用 $f''(x)$ 的正负判断曲线向上弯还是向下弯，找到弯曲方向改变的点
了解曲线无限接近但永远达不到的直线——水平渐近线和垂直渐近线
综合运用导数知识，系统地画出函数的完整图形
把一段曲线想象成一个碗：碗口朝上（能盛水）的曲线叫"凹"；碗口朝下（水会倒出来）的曲线叫"凸"。
在区间 $(a,b)$ 内，如果曲线 $y=f(x)$ 始终在它的任意一条切线的上方，就说曲线在 $(a,b)$ 内是凹的。
如果曲线始终在切线的下方，就说曲线在 $(a,b)$ 内是凸的。
设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有二阶导数，则：
① 若 $f''(x) > 0$（二阶导数为正）→ 曲线在 $(a,b)$ 内是凹的
② 若 $f''(x) < 0$（二阶导数为负）→ 曲线在 $(a,b)$ 内是凸的
"二正凹，二负凸"：$f''(x)>0$ 为凹（像碗能盛水），$f''(x)<0$ 为凸（像山倒扣）。
也可以记：正号笑脸 😊 = 凹，负号哭脸 😞 = 凸。
曲线从凹变成凸，或从凸变成凹的那个分界点，就叫做拐点。
想象你开车走S形弯道——方向盘从左打变成右打的那一刻，对应的就是拐点。
第 1 步：求二阶导数 $f''(x)$
第 2 步：令 $f''(x) = 0$（或找 $f''(x)$ 不存在的点），解出候选点 $x_0$
第 3 步：检验——看 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧是否变号
· 变号了 → $(x_0, f(x_0))$ 是拐点 ✓
· 没变号 → 不是拐点 ✗
$f''(x_0) = 0$ 不一定是拐点！ 必须变号才行。
例如 $y = x^4$，$f''(x) = 12x^2$，$f''(0) = 0$，但 $f''(x) = 12x^2 \geqslant 0$ 在 $x=0$ 两侧都是正的（没变号），所以 $(0,0)$ 不是拐点。
另外：拐点是一个点，要写成坐标 $(x_0, f(x_0))$，不能只写 $x_0$。
求 $f(x) = x^3 - x$ 的凹凸区间和拐点。
凸区间：$(-\infty, 0)$；凹区间：$(0, +\infty)$；拐点：$(0, 0)$
设 $f(x) = x^2 - x^4$，求其凹凸区间和拐点。
| $x$ | $\left(-\infty, -\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ | $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}}, \dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)$ | $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ | $\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}, +\infty\right)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| 凹凸 | 凸 | — | 凹 | — | 凸 |
凸区间：$\left(-\infty, -\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)$ 和 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}, +\infty\right)$
凹区间：$\left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}}, \dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)$
拐点：$\left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}}, \dfrac{5}{36}\right)$ 和 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}, \dfrac{5}{36}\right)$
题型小结：求凹凸区间和拐点 = "求 $f''(x)$ → 令 $f''(x)=0$ → 列表看变号 → 写出拐点坐标"。和找极值的方法非常像，只不过把 $f'(x)$ 换成了 $f''(x)$。
设 $a < x < b$，$f'(x) < 0$，$f''(x) < 0$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的形状是（ ）
A. 沿 $x$ 轴正向下降，且是凹弧 B. 沿 $x$ 轴正向下降，且是凸弧
C. 沿 $x$ 轴正向上升，且是凸弧 D. 沿 $x$ 轴正向上升，且是凹弧
答案：B（沿 $x$ 轴正向下降，且是凸弧）
下面命题正确的是（ ）
A. 如果 $f''(x_0) = 0$，则 $f(x_0)$ 一定是 $y = f(x)$ 的极值
B. 如果 $f''(x_0) = 0$，则 $(x_0, f(x_0))$ 一定是曲线的拐点
C. 如果 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) \neq 0$，则 $f(x_0)$ 一定是极值
D. 如果 $(x_0, f(x_0))$ 是曲线的拐点，则一定有 $f''(x_0) = 0$
答案：C
下列结论正确的是（ ）
A. $y = x^2$ 的拐点是 $(0,0)$ B. $y = x^3$ 的拐点是 $x=0$ 点
C. $y = \sqrt[3]{x^2}$ 的拐点是 $(0,0)$ D. $y = \sqrt[3]{x}$ 的拐点是 $(0,0)$
答案：D
已知曲线 $y = x^3 + ax^2 - 5x + 4$ 上有拐点 $(1, f(1))$，则 $a = $ （ ）
A. $3$ B. $2$ C. $-2$ D. $-3$
答案：D. $a = -3$
做选择题的技巧：关于拐点，记住两个要点——① $f''(x_0)=0$（或不存在）是必要不充分条件；② 必须变号才是拐点。拐点是坐标 $(x_0, y_0)$，不能只写 $x_0$。
有些曲线在某个方向上会无限靠近一条直线，但永远碰不到（或者说距离趋向零）。这条直线就叫渐近线。
当 $x \to +\infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，$\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = b$（趋向一个常数），那么直线 $y = b$ 就是水平渐近线。
当 $x \to x_0$ 时，$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$（函数值趋向无穷大），那么直线 $x = x_0$ 就是垂直渐近线。
求函数 $y = \dfrac{1}{1 - x^2}$ 的渐近线。
$y = \dfrac{1}{1-x^2}$ 的渐近线：垂直渐近线 $x = 1$、$x = -1$；水平渐近线 $y = 0$
找渐近线的套路：① 垂直：找使分母为零的 $x$ 值，检查 $y$ 是否趋向无穷；② 水平：算 $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$，如果是有限数 $b$，则 $y=b$ 是水平渐近线。
掌握了导数的全部知识后，我们就能系统地画出函数的完整图形。不是"大概画画"，而是精确把握升降、弯曲、极值、拐点、渐近线。
第 1 步：确定定义域（函数在哪些 $x$ 值有意义）
第 2 步：求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$，找驻点和可能的拐点
第 3 步：列表分析 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 的正负 → 确定单调性、凹凸性、极值、拐点
第 4 步：找渐近线（如果有的话）
第 5 步：计算关键点的坐标（极值点、拐点、与坐标轴交点等），连点成线
不是随手画——每一段曲线是升是降、是凹是凸，都要和列表一致。极值点、拐点的位置和坐标要标准确。渐近线用虚线画出。
画出 $f(x) = \dfrac{4(x-1)}{x^3} - 2 = \dfrac{4}{x^2} - \dfrac{4}{x^3} - 2$ 的图形。
| $x$ | $(-\infty,0)$ | $0$ | $\left(0,\dfrac{3}{2}\right)$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\left(\dfrac{3}{2},2\right)$ | $2$ | $(2,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | — | ∄ | + | 0 | — | — | — |
| $f''(x)$ | — | ∄ | — | — | 0 | + | |
| $f(x)$ | 凸↘ | 间断 | 凹↗ | 极大 | 凸↘ | 拐点 | 凹↘ |
函数 $f(x)=\dfrac{4(x-1)}{x^3}-2$ 的图形特征：垂直渐近线 $x=0$，水平渐近线 $y=-2$，极大值在 $x=\dfrac{3}{2}$ 处，拐点在 $(2, -\dfrac{3}{2})$
作出 $y = 2 - x - x^3$ 的图形。
| $x$ | $(-\infty, 0)$ | $0$ | $(0, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $y'$ | $-$ | $-1$ | $-$ |
| $y''$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $y$ | 凹↘ | 拐点 $(0,2)$ | 凸↘ |
$y=2-x-x^3$ 全程递减（无极值），拐点为 $(0,2)$。$x<0$ 段凹，$x>0$ 段凸。
特别注意：这个函数 $y'=-1-3x^2<0$ 恒成立，说明一直在降。不是所有函数都有极值！但拐点仍然可以存在——它代表弯曲方向的改变，不是升降的改变。
已知点 $(1, 3)$ 为曲线 $y = ax^3 + bx^2$ 的拐点，求 $a$ 与 $b$ 的值。
$a = -\dfrac{3}{2}$，$b = \dfrac{9}{2}$
题型套路："已知拐点求参数" = ① $f''(x_0)=0$（拐点处二阶导为零） + ② $f(x_0)=y_0$（点在曲线上）→ 联立解方程组。和"已知极值求参数"的方法完全类似，只是把 $f'$ 换成 $f''$。
判断 $f(x)=x^3$ 的凹凸性并求拐点。
解：
① $f'(x)=3x^2$，$f''(x)=6x$。
② 令 $f''(x)=0$，得 $x=0$。
③ $x<0$ 时 $f''(x)<0$（凸）；$x>0$ 时 $f''(x)>0$（凹）。$f''$ 变号。
④ $f(0)=0$。
拐点为 $(0,0)$。$(-\infty,0)$ 上凸，$(0,+\infty)$ 上凹。
求 $f(x)=x^4-6x^2$ 的拐点。
解：
① $f'(x)=4x^3-12x$，$f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x+1)(x-1)$。
② 令 $f''(x)=0$，得 $x=-1$ 和 $x=1$。
③ $x<-1$ 时 $f''>0$（凹）；$-1<x<1$ 时 $f''<0$（凸）；$x>1$ 时 $f''>0$（凹）。
④ $f(-1)=1-6=-5$，$f(1)=1-6=-5$。
拐点为 $(-1,-5)$ 和 $(1,-5)$。
$f''(x)>0$ → 凹（碗口朝上）
$f''(x)<0$ → 凸（碗口朝下）
口诀：二正凹，二负凸
凹凸分界点
必要条件：$f''(x_0)=0$ 或不存在
关键：$f''$ 必须变号
拐点写坐标 $(x_0, y_0)$
垂直：$x\to x_0$ 时 $f\to\infty$
水平：$x\to\infty$ 时 $f\to b$
分母为零找垂直，趋无穷找水平
定义域 → 求 $f'$、$f''$ → 列表（升降凹凸）→ 渐近线 → 描点连线
题型一：求凹凸区间和拐点
题型二：选择题（概念辨析）
题型三：求渐近线
题型四：描绘函数图形
题型五：由拐点条件求参数
题型六：综合判断曲线形状
一阶导管升降，二阶导管凹凸
列表分析是核心工具 ✨