若在区间 $I$ 上有 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。
例：$(\sin x)' = \cos x$，故 $\sin x$ 是 $\cos x$ 的一个原函数。
原函数存在定理：连续函数一定有原函数。
原函数不唯一：$\sin x + 1$、$\sin x - 5$ 都是 $\cos x$ 的原函数，任意两个原函数之间只差一个常数 $C$。
$f(x)$ 的全体原函数称为不定积分，记作：
$\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x = F(x) + C$
$\int$ 积分号，$f(x)$ 被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 被积表达式，$C$ 积分常数。
致命失分点：忘记写 $+C$，考试必扣分！
不定积分代表一族平行曲线（积分曲线族）。族中每条曲线在横坐标相同处切线平行（导数相同）。
性质1 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left[\int f(x)\mathrm{d}x\right] = f(x)$（先积后导还原）
性质2 $\int F'(x)\mathrm{d}x = F(x) + C$（先导后积还原）
性质3 $\int[f(x) \pm g(x)]\mathrm{d}x = \int f\mathrm{d}x \pm \int g\mathrm{d}x$
性质4 $\int kf(x)\mathrm{d}x = k\int f(x)\mathrm{d}x$（$k\neq 0$）
性质1、2说明积分与微分互为逆运算；3、4体现积分的线性性。
把积分结果求一次导，若等于被积函数则正确。
例：$\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C$，验：$(\sin x + C)' = \cos x$ ✓
(1) $\int (3x^2 - 2x + 5)\mathrm{d}x = x^3 - x^2 + 5x + C$
(2) $\int \left(\frac{1}{x} + e^x\right)\mathrm{d}x = \ln|x| + e^x + C$
(3) $\int \frac{x^2+1}{x}\mathrm{d}x = \int(x + \frac{1}{x})\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$
| 比较 | 不定积分 | 定积分 |
|---|---|---|
| 结果 | 原函数族 $F(x)+C$ | 确定实数值 |
| 含 $C$ | 必须有 | 无 |
| 联系 | 先不定积分，再代入上下限 | |
所有公式本质上都是导数公式的反向书写。遇到复杂积分，最终目标都是化归到这些基本公式。
| 编号 | 被积函数 | 不定积分结果 |
|---|---|---|
| ① | $x^\alpha$（$\alpha\neq -1$） | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ |
| ② | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+C$ |
| ③ | $e^x$ | $e^x+C$ |
| ④ | $a^x$（$a>0,a\neq 1$） | $\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ |
| 编号 | 被积函数 | 不定积分结果 |
|---|---|---|
| ⑤ | $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| ⑥ | $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| ⑦ | $\sec^2 x$ | $\tan x+C$ |
| ⑧ | $\csc^2 x$ | $-\cot x+C$ |
| ⑨ | $\sec x\tan x$ | $\sec x+C$ |
| ⑩ | $\csc x\cot x$ | $-\csc x+C$ |
(1) $\int\frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{d}x=\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x+C$
(2) $\int\cos^2 x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1+\cos 2x}{2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$
| 编号 | 被积函数 | 不定积分结果 |
|---|---|---|
| ⑪ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x+C$ |
| ⑫ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x+C$ |
| 编号 | 被积函数 | 不定积分结果 |
|---|---|---|
| ⑬ | $\tan x$ | $-\ln|\cos x|+C$ |
| ⑭ | $\cot x$ | $\ln|\sin x|+C$ |
| ⑮ | $\sec x$ | $\ln|\sec x+\tan x|+C$ |
| ⑯ | $\csc x$ | $\ln|\csc x-\cot x|+C$ |
技巧一：分子拆分法 分母为单项式时，拆开逐项积分：
$\int\frac{x^2+1}{x}\mathrm{d}x=\int\!(x+\tfrac{1}{x})\mathrm{d}x=\tfrac{x^2}{2}+\ln|x|+C$
技巧二：三角恒等式 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ 造分母：
$\int\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\mathrm{d}x=\int(\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x})\mathrm{d}x=\tan x-\cot x+C$
技巧三：假分式拆分 次数相同时先做多项式除法：
$\int\frac{x}{x+1}\mathrm{d}x=\int(1-\frac{1}{x+1})\mathrm{d}x=x-\ln|x+1|+C$
错误1：$\int x^{-1}\mathrm{d}x\neq\frac{x^0}{0}$，应为 $\ln|x|+C$（$\alpha=-1$ 不套幂函数公式）
错误2：$\int\sin x\mathrm{d}x$ 写成 $\cos x+C$，漏了负号，正确为 $-\cos x+C$
设 $F'(u)=f(u)$，$u=\varphi(x)$ 可导，则：
$\displaystyle\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\mathrm{d}x = F[\varphi(x)] + C$
核心思想：识别被积函数中的"内层函数" $\varphi(x)$，将其导数 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，再对外层套基本公式。
$x\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{d}(x^2)$，$\;\;x^2\mathrm{d}x=\tfrac{1}{3}\mathrm{d}(x^3)$
$\cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$，$\;\;\sin x\,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos x)$
$e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(e^x)$，$\;\;\tfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\ln x)$
$\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\tan x)$
(1) $\int(2x+3)^5\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int(2x+3)^5\mathrm{d}(2x+3)=\dfrac{(2x+3)^6}{12}+C$
(2) $\int e^{3x}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int e^{3x}\mathrm{d}(3x)=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$
(3) $\int\sin 5x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{5}\int\sin 5x\,\mathrm{d}(5x)=-\dfrac{\cos 5x}{5}+C$
(1) $\int 2xe^{x^2}\mathrm{d}x=\int e^{x^2}\mathrm{d}(x^2)=e^{x^2}+C$
(2) $\int\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$
(3) $\int\sin x\cos x\,\mathrm{d}x=\int\sin x\,\mathrm{d}(\sin x)=\dfrac{\sin^2 x}{2}+C$
(1) $\int\tan x\,\mathrm{d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=-\int\frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x}=-\ln|\cos x|+C$
(2) $\int\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{1+\sin^2 x}=\arctan(\sin x)+C$
$\int\frac{(\ln x)^3}{x}\mathrm{d}x=\int(\ln x)^3\mathrm{d}(\ln x)=\dfrac{(\ln x)^4}{4}+C$
(1) $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{2}\cdot 2$
$\quad\;=\int\frac{\mathrm{d}(x/2)}{\sqrt{1-(x/2)^2}}=\arcsin\frac{x}{2}+C$
(2) $\int\frac{1}{9+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{9}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+(x/3)^2}=\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}+C$
$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C$
$\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
$\int\frac{1}{(ax+b)^n}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\cdot\frac{(ax+b)^{1-n}}{1-n}+C$（$n\neq 1$）
第一步：观察被积函数，识别"内层函数" $u=\varphi(x)$
第二步：将 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}u$，缺系数则补系数
第三步：对 $u$ 套基本公式，写出结果
设 $x=\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t)\neq 0$，则：
$\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x = \int f[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t$
计算完毕后必须回代 $t=\psi^{-1}(x)$，结果用 $x$ 表示。
| 被积含 | 令 | 作用 |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x=a\sin t$ | 化为 $a\cos t$ |
| $\sqrt{a^2+x^2}$ | $x=a\tan t$ | 化为 $a\sec t$ |
| $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x=a\sec t$ | 化为 $a\tan t$ |
求 $\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}\mathrm{d}x$，令 $x=a\sin t$
$=\int\frac{a\cos t}{a^2\sin^2 t}\cdot a\cos t\,\mathrm{d}t=\int\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\mathrm{d}t=\int(\csc^2 t-1)\mathrm{d}t$
$=-\cot t-t+C=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}-\arcsin\frac{x}{a}+C$
被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，则 $x=\frac{t^n-b}{a}$。
求 $\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\mathrm{d}x$，令 $t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$
$=\int\frac{2t}{1+t}\mathrm{d}t=\int(2-\frac{2}{1+t})\mathrm{d}t=2t-2\ln|1+t|+C$
回代：$=2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$
求 $\int\frac{1}{\sqrt[3]{x}(1+\sqrt[3]{x})}\mathrm{d}x$，令 $t=\sqrt[3]{x}$，$x=t^3$，$\mathrm{d}x=3t^2\mathrm{d}t$
$=\int\frac{3t^2}{t(1+t)}\mathrm{d}t=3\int\frac{t}{1+t}\mathrm{d}t=3\int(1-\frac{1}{1+t})\mathrm{d}t$
$=3t-3\ln|1+t|+C=3\sqrt[3]{x}-3\ln(1+\sqrt[3]{x})+C$
| 第一类（凑微分） | 第二类 | |
|---|---|---|
| 方式 | 令 $u=\varphi(x)$ | 令 $x=\psi(t)$ |
| 回代 | 不需要 | 必须回代 |
| 适用 | 复合函数 | 含根号等复杂结构 |
关键提醒：无论哪类换元，只要结果中出现了中间变量，都必须全部回代为原变量 $x$，一个都不能漏！
$\displaystyle\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$
选 $u$ 口诀：反对幂指三（反三角→对数→幂函数→指数→三角），排前面的优先作 $u$，排后面的归入 $\mathrm{d}v$。
本质：把"不好积的"设为 $u$ 去求导降阶，"好积的"设为 $\mathrm{d}v$ 去积分。
$\int xe^x\mathrm{d}x$，取 $u=x$，$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$：
$=xe^x-\int e^x\mathrm{d}x=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$
$\int\ln x\,\mathrm{d}x$，取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$：
$=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
$\int x\cos x\,\mathrm{d}x$，取 $u=x$，$\mathrm{d}v=\cos x\,\mathrm{d}x$：
$=x\sin x-\int\sin x\,\mathrm{d}x=x\sin x+\cos x+C$
$\int x^2 e^x\mathrm{d}x$，第一次 $u=x^2$，$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$：
$=x^2 e^x-2\int xe^x\mathrm{d}x$
再对 $\int xe^x\mathrm{d}x$ 分部一次（例11结果）：
$=x^2 e^x-2(x-1)e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C$
$\int\arctan x\,\mathrm{d}x$，取 $u=\arctan x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$：
$=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x$
$=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$
$I=\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$，两次分部后重现 $I$：
第一次：$u=\sin x$，$I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\mathrm{d}x$
第二次：$u=\cos x$，$=-e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\mathrm{d}x$
代入得 $I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$
解方程：$2I=e^x(\sin x-\cos x)$
$I=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$
| 题型特征 | $u$ 的选取 |
|---|---|
| $\int x^n e^x\mathrm{d}x$ | $u=x^n$（幂降阶） |
| $\int x^n\sin x\,\mathrm{d}x$ | $u=x^n$（幂降阶） |
| $\int x^n\ln x\,\mathrm{d}x$ | $u=\ln x$（对数优先） |
| $\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$ | 任选一方（循环型） |
| $\int\arctan x\,\mathrm{d}x$ | $u=\arctan x$（反三角优先） |
| 题型特征 | 推荐方法 |
|---|---|
| 复合函数 $f[\varphi(x)]\varphi'(x)$ | 第一类换元（凑微分） |
| 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 等根式 | 第二类换元（三角代换） |
| 含 $\sqrt[n]{ax+b}$ | 第二类换元（根式代换） |
| 两函数乘积 $xe^x$、$x\ln x$ | 分部积分法 |
| $e^x$ 与三角函数乘积 | 分部积分（循环型） |
| 分子次数 $\geq$ 分母 | 先做多项式除法 |
凑微分：$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\mathrm{d}x=F[\varphi(x)]+C$
分部：$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$
选 $u$ 口诀：反对幂指三
推广公式：$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C$
$\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
① 丢 $+C$——不定积分结果必须包含积分常数。
② $\sin x$ 积分漏负号——$\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$。
③ 凑微分漏系数——凑出 $\mathrm{d}(ax+b)$ 必须补 $\frac{1}{a}$。
④ 第二类换元忘回代——结果必须用 $x$ 表示。
⑤ 分部选错 $u$——牢记"反对幂指三"顺序。
⑥ $\alpha=-1$ 套幂函数——$\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$，不能用幂函数公式。
第一步：能直接套基本公式的直接套。
第二步：看到复合结构→凑微分。
第三步：含根号、无理式→第二类换元。
第四步：两函数乘积→分部积分。
最后：无论用哪种方法，都可以求导验算确认正确性。