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线性方程组的解

用矩阵方法系统求解方程组
增广矩阵 解的判定 齐次方程组 非齐次方程组 通解表达
01

从实际问题出发

★ 引入问题

三种食物每100克的营养含量如下，要满足每日营养需求，每种食物该吃多少？

营养成分食物1（脱脂牛奶）食物2（大豆面粉）食物3（乳清）每日需求
蛋白质36511333
碳水化合物52347445
脂肪071.13

设食物1、2、3的用量分别为 $x_1, x_2, x_3$（单位：100g），列出方程组：

$$\begin{cases} 36x_1 + 51x_2 + 13x_3 = 33 \\ 52x_1 + 34x_2 + 74x_3 = 45 \\ \phantom{5}0x_1 + \phantom{0}7x_2 + 1.1x_3 = 3 \end{cases}$$

这就是一个线性方程组。当未知数很多时，逐个消元既繁琐又容易出错。我们需要一套系统的矩阵方法来求解。

💡 本节目标：学会用矩阵的初等行变换，判断方程组有没有解、有几个解，并求出所有解。

02

线性方程组的矩阵表示

一般的线性方程组可以写成：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \qquad\qquad\vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

用矩阵简记为 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中：

A 系数矩阵
$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$
X 未知数矩阵
$$\boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
B 常数项矩阵
$$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$
03

增广矩阵

定 增广矩阵

将系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和常数项矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合在一起，构成增广矩阵：

$$\bar{\boldsymbol{A}} = (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$

为什么需要增广矩阵？ 因为对方程组做消元，本质上就是对增广矩阵做初等行变换。常数项也要跟着变，所以必须把它带上。

方程组 消元法求解 等价 增广矩阵 初等行变换 化简 阶梯形 回代求解

齐次线性方程组

当 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{0}$ 时，即 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}$

所有常数项都为0，$x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ 一定是解（零解）

非齐次线性方程组

当 $\boldsymbol{B} \ne \boldsymbol{0}$ 时，即 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$

常数项不全为0，可能有解也可能无解

04

齐次方程组的解

定 定理一：齐次方程组 $\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{0}$

齐次方程组 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}$ 一定有解（至少有零解 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$），并且：

🎯

只有零解（唯一解）

$$r(\boldsymbol{A}) = n$$

秩等于未知数个数

♾️

有无穷多非零解

$$r(\boldsymbol{A}) < n$$

秩小于未知数个数

💡 直觉理解

$r(\boldsymbol{A}) = n$ 意味着每个未知数都被"锁定"了，只有全0这一个答案。$r(\boldsymbol{A}) < n$ 说明有些未知数是"自由"的，可以取任意值，所以有无穷多解。

记忆口诀： 秩 = 未知数个数 → 唯一解 ｜ 秩 < 未知数个数 → 无穷解 ⚠ 齐次方程组不会无解！因为零解永远存在
05

非齐次方程组的解

定 定理二：非齐次方程组 $\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{B}$

有解的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}})$（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩）。

🎯

唯一解

$$r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) = n$$

秩等于未知数个数

♾️

无穷多解

$$r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) < n$$

秩小于未知数个数

🚫

无解

$$r(\boldsymbol{A}) \ne r(\bar{\boldsymbol{A}})$$

两个秩不相等

💡 怎么理解"秩不等就无解"？

如果 $r(\boldsymbol{A}) \ne r(\bar{\boldsymbol{A}})$，说明增广矩阵化阶梯形后出现了形如 $\;0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + \cdots + 0 \cdot x_n = d\;$（$d \ne 0$）的矛盾方程。这种方程不可能成立，所以无解。

🔑 自由未知量的个数 = 未知数个数 − 矩阵的秩 = n − r(A) 自由未知量越多，解的"自由度"越大，通解中包含的任意常数就越多
06

解的判定——全景图

线性方程组 AX = B 齐次 B = 0 一定有解（至少零解） 只有零解 r(A) = n 无穷多解 r(A) < n 非齐次 B ≠ 0 先看 r(A) 与 r(Ā) 无解 r(A)≠r(Ā) 唯一解 r(A)=r(Ā)=n 无穷多解 r(A)=r(Ā)<n 📋 判定步骤总结 ① 写出增广矩阵 → ② 初等行变换化阶梯形 → ③ 比较 r(A) 与 r(Ā) 和 n → ④ 判定解的情况
07

【例1】判断齐次方程组的解

例 题目

判断下面齐次方程组的解的情况：

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ -x_1 - 2x_2 - 2x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$$

第1步：写出系数矩阵（齐次方程，常数项全为0，不必写增广矩阵）

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

第2步：初等行变换化阶梯形

$$\xrightarrow{r_2 - 2r_1,\; r_3 + r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 + r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

第3步：判断：$r(\boldsymbol{A}) = 2$，未知数个数 $n = 4$。因为 $r(\boldsymbol{A}) = 2 < 4 = n$，所以方程组有无穷多非零解。

自由未知量个数 $= n - r(\boldsymbol{A}) = 4 - 2 = 2$ 个。通解中将包含2个任意常数。

08

【例2】含参数的方程组讨论

例 题目

当 $a, b$ 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 1 \\ x_1 + 3x_2 + 6x_3 + x_4 = 3 \\ 3x_1 - x_2 - ax_3 + 15x_4 = 3 \\ x_1 - 5x_2 - 10x_3 + 12x_4 = b \end{cases}$$

写出增广矩阵，初等行变换：

$$(\boldsymbol{A}\mid\boldsymbol{B}) \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -a+2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & b+5 \end{pmatrix}$$

$a \ne 2$ 时

$r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) = 4 = n$

唯一解

$a = 2,\; b \ne 1$ 时

$r(\boldsymbol{A}) = 3 \ne 4 = r(\bar{\boldsymbol{A}})$

无解

$a = 2,\; b = 1$ 时

$r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) = 3 < 4$

无穷多解

📝 解题技巧

含参数的题，先把增广矩阵化到阶梯形，再讨论参数取不同值时秩的变化。关键看哪一行可能变成全0行，以及常数项列是否出现矛盾。

09

自由未知量与通解

定 核心概念

自由未知量的个数 $= n - r(\boldsymbol{A})$，其中 $n$ 是未知数个数，$r(\boldsymbol{A})$ 是系数矩阵的秩。

法 求通解的步骤
第一步 写增广矩阵 第二步 化行最简阶梯形 第三步 判断解的情况 第四步 写出通解 写通解的具体操作： ① 从最简阶梯形写出同解方程组 ② 找出自由未知量（不在"台阶"位置的变量），令它们分别等于任意常数 ③ 用自由未知量表示其余变量，得到通解
10

【例3】唯一解的方程组

例 题目

解线性方程组：

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 11 \end{cases}$$

写增广矩阵并化阶梯形：

$$\bar{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 3 & 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 11 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-3r_1,\; r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & -4 & -14 \\ 0 & -2 & -1 & -7 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{r_2 \times(-1)} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & -2 & -1 & -7 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 7 & 21 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 \times \frac{1}{7}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

继续化为行最简阶梯形：

$$\xrightarrow[\,r_1-r_2\,]{r_2-4r_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

结论：$r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) = 3 = n$，方程组有唯一解：$x_1 = 1,\; x_2 = 2,\; x_3 = 3$。

11

【例4】无解的方程组

例 题目

解线性方程组：

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 2 \\ 3x_1 + x_2 + 3x_3 = 4 \end{cases}$$

写增广矩阵并化阶梯形：

$$\bar{\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,\; r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

最后一行表示 $0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 1$，这是矛盾方程！

✘ 结论

系数矩阵的秩 $r(\boldsymbol{A}) = 2$，增广矩阵的秩 $r(\bar{\boldsymbol{A}}) = 3$，$r(\boldsymbol{A}) \ne r(\bar{\boldsymbol{A}})$，方程组无解。

识别标志：阶梯形中出现 $(0\;\;0\;\;\cdots\;\;0 \mid d)$（$d \ne 0$）的行 → 无解！

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【例5】无穷多解——求通解

例 题目
$$\begin{cases} x_1 + 3x_2 + 5x_3 + x_4 = 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 1 \end{cases}$$

增广矩阵化行最简阶梯形：

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

分析：$r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) = 2 < 4 = n$ → 有无穷多解，自由未知量 $= 4 - 2 = 2$ 个。

台阶位置的变量是 $x_1, x_2$（主变量），剩下的 $x_3, x_4$ 是自由未知量。

写出同解方程组：

$$\begin{cases} x_1 = x_3 - x_4 - 1 \\ x_2 = -2x_3 + 1 \end{cases}$$

令 $x_3 = c_1,\; x_4 = c_2$（$c_1, c_2$ 为任意实数），则通解为：

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
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题型总结与解题模板

🅰 判断解的类型

① 写增广矩阵 ② 化阶梯形 ③ 数非零行个数得秩 ④ 比较 $r(\boldsymbol{A})$、$r(\bar{\boldsymbol{A}})$、$n$ 三者关系

🅱 求唯一解

化到行最简阶梯形 → 直接读出每个未知数的值

🅲 求通解（无穷多解）

化行最简 → 找自由变量 → 令自由变量为任意常数 → 用自由变量表示主变量

🅳 含参数讨论

先化简到只剩参数项 → 分类讨论参数何时使某行变全0或产生矛盾

⚡ 常见易错点

❶ 忘记对常数项列一起变换 → 结果全错

❷ 把齐次与非齐次搞混 → 齐次一定有解！

❸ 自由变量选错 → 通解形式不同（但等价）

❹ 含参数时忘记讨论所有情况

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【练习1】选择题

练 第1题

设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A}) = n$，则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{B}$（　）。

A. 一定无解　　B. 可能有解　　C. 一定有唯一解　　D. 一定有无穷多解

解 分析

$r(\boldsymbol{A}) = n$ 只告诉了系数矩阵的秩，但没告诉增广矩阵的秩 $r(\bar{\boldsymbol{A}})$。

如果 $r(\boldsymbol{A}) = r(\bar{\boldsymbol{A}}) = n$，则唯一解；如果 $r(\boldsymbol{A}) \ne r(\bar{\boldsymbol{A}})$，则无解。

两种情况都可能发生，所以答案是 B. 可能有解。

练 第2题

设方程组 $\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - 5x_2 - x_3 = b \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 2 \end{cases}$ 有无穷多组解，则 $b$ 必有（　）。

A. $b = 1$　　B. $b = -1$　　C. $b = 2$　　D. $b = -2$

解 详解

增广矩阵化阶梯形：$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & -1 & b \\ 2 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -2 & b-1 \\ 0 & -4 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b-1 \end{pmatrix}$

要有无穷多解，需 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}}) < 3$，即 $b - 1 = 0$，故 $b = 1$。选 A。

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【练习2】选择与计算

练 第3题

设 $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$，则 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{0}$ 有非零解的充分必要条件是（　）。

A. $r = n$　　B. $r < n$　　C. $r \geqslant n$　　D. $r > n$

解 解析

齐次方程组有非零解 $\Leftrightarrow$ 有无穷多解 $\Leftrightarrow$ $r(\boldsymbol{A}) < n$。选 B。

练 第4题 · 计算

求线性方程组的通解：

$$\begin{cases} x_2 + 2x_3 + 6x_4 + 2x_5 = 23 \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 7 \\ 5x_1 + 4x_2 + 3x_3 - x_4 + 3x_5 = 12 \end{cases}$$
解 详解

增广矩阵化行最简：$\bar{\boldsymbol{A}} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -6 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & 0 & 10 \end{pmatrix}$

$r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=3 < 5$，自由变量 $x_4 = c_1, x_5 = c_2$，通解：

$$\begin{cases} x_1 = -3 - 2c_1 + c_2 \\ x_2 = 3 + 6c_1 - 2c_2 \\ x_3 = 10 - 6c_1 \\ x_4 = c_1,\; x_5 = c_2 \end{cases}$$
16

【练习3】齐次方程组求解

练 第5题

求下列齐次线性方程组的解：

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 - x_4 = 0 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$

系数矩阵化行最简阶梯形：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,\;r_3-2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 4 \end{pmatrix}$$
$$\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$$

$r(\boldsymbol{A}) = 3$，$n = 4$，自由变量1个：$x_4 = c$。通解：

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\[4pt] \frac{5}{3} \\[4pt] \frac{4}{3} \\[4pt] 1 \end{pmatrix},\quad c \in \mathbb{R}$$
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【练习4】非齐次方程组求解

练 第6题

求解下列非齐次线性方程组：

$$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 \\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 10 \\ 11x_1 + 3x_2 = 8 \end{cases}$$

增广矩阵化阶梯形：

$$\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 10 \\ 11 & 3 & 0 & 8 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & \frac{17}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & \frac{17}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}$$

第三行：$0 = -6$，矛盾！

✘ 结论

$r(\boldsymbol{A}) = 2 \ne 3 = r(\bar{\boldsymbol{A}})$，方程组无解。

注意第三个方程 $11x_1 + 3x_2 = 8$ 实际上是前两个方程的线性组合 $4(4x_1+2x_2-x_3) - (3x_1-x_2+2x_3) = 13x_1+9x_2-6x_3$... 但常数项不匹配，导致矛盾。

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本节小结

线性方程组的解 · 知识地图 📝 核心概念 • AX = B 的矩阵表示 • 增广矩阵 (A | B) • 齐次 vs 非齐次 • 秩 r(A)、r(Ā)、n 的关系 • 自由未知量 = n − r(A) ⚖ 解的判定 唯一解 r(A)=r(Ā)=n 无穷多解 r(A)=r(Ā)<n 无解 r(A)≠r(Ā) 齐次一定有解（≥零解） 🔧 解题方法 ① 写增广矩阵 ② 初等行变换→阶梯形 ③ 判定解的类型 ④ 继续化行最简→回代 ⑤ 写出通解 📋 四大题型 判断解的类型 求唯一解 求通解（无穷解） 含参数讨论 🔑 核心公式 自由未知量个数 = n − r(A)　｜　有解条件：r(A) = r(Ā)
Ex

补充例题 1：解方程组

例题：解方程组 \(\begin{cases}x+y=3\\2x-y=3\end{cases}\)
解：写增广矩阵并初等行变换： $$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&-1&3\end{array}\right) \xrightarrow{r_2-2r_1} \left(\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&-3&-3\end{array}\right) \xrightarrow{r_2 \cdot(-\frac{1}{3})} \left(\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&1&1\end{array}\right) \xrightarrow{r_1-r_2} \left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&1\end{array}\right)$$

所以 \(x=2,\; y=1\)。

要点：\(r(A)=r(\bar{A})=n=2\)，方程组有唯一解。
Ex

补充例题 2：判断方程组是否有解

例题：判断方程组 \(\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=3\end{cases}\) 是否有解。
解：写增广矩阵并初等行变换： $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\2&2&2&3\end{array}\right) \xrightarrow{r_2-2r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)$$

第二行表示 \(0=1\)，这是矛盾的。

因此该方程组无解。

要点：\(r(A)=1 \neq r(\bar{A})=2\)，故方程组无解。第二个方程是第一个的 2 倍，但右端常数不满足此倍数关系。

课堂总结完毕

掌握增广矩阵 · 理解解的判定 · 熟练求解方程组
多练初等行变换 牢记判定定理 规范写解过程
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