z = 0 \end{cases}$
即 $xOy$ 面上以原点为圆心、$1$ 为半径的圆。
投影区域为 $x^2 + y^2 \leqslant 1$。

综合练习

综合练习 —— 曲线方程与投影

练习 3

指出下列方程所表示的曲线：
(1) $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=25 \\ x=3 \end{cases}$

分析

第一个方程是半径 $5$ 的球面，第二个方程是平面 $x=3$。交线是球面被平面截出的圆。

代入求解

把 $x=3$ 代入：$9+y^2+z^2=25$，即 $y^2+z^2=16$。
这是平面 $x=3$ 上，圆心 $(3,0,0)$、半径 $4$ 的圆。

练习 3 续

(2) $\begin{cases} \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{z^2}{4}=1 \\ x-2=0 \end{cases}$

代入

$x=2$ 代入：$\dfrac{4}{9}-\dfrac{z^2}{4}=1$，$\dfrac{z^2}{4}=\dfrac{4}{9}-1=-\dfrac{5}{9}<0$。
没有实数解 → 曲线不存在（两曲面不相交）。

练习 4

求曲线 $\begin{cases} 2x^2+y^2+z^2=16 \\ x^2-y^2+z^2=0 \end{cases}$ 在三坐标面上的投影。

投影到 xOy 面（消去 z）

由②：$z^2 = y^2-x^2$，代入①：
$2x^2+y^2+y^2-x^2=16$
$x^2+2y^2=16$
投影：$\begin{cases} x^2+2y^2=16 \\ z=0 \end{cases}$（椭圆）

投影到 yOz 面（消去 x）

由②：$x^2 = y^2-z^2$，代入①：
$2(y^2-z^2)+y^2+z^2=16$
$3y^2-z^2=16$
投影：$\begin{cases} 3y^2-z^2=16 \\ x=0 \end{cases}$（双曲线）

投影到 zOx 面（消去 y）

由②：$y^2 = x^2+z^2$（取 $\geqslant 0$），代入①：
$2x^2+(x^2+z^2)+z^2=16$ 但需验证 $y^2 \geqslant 0$ 即 $x^2+z^2 \geqslant 0$（恒成立）。
但注意原方程②要求 $y^2 = x^2-z^2+2z^2$... 让我们用另一种消法：
①−②：$x^2+2y^2=16$，这没消掉 $y$。
①+②：$3x^2+2z^2=16$。
投影：$\begin{cases} 3x^2+2z^2=16 \\ y=0 \end{cases}$（椭圆）

本节总结

知识框架与核心公式

一、球面

标准方程：$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$
一般方程配方还原球心半径
球心 $O$ 时：$x^2+y^2+z^2 = R^2$

二、旋转曲面

$yOz$ 面 $f(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴转：
$y \to \pm\sqrt{x^2+y^2}$
口诀：绕谁不动换另一个
圆锥面：$z^2 = a^2(x^2+y^2)$

三、柱面

方程缺某变量 → 柱面
母线平行于缺失变量的轴
准线在另外两轴的坐标面上

四、二次曲面

椭球面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
椭圆抛物面：$\dfrac{x^2}{2p}+\dfrac{y^2}{2q}=z$
理解方法：截痕法

五、空间曲线

一般方程：两曲面联立
参数方程：$x(t), y(t), z(t)$
螺旋线：$x=a\cos\omega t$, $y=a\sin\omega t$, $z=vt$

六、投影

投影到 $xOy$ 面：
消去 $z$，加 $z=0$
操作：从联立方程中消变量

补充例题 1

判断曲面类型

题题目

判断曲面 $x^2+y^2+z^2=4$ 是什么曲面？

解解题过程

解：将方程与球面标准方程对比：
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$$ 原方程可写为：
$$(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 2^2$$ 可知这是以原点 $(0,0,0)$ 为圆心、$R=2$ 为半径的球面。

答：球面，圆心为原点 $(0,0,0)$，半径 $R=2$。

补充例题 2

旋转抛物面截面

题题目

求旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $z=4$ 截下部分的形状。

解解题过程

解：
① 旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 的特征：开口向上，顶点在原点。
② 当 $z=4$ 时，截面满足 $x^2+y^2=4$，这是一个半径为 $2$ 的圆。
③ 当 $0 \le z \le 4$ 时，截面 $x^2+y^2=z$ 是半径为 $\sqrt{z}$ 的圆，从 $0$ 增大到 $2$。
④ 因此被截下的部分是一个"碗形"区域（旋转抛物面的一部分），底部在原点，顶部被半径为 $2$ 的圆封口。

答：碗形区域——旋转抛物面在 $0\le z\le 4$ 之间的部分，顶部截面为半径 $2$ 的圆。

题型归纳

常见题型与解题策略

题型一：写出球面方程

方法：确定球心和半径，代入标准方程。
"过某点"→ 球心到该点距离 = $R$
"等距"条件→ $|AM|=|BM|$，平方展开

题型二：判断方程表示的图形

步骤：看方程缺哪个变量
· 三元方程 → 曲面
· 二元方程（缺一个变量）→ 柱面
· 两个方程联立 → 曲线
平面 vs 空间：同一方程维度不同含义不同！

题型三：求旋转曲面方程

三步法：❶ 确定原曲线和旋转轴 → ❷ 旋转轴对应的变量不变 → ❸ 另一个变量换成 $\pm\sqrt{\text{另外两个}^2}$

题型四：配方法识别球面

标志：$x^2, y^2, z^2$ 系数相同，无交叉项
方法：分别对 $x, y, z$ 配方 → 得到标准形式

题型五：求交线和投影

交线：联立两个曲面方程
投影步骤：
❶ 确定投影到哪个坐标面
❷ 从方程组中消去垂直于该面的变量
❸ 加上该变量 $= 0$

💡 学习建议：本节内容多、图形多，理解的关键是画图！每种曲面都要在脑中建立三维形象。截痕法是理解复杂曲面的有力工具。