第七章 矩阵代数 — 第三节
我们已经知道，对于方程 \(ax = b\)（\(a \neq 0\)），解为 \(x = a^{-1}b\)。类似地，矩阵方程 \(\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}\) 的解为 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\)。那么如何求 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 呢？
上一节我们给出了逆矩阵的公式 \(\boldsymbol{A}^{-1} = \dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*\)，但需要用到行列式 \(|\boldsymbol{A}|\) 和伴随矩阵 \(\boldsymbol{A}^*\)，计算量较大，实际操作中不太方便。
用初等行变换来求逆矩阵——操作简单、步骤清晰、适用于任意阶方阵，是最实用的方法。
初等变换不仅可以求逆矩阵，还可以求矩阵的秩、化简矩阵、判断方程组解的情况，是线性代数中最基础、最重要的工具！
对矩阵施行的以下三种变换称为矩阵的初等行变换，它们分别对应于解方程组时的三种等价操作：
把矩阵的第 \(i\) 行与第 \(j\) 行互换位置。
📎 相当于交换方程组中两个方程的顺序，不影响解。
用一个非零实数 \(c\) 乘以第 \(i\) 行的所有元素。
📎 相当于方程两边同乘非零常数。
把第 \(j\) 行的 \(c\) 倍加到第 \(i\) 行上（第 \(j\) 行不变）。
📎 最常用！用于消去某行的特定元素。
三种变换统称初等变换。类似地，如果对列做上述操作，就叫初等列变换。行变换与列变换合称初等变换。在本节中，我们主要使用初等行变换。
我们通过一个具体例子，看看解方程组的消元法和矩阵初等行变换是如何一一对应的：
原方程组：
② \(-\) ① \(\times 8\)，③ \(-\) ① \(\times 2\)，消去 \(x_1\)：
由③得 \(x_2 = 6\)，代入②得 \(x_3 = 5\)，代入①得 \(x_1 = 12\)。
写出增广矩阵：
\(r_2 - r_1 \cdot 8,\; r_3 - r_1 \cdot 2\)：
\(r_3 \cdot (-1)\)：
这就是阶梯形！
行阶梯形矩阵
如果矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的非零首元）所在的列号，随行号递增而严格递增，则称该矩阵为行阶梯形矩阵。
简单说就是：形如"阶梯状"，左下角全是0。
进阶定义
行最简阶梯形矩阵
在行阶梯形的基础上，还满足：① 每个非零行的首元为1；② 首元所在列的其余元素全为0。
直观对比：
将矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -12 & -28 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & -6 & 16 & -2 & 8 \\ -1 & -1 & 6 & 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}\) 化为行最简阶梯形矩阵。
思路：
第一列第一行为0，无法直接消元。先做行交换让第一列出现非零首元，然后从上往下逐列消元。
第1步：\(r_1 \leftrightarrow r_3,\; r_1 \cdot (-1)\)，让 \(a_{11} = 1\)：
第2步：\(r_2 - r_1 \cdot 3\)，消去第一列下方元素：
第3步：\(r_2 \cdot (-\frac{1}{4})\)，\(r_3 + r_2\)：
第4步：\(r_3 \cdot \frac{1}{6}\)，得到阶梯形。再向上消：\(r_1 - r_2\)，\(r_2 + r_3\)，\(r_1 + r_3 \cdot 2\)：
定理：任意矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 都可以经过有限次初等行变换化为阶梯形。虽然化成的阶梯形矩阵不唯一，但所有阶梯形都有相同个数的非零行。
矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的阶梯形矩阵中非零行的个数称为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的秩，记作 \(r(\boldsymbol{A})\)。
秩衡量了矩阵中"有效信息"的多少。零行代表冗余信息，非零行才是独立信息。
对于 \(m \times n\) 矩阵，秩不超过行数与列数中较小的那个：\(r(\boldsymbol{A}) \leqslant \min(m, n)\)。
零矩阵的秩为 \(0\)；单位矩阵 \(\boldsymbol{E}_n\) 的秩为 \(n\)；可逆方阵的秩等于阶数（称为满秩）。
将矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) 化为阶梯形，并求 \(r(\boldsymbol{A})\)。
分析：
\(a_{11} = 0\)，需要先交换行。第二行第一列 \(= 1\)，交换第1、2行。
第1步：\(r_1 \leftrightarrow r_2\)，然后 \(r_3 - r_1 \cdot 2\)：
第2步：\(r_3 - r_2 \cdot 3\)，\(r_4 + r_2 \cdot \frac{2}{3}\)：（继续消去第二列下方）
第3步：继续消去第三列下方，化为阶梯形：
共有 4 个非零行，因此 \(r(\boldsymbol{A}) = 4\)。
定理：可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
基于这个定理，我们得到了一种非常实用的求逆矩阵的方法：
核心方法
设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶可逆矩阵，将 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{E}\) 拼成一个 \(n \times 2n\) 矩阵 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E})\)，然后用初等行变换将左边的 \(\boldsymbol{A}\) 化成单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\)，此时右边就变成了 \(\boldsymbol{A}^{-1}\)：
对 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E})\) 做一系列行变换，等价于在左边乘以一系列初等矩阵 \(\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \ldots\)。这些变换使得 \(\boldsymbol{P}_k \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}\)，所以 \(\boldsymbol{P}_k \cdots \boldsymbol{P}_1 = \boldsymbol{A}^{-1}\)。而右半部分正好是 \(\boldsymbol{P}_k \cdots \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{E} = \boldsymbol{A}^{-1}\)。
① 只能用行变换，不能混用列变换！
② 如果在化简过程中，左边出现了全零行，说明 \(\boldsymbol{A}\) 不可逆。
③ 对 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E})\) 做的每一步行变换都要同时作用在两边。
求矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
第1步：构造 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}_3)\)：
第2步：\(r_1 \leftrightarrow r_2\)（让第一行第一列不为0）：
第3步：\(r_3 - r_1 \cdot 2\)（消去第一列下方）：
第4步：\(r_3 + r_2 \cdot 3\)（消去第二列下方）：
第5步：\(r_3 \cdot (-\frac{1}{2})\)（首元化为1）：
第6步：向上消！\(r_2 - r_3 \cdot 2\)，\(r_1 - r_3 \cdot 4\)：
第7步：\(r_1 - r_2\)（消去第二列上方）：
所以 \(\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)。可以验证 \(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{E}\)。
设 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}\)，求方程 \(\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}\) 的解。
方法：
\(\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}\) 的解为 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\)。我们构造 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})\)，通过初等行变换化为 \((\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B})\)，右边就是答案。
构造 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})\) 并开始行变换：
\(r_3 \cdot (-1)\)，然后 \(r_2 + r_3 \cdot 3\)，\(r_1 - r_3\)：
所以 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)。
这种方法比先求 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 再计算 \(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\) 更高效，一步到位！
在求解逆矩阵时，以下性质常常用到。设 \(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}\) 可逆，\(k \neq 0\)：
性质 1
逆矩阵的逆就是原矩阵——类似"负负得正"。
性质 2
数乘的逆：系数取倒数。
性质 3
转置和求逆可以交换顺序。
性质 4（重要！）
乘积的逆——顺序要反过来！这叫"穿脱原理"：先穿的后脱。
\(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}\) 都可逆，但 \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\) 未必可逆！即使可逆，一般也没有 \((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B}^{-1}\)。这是初学者常犯的错误。
设 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 满足 \(\boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\)，则 \(\boldsymbol{A}^{-1} =\) ？
解题思路：
题目给了 \(\boldsymbol{A}\) 的一个等式关系，我们想求 \(\boldsymbol{A}^{-1}\)。关键技巧：从等式中"凑出" \(\boldsymbol{A} \times \text{某个矩阵} = \boldsymbol{E}\) 的形式。
解：
由 \(\boldsymbol{A}^2 - 2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\)，移项得：
提取公因子 \(\boldsymbol{A}\)：
两边乘以 \(-1\)：
根据逆矩阵的定义，\(\boldsymbol{A} \times (2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{E}\)，所以：
总结：这类题的关键是从给定的矩阵多项式等式中，提取 \(\boldsymbol{A}\) 为公因子，凑出 \(\boldsymbol{A} \cdot (\cdots) = \boldsymbol{E}\) 的形式。
设 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 10 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，求 \(\boldsymbol{A}^{-1}\)。
分析：
这个矩阵比较特殊——每行每列只有一个非零元素。我们仍然用 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E})\) 的标准方法来求。
构造并变换：
\(r_1 \cdot \frac{1}{10}\)，\(r_2 \cdot \frac{1}{2}\)，\(r_3 \cdot (-\frac{1}{4})\)：
所以 \(\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{4} & 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
\(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
分析：
观察发现第2行 = 第1行 × 2（前面部分），可能有冗余行。逐步消元。
\(r_2 - r_1 \cdot 2\)，\(r_3 - r_1 \cdot 3\)：
\(r_2 \leftrightarrow r_3\)，\(r_4 - r_2\)：
\(r_4 + r_3\)：
\(r(\boldsymbol{A}) = 3\)
\(\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)
分析：
第一列只有 \(r_4\) 非零，交换 \(r_1 \leftrightarrow r_4\)。
\(r_1 \leftrightarrow r_4\)：
\(r_3 + r_4\)，\(r_2 - r_4 \cdot 2\) 后继续化简：
交换 \(r_3 \leftrightarrow r_4\)：
\(r(\boldsymbol{B}) = 4\)（满秩）
解矩阵方程 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)。
方法：
构造 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})\)，初等行变换化为 \((\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{X})\)。
构造增广矩阵并 \(r_1 \leftrightarrow r_2\)：
\(r_3 - r_1 \cdot 2\)，再 \(r_3 + r_2 \cdot 3\)：
\(r_3 \cdot (-\frac{1}{2})\)，再向上消：\(r_2 - r_3 \cdot 2\)，\(r_1 - r_3 \cdot 4\)，\(r_1 - r_2\)：
所以 \(\boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} -12 & \frac{47}{2} \\ -3 & 10 \\ -\frac{7}{2} & \frac{13}{2} \end{pmatrix}\)。
解矩阵方程 \(\begin{pmatrix} -2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\)。
方法同上：
构造 \((\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})\)，初等行变换化为 \((\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{X})\)。
构造增广矩阵，先 \(r_1 \leftrightarrow r_2\) 让首元方便：
\(r_2 + r_1 \cdot 2\)，\(r_3 + r_1\)：
\(r_3 - r_2\)，\(r_3 \cdot (-\frac{1}{2})\)，向上消：
所以 \(\boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)。
用初等行变换将 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -12 & -28 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & -6 & 16 & -2 & 8 \\ -1 & -1 & 6 & 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}\) 化成行最简阶梯形矩阵。
与前面例题完全相同！我们已经在第5页详细讲解过。
答案为：
可翻回前面对照完整的变换步骤。
① 是否呈阶梯状（左下角全0）？ ✓
② 每个非零行的首元是否为 1？ ✓
③ 首元所在列的其余元素是否全为 0？ ✓
三条全满足，才是行最简阶梯形！
关键口诀
初等变换三件事：交换、数乘、倍加
化简目标两阶段：先化阶梯，再化最简
求逆矩阵一招鲜：拼上单位，行变到底
例题：求 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
解：
\(|A| = 2\times3 - 1\times5 = 1 \neq 0\)，故逆矩阵存在。
$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$$
要点：对于 2 阶矩阵 \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，逆矩阵为 \(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)（主对角线互换，副对角线变号）。
例题：求矩阵 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\) 的秩。
解：用初等行变换化为阶梯形：
$$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-4r_1,\, r_3-7r_1} \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix}$$
阶梯形中有 2 个非零行，故秩为 2。
要点：用初等行变换化为行阶梯形后，数非零行的个数即为矩阵的秩。