1. 函数的定义与定义域；2. 分段函数；
3. 函数的基本特性（奇偶性、单调性、周期性、有界性）；
4. 复合函数与初等函数。
1. 理解函数、区间、邻域等概念；
2. 了解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性；
3. 了解分段函数；4. 理解复合函数和初等函数的概念。
定义 设 $D$ 与 $B$ 是两个非空实数集，如果对于 $D$ 中每个数 $x$，按照某个对应法则 $f$，在 $B$ 中存在唯一的数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $D$ 到 $B$ 的函数，记为 $y = f(x)$，$D$ 称为函数的定义域。
函数的三要素：定义域、对应法则、值域。
两个函数相同 $\iff$ 定义域相同 且 对应法则相同。
⑴ 函数是从数集 $D$ 到数集 $B$ 的映射，也称单值函数。
⑵ 对每一个 $x \in D$，按法则 $f$ 有唯一的 $y$ 值与之对应，函数值全体称为值域 $W \subseteq B$。
⑶ $f$ 在 $x = x_0$ 处的函数值记为 $f(x_0)$ 或 $y|_{x=x_0}$。
⑷ 不同的对应法则表示不同的函数，如 $y = f(x)$、$y = g(x)$、$y = \varphi(x)$。
⑸ 函数有三种表示法：解析法、图象法、表格法。
在定义域内不同范围用不同解析式表示的函数称为分段函数。
例：某市出租车计费 $y$（元）与里程 $x$（公里）的关系：
注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数。
常见约束条件：
① 分母 $\ne 0$；② 偶次根号下 $\ge 0$；③ $\log_a x$ 中 $x > 0$；④ $\tan x$ 中 $x \ne k\pi + \dfrac{\pi}{2}$。
例 求 $y = \dfrac{1}{x-2} + \sqrt{x+1}$ 的定义域。
解 $\begin{cases} x - 2 \ne 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne 2 \\ x \ge -1 \end{cases}$，定义域为 $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$。
设 $y = f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，求下列函数的定义域：
(1) $f(\sin x)$
解 由 $0 \le \sin x \le 1$，得 $2k\pi \le x \le (2k+1)\pi,\; k \in \mathbb{Z}$。
(2) $f(x+a) + f(x-a)$（$a > 0$）
解 $\begin{cases} 0 \le x+a \le 1 \\ 0 \le x-a \le 1 \end{cases}$，当 $0 < a \le \dfrac{1}{2}$ 时定义域为 $[a, 1-a]$；$a > \dfrac{1}{2}$ 时无解。
三个矩形高分别为 3、2、1 米，底边 1 米，间距 1 米。直线 $l$ 从左向右移动，阴影面积 $S$ 表示为 $x$ 的函数：
将半径 $R$、圆心角 $\theta$ 的扇形铁片做成圆锥形容器，求容积 $V(\theta)$。
解 弧长 $l = \theta R = 2\pi r$，$\therefore r = \dfrac{\theta R}{2\pi}$，$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \dfrac{R\sqrt{4\pi^2 - \theta^2}}{2\pi}$
设 $y = f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，
$f(-x) = f(x)$ 恒成立 → 偶函数（图象关于 $y$ 轴对称）；
$f(-x) = -f(x)$ 恒成立 → 奇函数（图象关于原点对称）。
判断步骤：① 验证定义域关于原点对称；② 比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$。
例 判断 $f(x) = x^4 + \sin 2x$ 的奇偶性。
解 定义域 $(-\infty, +\infty)$ 关于原点对称。$f(-x) = x^4 - \sin 2x$，$f(-x) \ne f(x)$ 且 $\ne -f(x)$，故非奇非偶。
练习 判断奇偶性：(1) $f(x) = x^2 + 1$；(2) $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$；(3) $f(x) = \ln(1 + x^2)$
答 (1) 偶；(2) 奇；(3) 偶。
对区间 $I$ 内任意 $x_1 < x_2$：$f(x_1) < f(x_2)$ → 单调增加；$f(x_1) > f(x_2)$ → 单调减少。
注意 $y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别单调减少，不能说在整个定义域上单调减少。
若存在正数 $T$，使对任意 $x$ 有 $f(x + T) = f(x)$，则 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 为周期（通常指最小正周期）。
例 $y = \sin x$ 周期 $2\pi$；$y = \tan x$ 周期 $\pi$。
若存在正数 $M$，使对 $I$ 上任意 $x$ 有 $|f(x)| \le M$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。
反例 $y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上无界，但在 $[1,+\infty)$ 上有界（$|y| \le 1$）。
有界性与所讨论的区间有关！
① 幂函数 $y = x^\alpha$；② 指数函数 $y = a^x$（$a>0,a\ne 1$）；③ 对数函数 $y = \log_a x$
④ 三角函数 $y = \sin x,\;\cos x,\;\tan x,\;\cot x$
⑤ 反三角函数 $y = \arcsin x,\;\arccos x,\;\arctan x$
⑥ 常数函数 $y = C$
设 $y = f(u)$，$u = \varphi(x)$，且值域与定义域交集非空，则 $y = f[\varphi(x)]$ 为复合函数，$u$ 为中间变量。
例 $y = \sqrt{u},\;u = 1+x$ → $y = \sqrt{1+x}$ ✓
反例 $y = \lg u,\;u = -x^2$ → $u \le 0$ 不在 $\lg$ 定义域内 ✗
分解举例：
① $y = (\sin 5x)^3$：$y = u^3,\;u = \sin v,\;v = 5x$
② $y = \ln(1+\sqrt{1+x^2})$：$y = \ln u,\;u = 1+\sqrt{v},\;v = 1+x^2$
(1) $y = \tan^2\!\left(\dfrac{x}{4}\right)$
解 $y = u^2,\;u = \tan v,\;v = \dfrac{x}{4}$
(2) $y = \sin\sqrt{3 + 2x^4}$
解 $y = \sin u,\;u = \sqrt{v},\;v = 3 + 2x^4$
(3) $y = \arctan\sqrt[3]{x^2-1}$
解 $y = \arctan u,\;u = \sqrt[3]{v},\;v = x^2-1$
由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合，用一个解析式表示的函数。
是初等函数：$y = x^2 + \sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\cos x}}$，$y = 3xe^{\sqrt{1+x^2}} + 2$
分段函数一般不是初等函数（如 $f(x)=\begin{cases}x+3,&x\ge 0\\x^2,&x<0\end{cases}$），但 $y=|x|=\sqrt{x^2}$ 是初等函数。
1. 求定义域：$y = \ln(x-1) + \sqrt{4-x^2}$
解 $\begin{cases}x-1>0\\4-x^2\ge 0\end{cases}\Rightarrow 1
2. 判断奇偶性：$f(x)=x\cos x$
解 $f(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-f(x)$，奇函数。
3. 分解复合函数：$y=e^{\sin(2x+1)}$
解 $y=e^u,\;u=\sin v,\;v=2x+1$
一、函数的概念——定义域、对应法则、值域三要素；分段函数。
二、函数的四种基本特性
（1）奇偶性：定义域关于原点对称 + $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；
（2）单调性：在某区间上的递增/递减；
（3）周期性：$f(x+T)=f(x)$，最小正周期；
（4）有界性：$|f(x)|\le M$，与讨论区间有关。
三、初等函数——六类基本初等函数 → 复合函数（中间变量）→ 初等函数。