1. 函数的连续性；
2. 函数的间断点；
3. 连续函数的和、差、积、商的连续性；
4. 反函数、复合函数与初等函数的连续性；
5. 闭区间上连续函数的性质.
1. 理解函数在一点连续的概念，了解函数在一点处的左、右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念；
2. 会判断函数间断点及其类型；
3. 了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数与复合函数的连续性，了解初等函数的连续性；
4. 掌握用连续性计算初等函数的极限；
5. 了解闭区间上连续函数的性质——最大、最小值定理，熟练掌握介值定理.
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，
当自变量从 $x_0$ 变到 $x$，相应地函数值从 $f(x_0)$ 变到 $f(x)$.
(1) 自变量的改变量（增量）$x - x_0$ 称为自变量的改变量，记为 $\Delta x$，即 $\Delta x = x - x_0$（可正可负）$\Rightarrow x = x_0 + \Delta x$
(2) 函数的改变量（增量）$f(x) - f(x_0)$ 称为函数的改变量，记为 $\Delta y$，即
（可正可负）$\Rightarrow \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
注：$\Delta x$，$\Delta y$ 分别为整体记号，不能理解为 $\Delta \cdot x$ 及 $\Delta \cdot y$
例 1 求函数 $y = x^2$ 当 $x_0 = 1, \Delta x = 0.1$ 时的改变量.
解 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f(1 + 0.1) - f(1) = f(1.1) - f(1) = 1.1^2 - 1^2 = 0.21$
定义 1 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果
则称函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，$x_0$ 称为 $f(x)$ 的连续点.
在上述定义中，设 $x_0 + \Delta x = x$，当 $\Delta x \to 0$ 时，有 $x \to x_0$.
而 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f(x) - f(x_0)$，由 (1-4)
$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{x \to x_0}[f(x) - f(x_0)] = 0$，从而 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
定义 2 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点连续.
指出：定义 1 与定义 2 是等价的.
例 2 证明函数 $f(x) = x^3 + 1$ 在 $x = 2$ 处连续.
证明 因为 $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2}(x^3 + 1) = 9 = f(2)$
所以函数 $f(x) = x^3 + 1$ 在 $x = 2$ 处连续。
[注] 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点左连续。
若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点右连续。
结论：函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点连续的充分必要条件是：函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 点既左连续且右连续。
1. 试证函数 $f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续.
证 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$
又 $f(0) = 0$，$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，
由定义 1 知，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续.
2. 讨论函数 $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \ge 0, \\ x - 2, & x < 0. \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+}(x + 2) = 2 = f(0)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-}(x - 2) = -2 \ne f(0)$
右连续但不左连续，故函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处不连续.
例 3 证明 $y = \sin x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内是连续函数.
证明 $对任意 x \in (-\infty, +\infty)$,
$\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin x = 2\sin\dfrac{\Delta x}{2}\cos\left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right)$
$\because \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \sin\frac{\Delta x}{2} = 0$，$\left|\cos\left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right)\right| \le 1$
$\therefore \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 2\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) = 0$
由于 $x$ 为任意一点，所以 $y = \sin x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续.
(1) 若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续。
(2) 若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，在左端点 $x = a$ 处右连续且在右端点 $x = b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续. 函数连续点的全体所构成的区间，称为函数的连续区间。
在连续区间上，连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。
函数的连续性是通过极限来定义的，因此，由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：
法则 1（连续函数的四则运算） 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均在 $x_0$ 点连续，则
$f(x) \pm g(x)$，$f(x)g(x)$，$\dfrac{f(x)}{g(x)}$（$g(x_0) \ne 0$）都在 $x_0$ 点连续。
即设 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)$，则
$\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = f(x_0) \pm g(x_0)$，
$\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = f(x_0) \cdot g(x_0)$，
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)}$，$[g(x_0) \ne 0]$.
法则 2（反函数的连续性） 单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。
法则 3（复合函数的连续性） 设函数 $f(u)$ 在点 $u_0$ 处连续，函数 $u = \varphi(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且 $u_0 = \varphi(x_0)$，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 在点 $x_0$ 处连续。
这表明极限符号与复合函数符号 $f$ 可交换顺序.
例如 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \arctan(\sin x) = \arctan(\lim_{x \to 0} \sin x) = 0$
由于基本初等函数在其定义域内是连续的，由以上法则，可得：
定理 初等函数在其定义区间内是连续的。因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。
若 $f(x)$ 为初等函数，且 $x_0$ 在其定义区间内，则
这表明：对连续函数在连续点求极限，只需求该点函数值.
例 求 $\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
例 4 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \ln(1+x)^{\frac{1}{x}}$，令 $u = (1+x)^{\frac{1}{x}}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$，又由于函数 $\ln u$ 在 $u = e$ 处是连续的，故
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \ln(1+x)^{\frac{1}{x}} = \ln[\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}] = \ln e = 1$
练习：
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln\frac{\sin x}{x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln\frac{\sin x}{x} = \ln(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}) = \ln 1 = 0$
2. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \arccos(\sqrt{x^2 + x} - x)$
解 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \arccos(\sqrt{x^2 + x} - x) = \arccos\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2 + x} - x)$
$= \arccos\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \arccos\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1} = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$
如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处间断，$x = x_0$ 点称为函数 $f(x)$ 的间断点或不连续点。
由函数连续性定义可知，$f(x)$ 在点 $x_0$ 连续必须同时满足以下三个条件：
(1) 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 有定义；
(2) $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
(3) $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
如果函数 $f(x)$ 不满足三个条件中的任何一个，那么点 $x = x_0$ 就是函数 $f(x)$ 的一个间断点.
间断点可分为以下几种类型，按左、右极限是否都存在来分类。
(一) 第一类间断点（左、右极限均存在）
1. 可去间断点 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$；
或 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但 $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义；
2. 跳跃间断点 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 与 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 均存在，但不相等；
(二) 第二类间断点（左、右极限至少有一个不存在）
例 1 函数 $f(x) = \begin{cases} 2\sqrt{x}, & 0 \le x < 1, \\ 1, & x = 1, \\ 1 + x, & x > 1. \end{cases}$
$\therefore f(1) = 1$，$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 2\sqrt{x} = 2$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+}(1 + x) = 2$
$\therefore \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne f(1)$，
故 $x = 1$ 为函数的可去间断点. 令 $f(1) = 2$，
则 $f'(x) = \begin{cases} 2\sqrt{x}, & 0 \le x < 1, \\ 1 + x, & x \ge 1. \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处连续.
例 2 函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$
$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x + 1) = 2$
$f(x)$ 在 $x = 1$ 处无定义，所以 $x = 1$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点。
令 $f(1) = 2$，则函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 点处就连续了。
例 3 函数 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ x - 1, & x > 0. \end{cases}$
由于左极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-}(x + 1) = 1$
右极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+}(x - 1) = -1$
所以 $x = 0$ 点为函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。
例 4 函数 $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 点处，由于
$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} = \infty$，所以 $x = 1$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点。（无穷型间断点）
例 5 讨论函数 $f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.
解 $\because f(x)$ 在 $x = 0$ 处没有定义，且 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ 不存在.
$\therefore x = 0$ 为第二类间断点. 这种情况称为的振荡间断点.
1. 求 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的间断点，并判断其类型，如果是可去间断点，则补充或改变定义，使函数在该点连续.
解 $f(x) = \dfrac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}$，$\therefore f(x)$ 在 $x_1 = 1, x_2 = 2$ 都无定义
$\therefore x_1 = 1, x_2 = 2$ 都是函数的间断点
$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = -2$
$\therefore x_1 = 1$ 是函数的可去间断点，令 $f(1) = -2$，则函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 点处就连续了。
$\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2} = \infty$
$\therefore x_2 = 2$ 是函数的无穷型间断点.
2. 当 $a$ 取何值时，函数 $f(x) = \begin{cases} \cos x, & x < 0, \\ a, & x \ge 0. \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续.
解 $\because f(0) = a$，
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \cos x = 1$，
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+}(a + x) = a$，
要使 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，必须 $f(0-0) = f(0+0) = f(0), \Rightarrow a = 1$，
故当且仅当 $a = 1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续.
下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，我们不证明，只给出几何说明。
定理 1（最值性质） 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 必存在最大值 $M$ 和最小值 $m$，即在闭区间 $[a, b]$ 上至少存在两点 $x_1, x_2$，使得
$f(x_1) = M$，$f(x_2) = m$.
[注意]
(1) 对开区间内的连续函数或闭区间上有间断点的函数，定理的结论不一定成立。
如，函数 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & -1 \le x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ x - 1, & 0 < x \le 1. \end{cases}$ 在闭区间 $[-1, 1]$
上有间断点 $x = 0$，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1, 1]$ 上不存在最大值，也不存在最小值。
(2) 函数的最大和最小值的点也可能是区间 $[a, b]$ 的端点.
定理 2（介值性） 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，$M$ 和 $m$ 分别是 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值和最小值，则对于满足 $m \le \mu \le M$ 的任何实数 $\mu$，至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得 $f(\xi) = \mu$.
定理 2 指出闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 可以取遍 $m$ 与 $M$ 之间的一切数值。
推论（方程根的存在性） 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$.
几何意义： 当连续曲线 $y = f(x)$ 的端点 $A$、$B$ 在 $x$ 轴的两侧时，曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴至少有一个交点.
由推论知：$x = \xi$ 为方程 $f(x) = 0$ 的一个根. 且 $\xi$ 位于 $(a, b)$ 内，从而可判定方程 $f(x) = 0$ 在某个开区间内存在实根。
例 证明方程 $x^4 + 1 = 3x^2$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一实根。
证明 设 $f(x) = x^4 + 1 - 3x^2$，因为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，又有 $f(0) = 1$，$f(1) = -1$，故
$f(0)f(1) < 0$，根据推论可知，至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使 $f(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = \xi^4 + 1 - 3\xi^2 = 0$
因此，方程 $x^4 + 1 = 3x^2$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个实根 $\xi$。
1. 证明方程 $e^x = 3x$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个实根.
证明 设 $f(x) = e^x - 3x$，因为 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续
$f(0) = e^0 - 3 \times 0 = 1 > 0$，$\quad f(1) = e - 3 < 0$
$f(0)f(1) < 0$
故至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使 $f(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = e^\xi - 3\xi = 0$
所以方程 $e^x = 3x$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个实根.
2. 证明方程 $x = a\sin x + b$ 至少有一个正根，且不大于 $a + b$.（其中 $a > 0, b > 0$）
证明 设 $f(x) = x - a\sin x - b$，因为 $f(x)$ 在 $[0, a+b]$ 上连续
$f(0) = 0 - a\sin 0 - b = -b < 0$
$f(a + b) = a + b - a\sin(a + b) - b = a[1 - \sin(a + b)] \ge 0$
$\therefore f(0) \cdot f(a + b) \le 0$
故至少存在一点 $\xi \in (0, a + b]$，使 $f(\xi) = 0$，
从而方程 $x = a\sin x + b$ 至少有一个正根 $\xi$，且 $0 < \xi \le a + b$.
1. 函数在一点连续必须满足的三个条件；
2. 区间上的连续函数；
3. 连续函数的运算法则；
① 法则 1（连续函数的四则运算法则）；
② 法则 2（反函数的连续性）；
③ 法则 3（复合函数的连续性）；
4. 初等函数的连续性；
5. 间断点的分类与判别；
间断点 $\begin{cases} \text{第一类间断点：可去型，跳跃型.} \\ \text{第二类间断点：无穷型，振荡型.} \end{cases}$
6. 闭区间上连续函数的性质.