在前面的学习中，我们学会了用代入法、因式分解、有理化等方法求极限。但这些方法并不是万能的。
把 $x = 0$ 代入，分子 $= e^0 - 1 = 0$，分母 $= 0$，得到 $\dfrac{0}{0}$，无法直接计算！
这些极限用以前的方法很难处理。我们需要一个更强大的工具！
当我们将极限值代入后，如果得到 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 这样的形式，它的值不能确定（可能是任何数），我们称之为未定式。
同样是 $\dfrac{0}{0}$ 型，但结果完全不同：
可见 $\dfrac{0}{0}$ 的极限值取决于分子分母趋向 0 的"速度"，所以结果是"未确定的"。
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足以下条件：
（1）$\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$（即 $\dfrac{0}{0}$ 型）；
（2）$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$；
（3）$\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$）。
则：
当 $f(a) = g(a) = 0$ 时，两条曲线都经过点 $(a, 0)$。
在 $x = a$ 附近，$f(x)$ 近似等于其切线：$f(x) \approx f'(a)(x-a)$
同理 $g(x) \approx g'(a)(x-a)$
所以 $\dfrac{0}{0}$ 型极限的值，就等于两函数在该点导数之比！
洛必达法则同样适用于 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型未定式：
若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty$（或 $x \to \infty$），且满足可导等条件，则：
这里 $x \to a$ 也可以是 $x \to +\infty$、$x \to -\infty$ 等情形。
使用方法完全一致：分子分母分别求导，再求极限。
$\ln x \ll x \ll x^2 \ll e^x$
对数最慢，指数最快。这意味着：
但还有其他未定式，需要先变形转化为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，再用洛必达法则。
| 题型 | 未定式 | 处理方法 | 典型例题 | 结果 |
|---|---|---|---|---|
| 题型一 | $\dfrac{0}{0}$ | 直接用洛必达法则 | $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x}$ | $1$ |
| 题型二 | $\dfrac{\infty}{\infty}$ | 直接用洛必达法则 | $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ | $0$ |
| 题型三 | $0 \cdot \infty$ | 改写为分式 $\dfrac{f}{1/g}$ | $\lim\limits_{x \to 0^+}x\ln x$ | $0$ |
| 题型四 | $\infty - \infty$ | 通分合并为分式 | $\lim\limits_{x \to 1}\left(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1}\right)$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| 题型五 | $1^\infty, 0^0, \infty^0$ | 取对数后化为 $\dfrac{0}{0}$ | $\lim\limits_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$ | $e$ |
① 验证：确认是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型 → ② 求导：分子分母分别求导 → ③ 检查：若仍是未定式则重复，否则代入求值
$0 \cdot \infty$：改写为分式 → $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$； $\infty - \infty$：通分 → $\dfrac{0}{0}$； $1^\infty, 0^0, \infty^0$：取对数 → $0 \cdot \infty$ → 分式
① 使用前必须验证是未定式；② 是分别求导，不是商的求导法则；③ 若 $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 不存在，法则可能不适用，需换方法
$x \to +\infty$ 时：$\ln x \ll x^n \ll a^x \ll x!$（对数 ≪ 幂函数 ≪ 指数 ≪ 阶乘）
求 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$。
当 $x\to 0$ 时，$e^x-1\to 0$，$x\to 0$，为 $\dfrac{0}{0}$ 型。
由洛必达法则：
答：原式 $= 1$。
求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$。
当 $x\to+\infty$ 时，$\ln x\to+\infty$，$x\to+\infty$，为 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型。
由洛必达法则：
答：原式 $= 0$。说明对数增长远慢于线性增长。