矩阵代数 — 矩阵的概念与运算

第七章

矩阵代数

矩阵的概念与运算

从生活中发现矩阵

矩阵来源于对数据的整理——把一组有规律的数排列成矩形

某高职院校 4 个系近 3 年参与顶岗实习的人数如下表：

年份	材料系	航管系	建筑系	电气系
2008	193	184	192	175
2009	205	191	196	184
2010	222	198	212	188

如果我们去掉表头的文字说明，只保留数字，就得到一个 3 行 4 列的数表：

$$\begin{pmatrix} 193 & 184 & 192 & 175 \\ 205 & 191 & 196 & 184 \\ 222 & 198 & 212 & 188 \end{pmatrix}$$

这就是一个矩阵！矩阵本质上就是一个由数字构成的矩形阵列。

矩阵与方程组的联系

矩阵最早就是从研究线性方程组的过程中诞生的

思考

已知线性方程组 $$\begin{cases} 2x + 3y + mz = 1 \\ 3x - 2y + 4z = 2 \end{cases}$$ 把未知数 $x, y, z$ 的系数按原来的次序排列：

系数矩阵

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & m \\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$

→

增广矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & m & 1 \\ 3 & -2 & 4 & 2 \end{array}\right)$$

理解要点

系数矩阵只取方程组中未知数前面的系数；增广矩阵在系数矩阵的右边再加上等号后面的常数列。矩阵只关心数的位置和排列，与未知数无关。

矩阵的严格定义

定义

由 $mn$ 个数 $a_{ij}$（$1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$）排成 $m$ 行 $n$ 列的数表

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵（简称 $m \times n$ 矩阵）。数 $a_{ij}$ 称为矩阵的元素，下标 $i$ 表示行号，$j$ 表示列号。

记号说明

矩阵常用大写粗体字母 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 等表示，也可简记为 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 或 $(a_{ij})_{m \times n}$。

方阵

当行数 $m$ 与列数 $n$ 相等时，矩阵变成 $n \times n$ 的"方形"阵列，称为 $n$ 阶方阵。其从左上角到右下角的对角线叫主对角线。

矩阵相等

两个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的行列数完全相同（即同型矩阵），且对应位置元素全部相等 $a_{ij} = b_{ij}$，则称 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$。

常用特殊矩阵

以下几种矩阵在后续学习和应用中非常常见，需要熟记

行矩阵（行向量）

只有 1 行的矩阵 $$\boldsymbol{A} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$$

列矩阵（列向量）

只有 1 列的矩阵 $$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

对角矩阵

主对角线外元素全为 0 $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$

对角线全为 1，其余为 0 $$\boldsymbol{E}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

零矩阵 $\boldsymbol{O}$

所有元素都为 0 $$\boldsymbol{O} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

上三角 / 下三角矩阵

$$\begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & 0 & * \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} * & 0 & 0 \\ * & * & 0 \\ * & * & * \end{pmatrix}$$

练一练：矩阵的概念

练习 1

已知线性方程组 $$\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - 5x_2 - x_3 = b \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 2 \end{cases}$$ 写出它的系数矩阵和增广矩阵。

【解】

系数矩阵：提取每个方程中 $x_1, x_2, x_3$ 前的系数：

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & -5 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

增广矩阵：在系数矩阵右侧加上常数列： $$\bar{\boldsymbol{A}} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & -1 & b \\ 2 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right)$$

练习 2

某单位人员构成表如下：

	主任	副主任	工程师	工人	临时工
厂办	1	2	1	3	0
一车间	1	1	5	52	2
二车间	1	2	9	150	3
三车间	1	1	4	19	0

将此表写成矩阵（缺省项填 0）。

【解】

去掉文字说明，用数字填入，得到 $4 \times 5$ 矩阵：

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 52 & 2 \\ 1 & 2 & 9 & 150 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 19 & 0 \end{pmatrix}$$

矩阵的加法与减法

两个同型矩阵才能做加减运算，方法是对应位置元素相加减

定义

设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m\times n}$，$\boldsymbol{B} = (b_{ij})_{m\times n}$（必须同型），则

$$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = (a_{ij} + b_{ij})_{m\times n}, \quad \boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} = (a_{ij} - b_{ij})_{m\times n}$$

即：对应位置的元素分别相加（或相减），结果还是同型矩阵。

加法性质

① 交换律：$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}$
② 结合律：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})$
③ 零矩阵：$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{O} = \boldsymbol{A}$
④ 负矩阵：$\boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{O}$，其中 $-\boldsymbol{A}$ 是将每个元素取相反数

矩阵的数乘

一个数乘以矩阵，就是用这个数去乘矩阵中的每一个元素

定义

设 $k$ 为实数，$\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m\times n}$，则 $$k\boldsymbol{A} = (ka_{ij})_{m\times n}$$ 即将 $\boldsymbol{A}$ 的每个元素都乘以 $k$。

数乘性质

① 分配律：$k(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = k\boldsymbol{A} + k\boldsymbol{B}$，$(k+l)\boldsymbol{A} = k\boldsymbol{A} + l\boldsymbol{A}$
② 结合律：$k(l\boldsymbol{A}) = (kl)\boldsymbol{A}$
③ 特别地：$0 \cdot \boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$，$1 \cdot \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}$，$(-1)\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{A}$

加法 + 数乘 = 线性运算

矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。它们的运算法则与普通数的加法和乘法非常类似，这使矩阵计算变得直观。

典型例题

已知 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 6 & 9 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 & 7 \\ 5 & 2 & 3 & 9 \end{pmatrix}$，且 $\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}$，求矩阵 $\boldsymbol{X}$。

【解题思路】

像解普通方程一样，把 $\boldsymbol{X}$ "解"出来。

由 $\boldsymbol{A} + 3\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}$ 得 $3\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}$，即 $$\boldsymbol{X} = \dfrac{1}{3}(\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A})$$

$$= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 7-3 & 4-(-2) & -3-2 & 3-0 \\ 3-1 & 1-3 & 0-0 & 7-8 \\ 5-2 & 2-4 & 3-6 & 9-9 \end{pmatrix}$$

$$= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & 6 & -5 & 3 \\ 2 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & 2 & -\frac{5}{3} & 1 \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3} & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

矩阵的乘法——从购物问题说起

生活实例

一名小学生买文具：铅笔 12 支，每支 0.3 元；练习本 15 本，每本 0.2 元；蓝墨水 1 瓶，每瓶 0.8 元。一共花了多少钱？

总花费 = $0.3 \times 12 + 0.2 \times 15 + 0.8 \times 1 = 3.6 + 3.0 + 0.8 = 7.4$ (元)

用矩阵写出来就是：

$$\underbrace{(0.3 \quad 0.2 \quad 0.8)}_{\text{单价（行矩阵）}} \underbrace{\begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{数量（列矩阵）}} = 7.4$$

关键规则

一行与一列"对应元素相乘再求和"——这就是矩阵乘法中最核心的操作！把它推广到一般情况，就得到了矩阵乘法的定义。

矩阵乘法的定义

定义

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times \color{red}{n}$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $\color{red}{n} \times p$ 矩阵（$\boldsymbol{A}$ 的列数 = $\boldsymbol{B}$ 的行数），则乘积 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{AB}$ 是 $m \times p$ 矩阵，其中 $\boldsymbol{C}$ 的第 $i$ 行第 $k$ 列元素为： $$c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}$$

口诀记忆

"$\boldsymbol{C}$ 中第 $i$ 行第 $k$ 列的元素 = $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行与 $\boldsymbol{B}$ 的第 $k$ 列对应元素相乘再求和"。
前提条件：$\boldsymbol{A}$ 的列数必须等于 $\boldsymbol{B}$ 的行数！

矩阵乘法——完整计算演示

例题

设 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol{AB}$。

【分析】

$\boldsymbol{A}$ 是 $2 \times \color{red}{3}$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $\color{red}{3} \times 4$ 矩阵，$\boldsymbol{A}$ 的列数 = $\boldsymbol{B}$ 的行数 = 3，可以相乘，结果 $\boldsymbol{C}$ 是 $2 \times 4$ 矩阵。

【计算 $c_{11}$】

$\boldsymbol{A}$ 的第 1 行 $(1, 3, -2)$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列 $(2, -1, 4)^T$ → $c_{11} = 1 \times 2 + 3 \times (-1) + (-2) \times 4 = 2 - 3 - 8 = -9$

【计算 $c_{12}$】

$\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列 $(-3, 2, 5)^T$ → $c_{12} = 1 \times (-3) + 3 \times 2 + (-2) \times 5 = -3 + 6 - 10 = -7$

【类似地计算其余元素】

$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{AB} = \begin{pmatrix} 1{\cdot}2+3{\cdot}(-1)+(-2){\cdot}4 & 1{\cdot}(-3)+3{\cdot}2+(-2){\cdot}5 & 1{\cdot}4+3{\cdot}2+(-2){\cdot}1 & 1{\cdot}1+3{\cdot}0+(-2){\cdot}1 \\ 4{\cdot}2+(-1){\cdot}(-1)+5{\cdot}4 & 4{\cdot}(-3)+(-1){\cdot}2+5{\cdot}5 & 4{\cdot}4+(-1){\cdot}2+5{\cdot}1 & 4{\cdot}1+(-1){\cdot}0+5{\cdot}1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} -9 & -7 & 8 & -1 \\ 29 & 11 & 19 & 9 \end{pmatrix}$$

重要警告：矩阵乘法不满足交换律

一般情况下 AB ≠ BA ！甚至可能 AB 能算，BA 根本算不了

例题

设 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16 \end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol{AB}$ 和 $\boldsymbol{BA}$。

【解】

$$\boldsymbol{AB} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64 & 128 \\ -32 & -64 \end{pmatrix}$$

$$\boldsymbol{BA} = \begin{pmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \boldsymbol{O}$$

重要结论

① $\boldsymbol{AB} \neq \boldsymbol{BA}$，乘法不可交换！
② $\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{O}$ 但 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$，说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵！
③ 不能从 $\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}$ 推出 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$——这与普通数字乘法完全不同。

矩阵乘法的性质与单位矩阵

乘法仍满足的性质

① 结合律：$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})$
② 对加法的分配律：$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{C} = \boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC}$，$\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{CA}+\boldsymbol{CB}$
③ 对数乘的结合律：$k(\boldsymbol{AB}) = (k\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}(k\boldsymbol{B})$

单位矩阵 E

主对角线上全是 1、其余位置全是 0 的方阵： $$\boldsymbol{E}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

单位矩阵在矩阵乘法中的作用如同数字 1：$$\boldsymbol{E}_m\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{E}_n = \boldsymbol{A}$$ 任何矩阵左乘或右乘单位矩阵，结果不变。

矩阵的方幂

定义

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 个 $\boldsymbol{A}$ 的乘积 $\underbrace{\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}\cdots\boldsymbol{A}}_{k \text{ 个}}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 次幂，记作 $\boldsymbol{A}^k$。

方幂运算律

① $\boldsymbol{A}^k \boldsymbol{A}^l = \boldsymbol{A}^{k+l}$
② $(\boldsymbol{A}^k)^l = \boldsymbol{A}^{kl}$

注意：一般 $(\boldsymbol{AB})^k \neq \boldsymbol{A}^k\boldsymbol{B}^k$，因为矩阵乘法不可交换！

例题

设 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol{A}^n$。

【解】

先算 $\boldsymbol{A}^2$： $$\boldsymbol{A}^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2\boldsymbol{A}$$

再算 $\boldsymbol{A}^3$： $$\boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{A}^2 \cdot \boldsymbol{A} = 2\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} = 2\boldsymbol{A}^2 = 2 \cdot 2\boldsymbol{A} = 4\boldsymbol{A} = 2^2\boldsymbol{A}$$

【归纳规律】

$$\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2^{n-1} & -2^{n-1} \\ -2^{n-1} & 2^{n-1} \end{pmatrix}$$

解题方法

先算 $\boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^3$ 找规律，发现 $\boldsymbol{A}^2 = 2\boldsymbol{A}$ 这个关键等式，然后逐步推出通项公式。

方幂的应用——航线问题

用邻接矩阵表示航线：若城市 $i$ 到城市 $j$ 有直达航班记为 1，否则记为 0。

$$\boldsymbol{A}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

计算 $\boldsymbol{A}_1^2 = \boldsymbol{A}_1 \times \boldsymbol{A}_1$：

$$\boldsymbol{A}_1^2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

含义

$\boldsymbol{A}_1^2$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的数字 = 从城市 $i$ 经过恰好一次转机能到达城市 $j$ 的航线方案数。例如 $(\boldsymbol{A}_1^2)_{12} = 2$ 表示从城市 1 到城市 2 有 2 条经一次转机的路线（1→3→2 和 1→4→2）。

练一练：矩阵乘法

练习 1

设 $\boldsymbol{A} = (a_1 \quad a_2 \quad \cdots \quad a_n)$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol{AB}$ 和 $\boldsymbol{BA}$。

【解】

$\boldsymbol{A}$ 是 $1 \times n$，$\boldsymbol{B}$ 是 $n \times 1$：

$$\boldsymbol{AB} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$$ 结果是一个 $1 \times 1$ 矩阵（即一个数）。

$$\boldsymbol{BA} = \begin{pmatrix} b_1a_1 & b_1a_2 & \cdots & b_1a_n \\ b_2a_1 & b_2a_2 & \cdots & b_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_na_1 & b_na_2 & \cdots & b_na_n \end{pmatrix}$$ 结果是 $n \times n$ 矩阵！

再次验证

$\boldsymbol{AB}$ 得到一个数，而 $\boldsymbol{BA}$ 得到一个大矩阵——乘的顺序不同，结果完全不同！

练习 2

某制造厂在两地生产两种产品 Ⅰ 和 Ⅱ，每种产品所需材料消费量（千克）和各地单位材料成本（元）如下：

	钢铁	玻璃	橡胶
产品Ⅰ	3	1	2
产品Ⅱ	4	2	5

	钢铁	玻璃	橡胶
甲地	10	2	3
乙地	9	3	4

求各地生产每单位产品的材料成本。

【解】

设材料消费量矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}$，成本矩阵转置后 $\boldsymbol{C} = \begin{pmatrix} 10 & 9 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$。

$$\boldsymbol{AC} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 & 9 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 38 & 38 \\ 59 & 62 \end{pmatrix}$$

即甲地生产 Ⅰ 需 38 元、Ⅱ 需 59 元；乙地生产 Ⅰ 需 38 元、Ⅱ 需 62 元。

综合练习

练习 3

利达电子公司下属甲、乙、丙三个工厂均生产 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四种大型电子产品。去年的生产量和今年上半年的生产量如下：

$\boldsymbol{A}_{\text{去年}} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 7 \\ 4 & 3 & 8 & 5 \\ 5 & 4 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

$\boldsymbol{B}_{\text{上半年}} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 2 & 7 & 3 \\ 4 & 3 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

今年目标 = 去年的 2 倍，求下半年必须完成的生产量 $\boldsymbol{X}$。

【解】

目标：$\boldsymbol{B} + \boldsymbol{X} = 2\boldsymbol{A}$，因此 $\boldsymbol{X} = 2\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}$。

$$\boldsymbol{X} = 2\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 7 \\ 4 & 3 & 8 & 5 \\ 5 & 4 & 7 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 2 & 7 & 3 \\ 4 & 3 & 6 & 7 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 6 & 8 & 10 & 14 \\ 8 & 6 & 16 & 10 \\ 10 & 8 & 14 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 2 & 7 & 3 \\ 4 & 3 & 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 4 & 7 \\ 5 & 4 & 9 & 7 \\ 6 & 5 & 8 & 5 \end{pmatrix}$$

练习 4

设 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol{AB}$ 和 $(\boldsymbol{AB})^n$。

【解】

$\boldsymbol{A}$ 是 $3 \times 1$，$\boldsymbol{B}$ 是 $1 \times 3$，故 $\boldsymbol{AB}$ 是 $3 \times 3$ 矩阵。

$$\boldsymbol{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

先算 $\boldsymbol{BA} = 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 + 1 + 1 = 3$。

利用结合律：$(\boldsymbol{AB})^n = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{BA})^{n-1}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \cdot 3^{n-1} \cdot \boldsymbol{B} = 3^{n-1}\boldsymbol{AB}$。 $$(\boldsymbol{AB})^n = 3^{n-1}\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

本节知识框架与题型总结

核心公式速查

矩阵加法：$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})_{ij} = a_{ij}+b_{ij}$
数乘：$(k\boldsymbol{A})_{ij} = ka_{ij}$
乘法：$c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}$
单位矩阵：$\boldsymbol{EA} = \boldsymbol{AE} = \boldsymbol{A}$
方幂：$\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{A}^l = \boldsymbol{A}^{k+l}$

易错提醒

✗ 不同型矩阵不能加减
✗ 列数 ≠ 行数不能相乘
✗ $\boldsymbol{AB} \neq \boldsymbol{BA}$
✗ $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O} \nRightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
✗ $(\boldsymbol{AB})^n \neq \boldsymbol{A}^n\boldsymbol{B}^n$

补充例题 1：矩阵加法

例题

已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，求 $A+B$。

解

$$A+B = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$$

要点：同型矩阵对应位置元素分别相加。

补充例题 2：矩阵乘法

例题

求上述 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ 的乘积 $AB$。

解

$$AB = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$$

要点：矩阵乘法按"行乘列求和"计算，$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数。

本节课小结

矩阵的概念与运算

① 矩阵就是按矩形排列的数表
② 加减法和数乘——对应位置操作
③ 乘法——行乘列求和
④ 乘法不可交换，方幂要先找规律

课后请完成本节配套练习 · 下节课：矩阵的转置与逆矩阵