第四章 · 导数的应用

完整复习与综合训练

中值定理 · 洛必达法则 · 单调极值 · 最值应用 · 凹凸拐点 · 渐近线 · 描图 · 全部习题精讲

6

核心知识板块

35+

习题全覆盖

7

关键定理方法

5

经典题型

OVERVIEW · 全章纵览第四章知识脉络

本章以导数为工具，研究函数的各种性质和应用。

理解整章：
① 中值定理：告诉我们"导数为0的点一定存在"——理论基础
② 洛必达法则：用导数求"算不出来"的极限（0/0 或 ∞/∞）
③ 一阶导 f'：管函数的"升降"——哪里上坡、下坡、山顶、谷底
④ 二阶导 f''：管函数的"弯曲方向"——碗状还是拱状，哪里拐弯
⑤ 综合起来：就能画出函数完整图形

导数的应用

微分中值定理罗尔/拉格朗日/柯西

洛必达法则0/0 型 · ∞/∞ 型

单调性与极值驻点·极大值·极小值

最值问题闭区间最值·应用题

凹凸性与拐点f'' 判凹凸·拐点

渐近线与作图水平·铅直·描图

核心逻辑链：中值定理（理论基础）→ 洛必达法则（求极限的利器）→ 用 $f'$ 判定单调性和极值 → 用 $f''$ 判定凹凸性和拐点 → 综合作图。

THEOREMS · 定理汇总核心定理速览

什么是中值定理？你开车从A到B，平均速度60km/h，那路上一定有某个瞬间速度恰好是60km/h。

1. 罗尔定理 (Rolle)

①$[a,b]$连续 ②$(a,b)$可导 ③$f(a)=f(b)$

$$\exists\,\xi\in(a,b),\;f'(\xi)=0$$

2. 拉格朗日中值定理

①$[a,b]$连续 ②$(a,b)$可导

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$

3. 柯西中值定理

$f,F$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$F'\neq 0$

$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$$

4. 洛必达法则

适用：$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

(上下分别求导，不是商的求导法则！)

关系：柯西→拉格朗日→罗尔（逐步特殊化）。柯西中令$F(x)=x$得拉格朗日；拉格朗日中令$f(a)=f(b)$得罗尔。

METHODS · 方法总结关键方法与判定

1

单调性：$f'>0$→递增↗；$f'<0$→递减↘ （导数正=涨，负=跌）

2

极值必要条件：若$f(x_0)$为极值且可导，则$f'(x_0)=0$（驻点）

3

极值第一充分条件：$f'$变号→极值。正→负：极大；负→正：极小

4

极值第二充分条件：$f'(x_0)=0$时：$f''<0$→极大；$f''>0$→极小

5

闭区间最值：①求驻点 ②算驻点和端点的值 ③比大小 ⚠️别忘端点！

6

凹凸性：$f''>0$→凹（碗🥣）；$f''<0$→凸（拱🌉） "凹"像碗能装水

7

拐点：$f''$变号的点，写坐标$(x_0,f(x_0))$ ⚠️$f''=0$不一定是拐点！

✅ 正确

驻点：$f'=0$
极值点：$f'$变号
拐点：$f''$变号(写坐标)

VS

❌ 易混

驻点≠极值点(如$x^3$)
$f'=0$不充分(需变号)
$f''=0$≠拐点(如$x^4$)

PART 1

微分中值定理

习题 4-1 · 罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 4 题全解

习题 4-1 · MEAN VALUE中值定理四题精讲

4-1·第1题

验证罗尔定理对 $y=\ln\sin x$ 在 $[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$ 上的正确性。

检查三个条件
①闭区间连续：$\sin x>0$（一二象限），$\ln\sin x$连续 ✓
②开区间可导：$(\ln\sin x)'=\cot x$ 存在 ✓
③端点相等：$f(\frac{\pi}{6})=\ln\frac{1}{2}=f(\frac{5\pi}{6})$ ✓

找 ξ
$\cot\xi=0 \Rightarrow \xi=\frac{\pi}{2}\in(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$ ✓ □

4-1·第2题

证明对 $y=px^2+qx+r$ 用拉格朗日中值定理时，$\xi$ 总在区间正中间。

分别算等号两边
左边 $f'(\xi)=2p\xi+q$；右边 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=p(a+b)+q$

令左=右解ξ
$2p\xi+q=p(a+b)+q$ → $\xi=\frac{a+b}{2}$（中点）□
💬 抛物线左右对称，平均斜率出现在正中间。

4-1·第3题

$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$，$f'(x)=0$ 有几个实根？

分析 $f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0$（四个零点）

罗尔定理
$[1,2]$内$\exists\xi_1$，$[2,3]$内$\exists\xi_2$，$[3,4]$内$\exists\xi_3$使$f'=0$
四次多项式求导得三次→至多3根，已找到3个→恰好3个实根

4-1·第4题

证明恒等式 $\arctan x + \text{arccot}\,x = \frac{\pi}{2}$

求导证为常数
$f(x)=\arctan x+\text{arccot}\,x$，$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$
$f'\equiv 0$ → $f$ 为常数。代入 $f(0)=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。故 $f(x)\equiv\frac{\pi}{2}$ □
💬 好方法！证等式恒成立→设f(x)→证f'≡0→算一个特殊点。

PART 2

洛必达法则

习题 4-2 · 8 道求极限 + 2 道证明 · 类型全覆盖

L'Hôpital · 类型策略未定式类型与转化方法

什么是"未定式"？直接代入后得到 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$ 等"算不出来"的形式。洛必达的核心：上下分别求导，再算极限。但前提是必须先验证类型！

七种未定式 · 完整分类

$\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型 —— 直接上下分别求导

$0\cdot\infty$ 型 —— 翻分母化分式（如 $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$）

$\infty-\infty$ 型 —— 通分变成 $\frac{0}{0}$

$1^{\infty},\;0^0,\;\infty^0$ 型 —— 取对数！$\ln y=g\ln f$，最后 $y=e^{\ln y}$

演示 · $\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$

判断：$\frac{0}{0}$ ✓ → ① $\frac{1-\cos x}{3x^2}$ 仍$\frac{0}{0}$ → ② $\frac{\sin x}{6x}$ 仍$\frac{0}{0}$ → ③ $\frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6}$ ✓

⚠️ 使用前必须检查：① 是否 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$？② 求导后极限存在吗？③ 每次洛必达后重新检查类型。

习题 4-2 · 基本型0/0 型 · ∞/∞ 型 · 0⁰ 型

4-2·1(1)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}$

判断 $\frac{0}{0}$ ✓
洛必达 $\frac{3\cos 3x}{7\cos 7x}$，代$x=0$：$\frac{3}{7}$
💬 规律：$\lim\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

4-2·1(2)

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^a}$（$a>0$）

判断 $\frac{\infty}{\infty}$ ✓
洛必达 $\frac{1/x}{ax^{a-1}}=\frac{1}{ax^a}\to\boxed{0}$
对数增长比任何幂函数都慢！

4-2·1(3) · $0^0$型

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(\sin x)^x$

判断底→0，指→0 → $0^0$ 型
取对数 $\ln y=x\ln(\sin x)$ → $0\cdot(-\infty)$
翻分母 $=\frac{\ln\sin x}{1/x}$ → $\frac{-\infty}{\infty}$ ✓
洛必达+化简 $\to 0$
还原 $\ln y\to 0$，$y=e^0=\boxed{1}$

4-2·1(4) ⚠️ 死循环

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

⚠️ 洛必达会死循环！求导后分子分母互换，永远算不完。

正确：同除以 $e^x$
$\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\to\frac{1-0}{1+0}=\boxed{1}$

习题 4-2 · 陷阱振荡函数——不能用洛必达！

4-2·1(5)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x+\sin x}$

⚠️ 不能用洛必达！求导后 $\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$，$\cos x$ 在 $x\to\infty$ 时振荡不收敛。

正确：同除以 x
$\frac{1-\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\sin x}{x}}$。$|\sin x|\leq 1$（有界）÷$|x|\to\infty$ → $\frac{\sin x}{x}\to 0$
答案 $=\frac{1-0}{1+0}=\boxed{1}$

4-2·1(8)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+\cos x}{x}$

⚠️ 同理不能用！求导后 $1-\sin x$ 振荡。
拆开！ $1+\frac{\cos x}{x}\to 1+0=\boxed{1}$

🚫 不能用洛必达的标志：求导后出现 $\sin x$ 或 $\cos x$ 且 $x\to\infty$ → 极限不存在。
替代：同除以x 或拆分，利用"有界量÷无穷大=0"。

习题 4-2 · 变形∞−∞ 型与 0·∞ 型

4-2·1(6) · $\infty-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)$

通分变 $\frac{0}{0}$
$\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}$ → 分子分母都→0 ✓
第一次洛必达 $\frac{\ln x}{\ln x+1-1/x}$→仍$\frac{0}{0}$
第二次洛必达 $\frac{1/x}{1/x+1/x^2}=\frac{1}{1+1}=\boxed{\frac{1}{2}}$

4-2·1(7) · $0\cdot\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to\pi}(x-\pi)\tan\frac{x}{2}$

换元令 $t=x-\pi$，$\tan(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2})=-\cot\frac{t}{2}$
原式 $=\lim_{t\to 0}\frac{-t\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}$ → $\frac{0}{0}$
用等价无穷小 $\sin\frac{t}{2}\sim\frac{t}{2}$：$\frac{-t\cdot 1}{t/2}=\boxed{-2}$

变形总结：$\infty-\infty$→通分；$0\cdot\infty$→把0放分子、∞翻到分母（取倒数）。

习题 4-2 · 证明+总结两道证明 + 10题全类型回顾

4-2·2(1)

证明 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}=a$

$\frac{0}{0}$型 → 洛必达：$\lim\frac{a\cos ax}{1}=a$ □
意义：等价无穷小 $\sin ax\sim ax$（$x\to 0$）。

4-2·2(2)

证明 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k$

$1^\infty$型 → 取对数。令$t=1/x$：$\frac{\ln(1+kt)}{t}$→$\frac{0}{0}$
洛必达：$\frac{k/(1+kt)}{1}=k$ → $y=e^k$ □

洛必达10题全类型总结

(1) $\frac{\sin 3x}{\sin 7x}$→$\frac{0}{0}$ · (2) $\frac{\ln x}{x^a}$→$\frac{\infty}{\infty}$ · (3) $(\sin x)^x$→$0^0$取对数

(4) $\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$→化简同除 · (5)(8) 含sinx/cosx→不能用！振荡

(6) $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}$→$\infty-\infty$通分 · (7) $(x-\pi)\tan\frac{x}{2}$→$0\cdot\infty$换元

证(1) $\frac{\sin ax}{x}=a$ · 证(2) $(1+k/x)^x=e^k$→$1^\infty$

PART 3

单调性与极值

第一/第二充分条件 · 单调区间 · 极值参数 · 唯一根证明

习题 4-3 · MONOTONE单调区间精讲

解题四步法

Step 1: 确定定义域 → Step 2: 求 $f'(x)$ → Step 3: 令 $f'=0$ 找驻点 → Step 4: 分段判正负 → 正增负减

4-3·1(1)

$f(x)=2x^2-\ln x$ 的单调区间。

定义域 $x>0$
求导 $f'=\frac{4x^2-1}{x}$，驻点 $x=\frac{1}{2}$
$(0,\frac{1}{2})$：$f'<0$ 递减↘；$(\frac{1}{2},+\infty)$：$f'>0$ 递增↗
极小值 $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\ln 2$

4-3·1(2)

$f(x)=xe^x$ 的单调区间。

$f'=e^x(1+x)$。$e^x>0$ 恒成立，符号由 $(1+x)$ 决定。
$x<-1$：递减↘；$x>-1$：递增↗。极小值 $f(-1)=-\frac{1}{e}$

复习例

$f(x)=x^3-3x^2-9x+2$ 的单调区间与极值

$f'=3(x-3)(x+1)$，驻点 $x=-1,3$
$x<-1$：正×负×负=正 → ↗；$-1<x<3$ → ↘；$x>3$ → ↗
极大 $f(-1)=7$；极小 $f(3)=-25$

定理 4-6 · EXTREMA第二充分条件 · 参数 · 唯一根

定理 4-6 · 极值第二充分条件

$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)<0$ → 极大值（山顶）；$f''(x_0)>0$ → 极小值（谷底）

若 $f''(x_0)=0$ 则失效，退回第一充分条件。口诀："负大正小"

例4

$f(x)=x^2-\frac{1}{2}x^4$ 的极值。

$f'=2x(1-x^2)=0$→驻点$x=-1,0,1$。$f''=2-6x^2$
$f''(-1)=-4<0$→极大$\frac{1}{2}$；$f''(0)=2>0$→极小$0$；$f''(1)=-4<0$→极大$\frac{1}{2}$

4-3·第3题 · 由极值求参数

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 在 $x=2$ 极大值3，$x=3$ 极小值。求 $a,b,c$。

$f'=3x^2+2ax+b$，$x=2,3$ 是 $f'=0$ 的两根。韦达：
$2+3=-\frac{2a}{3}\Rightarrow a=-\frac{15}{2}$；$2\times3=\frac{b}{3}\Rightarrow b=18$
$f(2)=3$ → $c=-11$。极小值 $f(3)=\frac{5}{2}$

4-3·第4题 · 单调性证唯一根

证明 $x^3-3x^2+c=0$ 在 $[0,\frac{3}{2}]$ 上至多一个实根。

$f'=3x(x-2)$。在$[0,\frac{3}{2}]$：$3x\geq 0$，$x-2<0$→$f'\leq 0$ 严格递减。
严格递减函数不能在两个不同$x$取同一值→至多一根 □

PART 4

最值与应用

闭区间最值法 · 折盒子 · 围场地 · 吊车 · 电路功率

MAX & MIN · 最值法闭区间上的最大值与最小值

最值三步法

Step 1: 求$f'$找驻点和不可导点 → Step 2: 算驻点和两个端点的值 → Step 3: 比大小

为什么要比端点？最高点可能是山顶（驻点），也可能是边界悬崖（端点）。端点不能漏！

4-3·第5题

$y=x+\sqrt{1-x}$，$x\in[-1,1]$ 的最值。

$y'=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}$
$f(-1)=\sqrt{2}-1\approx0.41$，$f(\frac{3}{4})=\frac{5}{4}=1.25$，$f(1)=1$
最大 $\frac{5}{4}$（驻点）；最小 $\sqrt{2}-1$（端点）

例5

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$ 在 $[-3,4]$ 的最值。

$f'=6(x+2)(x-1)=0$→$x=-2,1$
$f(-3)=9$，$f(-2)=20$，$f(1)=-7$，$f(4)=128$
最大 128（$x=4$ 端点！）；最小 -7（$x=1$）
⚠️ 最大值在端点不在驻点！这就是不能忘端点的原因。

口诀：求最值三步走——找驻点、算端点、比大小！

APPLICATION · 应用题最值的实际问题（4 题）

应用题模板：审题→设变量→建目标函数→确定定义域→求导令零→唯一驻点直接判定→写答。

4-3·第6题 · 折盒子

12×8cm矩形四角剪正方形折无盖盒子，最大容积？

设边长$x$，$V=x(12-2x)(8-2x)$，$0<x<4$。
$V'=0\Rightarrow x=\frac{10-2\sqrt{7}}{3}\approx1.57$。唯一驻点即最大值点，$V_{\max}\approx67.6$ cm³。

4-3·第7题 · 围场地

围150m²矩形，正面6元/m其余3元/m，最省？

设正面长$x$，$C=9x+\frac{900}{x}$。$C'=0\Rightarrow x=10$，$y=15$。$C_{\min}=180$元。

例6 · 吊车

吊臂15m，车高1.5m，油罐直径6m高2m，能吊上6.5m平台？

$h(\alpha)=1.5+15\sin\alpha-3\tan\alpha-2$，$h'=0$→$\cos^3\alpha=\frac{1}{5}$→$h_{\max}\approx7.5>6.5$ 能吊上去 ✓

例7 · 电路功率

电压E内阻r，负载R取何值输出功率最大？

$P=\frac{E^2R}{(R+r)^2}$，$P'=0\Rightarrow R=r$。$P_{\max}=\frac{E^2}{4r}$（阻抗匹配）。

PART 5

凹凸性 · 拐点 · 渐近线

二阶导判定 · 拐点参数 · 渐近线 · 选择题辨析

CONCAVITY · 凹凸性凹凸判定 · 拐点 · 渐近线

判定方法

凹（下凸）：$f''>0$，碗状🥣 · 凸（上凸）：$f''<0$，拱状🌉

拐点：$f''$ 变号的点。$f''=0$是必要不充分（还需变号！）

复习例

$y=x^3-x$ 的凹凸区间和拐点。

$y''=6x$。$x<0$→凸；$x>0$→凹。$x=0$变号→拐点$\boldsymbol{(0,0)}$

4-3·第9题

$y=\frac{1}{1-x^2}$ 的渐近线。

铅直 $1-x^2=0\Rightarrow x=\pm1$ → 铅直渐近线 $x=1$, $x=-1$
水平 $x\to\pm\infty$时$\to0$ → 水平渐近线 $y=0$
共3条渐近线。

4-3·第10题

已知$(1,3)$为$y=ax^3+bx^2$的拐点，求$a,b$。

① 过点：$a+b=3$
② $f''(1)=0$：$6a+2b=0\Rightarrow b=-3a$
代入：$a-3a=3\Rightarrow a=-\frac{3}{2}$，$b=\frac{9}{2}$
验证 $y''=9(1-x)$，$x=1$两侧变号 ✓

习题 4-3 · CHOICE选择题精讲（8 道）

4-3·8(1)

$f'<0,f''<0$→？答B：下降+凸（拱形地下降）。

4-3·8(2)

$f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0$→极值。答C。定理4-6。

4-3·8(3)

$y=\sqrt[3]{x}$，$(0,0)$是拐点？答D（$y''$在$x=0$变号）。

4-3·8(4)

$y=x^3+ax^2-5x+4$拐点$(1,f(1))$→$a=-3$。答D。

选择(1)

$f(x)=x^3$，$x=0$是驻点但非极值点。答C。

选择(5)

极大值充分条件？$f'=0$且$f''<0$。答C。

选择(6)

$y=x^3$拐点？答A：$(0,0)$。

选择(7)

$y=1/x$渐近线？答B：2条（$x=0$和$y=0$）。

选择题核心易错：①$f''=0$是拐点的必要不充分条件 ②驻点≠极值点（$x^3$） ③极值点不一定是驻点（$|x|$） ④拐点写坐标

PART 6

函数图形的描绘

六步法 · y=2−x−x³ · y=ln(x²+1) · y=(2/3)x−∛x

CURVE SKETCHING · 描图六步法与三道例题

作图六步法

① 定义域+对称性 → ② $f'$：单调与极值 → ③ $f''$：凹凸与拐点

④ 渐近线 → ⑤ 关键点坐标 → ⑥ 描点连线

4-3·11(1)

$y=2-x-x^3$

$y'=-1-3x^2<0$ 恒成立→全程递减，无极值。
$y''=-6x$→$x<0$凹，$x>0$凸，拐点$(0,2)$。
关键点：$f(0)=2$，$f(1)=0$，$f(-1)=4$。

4-3·11(2)

$y=\ln(x^2+1)$

偶函数（y轴对称）。$y'=\frac{2x}{x^2+1}$→$x=0$极小值0。
$y''=\frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$→拐点$(\pm1,\ln2)$。
$|x|<1$凹，$|x|>1$凸。

复习题·第7题

$y=\frac{2}{3}x-\sqrt[3]{x}$

定义域$(-\infty,+\infty)$。$y'=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}x^{-2/3}$→$x=0$不可导。
$y''=\frac{2}{9}x^{-5/3}$→$x>0$凹，$x<0$凸，$x=0$拐点。

REVIEW

复习题四 · 汇总

填空 · 判断(6) · 计算 · 选择 · 查漏补缺

复习题四 · PART A填空题与判断题

填空·第1题

$f(x)=x^3-3x^2-9x+15$ 在 $[-4,4]$ 的全面分析。

求导：$f'=3(x+1)(x-3)$，驻点$x=-1,3$。$f''=6x-6$，令$f''=0$→$x=1$
单调：递增$(-4,-1)\cup(3,4)$；递减$(-1,3)$
极值：极大$f(-1)=20$，极小$f(3)=-12$
凹凸：凸$(-4,1)$，凹$(1,4)$
最值：$f(-4)=-61$。最大20（$x=-1$），最小-61（$x=-4$端点）

填空·第2题

$y=\frac{1}{1-x^2}$ 的渐近线。

水平：$y=0$；铅直：$x=1$，$x=-1$。共3条。

判断(1)

$f(a)=f(b)$→$\exists\xi$使$f'(\xi)=0$?

❌ 错。罗尔定理有三个条件，还需连续+可导。

判断(2)

$f'(x_0)=0$→$f(x_0)$是极值?

❌ 错。反例：$x^3$在$x=0$。驻点是极值的必要不充分条件。

判断(3)

$f''(x_0)=0$→拐点?

❌ 错。反例：$x^4$在$x=0$。拐点要求$f''$变号。

判断(4-6)

④极大>极小? ⑤连续闭区间有最值? ⑥极值点=驻点?

(4)❌ 极值是局部概念 (5)✅ 最值定理 (6)❌ $|x|$在$x=0$有极小值但$f'(0)$不存在

复习题四 · PART B计算题 + 更多选择题

第4(1)题

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^x}$

三次洛必达：$\frac{3x^2}{e^x}\to\frac{6x}{e^x}\to\frac{6}{e^x}=\boxed{0}$。指数增长比任何多项式都快！

第5(1)题

$y=x^3-3x^2-1$

$y'=3x(x-2)$。$x<0$增；$0<x<2$减；$x>2$增。极大$y(0)=-1$，极小$y(2)=-5$。

第5(2)题

$y=\frac{2x}{\ln x}$（$x>0,x\neq1$）

$y'=\frac{2(\ln x-1)}{(\ln x)^2}$。$x=e$极小值$2e$。$x<e$减，$x>e$增。

第6(1)题

$y=e^{2x-x^2}$ 凹凸

$y''=(4x^2-8x+2)e^{2x-x^2}$。拐点$x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，$y$坐标均为$\sqrt{e}$。

选择(2)

$f'>0$在$(a,b)$→？答A：单调递增。

选择(3)

$y=e^x$凹凸？答A：$y''=e^x>0$处处凹。

选择(4)

$\lim\frac{\sin x}{x}$？答B：洛必达→1。

选择(8)

$f(0)=f(3)$→拉格朗日→？答B：即罗尔。

4-3·第2题

连续函数闭区间上既有极大值又有极小值→？

答(4)前三种都不一定。极值是局部概念，最值是全局概念。

第6(2)题

$y=(2x-1)^4+1$ 凹凸？

$y''=48(2x-1)^2\geq 0$不变号→处处凹（无拐点）。

SUMMARY

总结 · 速查 · 易错清单

公式表 · 常见错误 · 复习策略 · 35+ 题覆盖一览

FINAL · 总结公式速查 · 易错清单 · 题目覆盖

常见错误清单 · 考前必查

洛必达使用前忘记验证是否为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型
把"驻点"等同于"极值点"（$x^3$的反例）
把"$f''(x_0)=0$"等同于"拐点"（需$f''$变号）
闭区间最值只比较驻点，忘记端点
凹凸搞混：$f''>0$是凹（碗🥣），不是凸
拐点只写$x_0$，忘记写坐标$(x_0,y_0)$
极值是局部概念，最值是全局概念

公式速查表

判定	条件	结论
递增	$f'>0$	↗
递减	$f'<0$	↘
极大	$f'=0,f''<0$	🏔️
极小	$f'=0,f''>0$	🏖️
凹	$f''>0$	🥣
凸	$f''<0$	🌉
拐点	$f''$变号	$(x_0,y_0)$

35+ 题覆盖

中值定理 4题 · 洛必达 10题

单调极值 5题 · 最值应用 4题

凹凸拐点 11题 · 选择 8题

判断 6题 · 描图 3题

核心口诀：
洛必达先辨型 · 单调极值看一导 · 最值别忘端点比 · 拐点必须要变号

一阶导数管"升降"，二阶导数管"凹凸"，两者配合画完整图形。加油💪

判定	条件	结论
递增	\(f'>0\)	↗
递减	\(f'<0\)	↘
极大	\(f'=0,f''<0\)	🏔️
极小	\(f'=0,f''>0\)	🏖️
凹	\(f''>0\)	🥣
凸	\(f''<0\)	🌉
拐点	\(f''\)变号	\((x_0,y_0)\)