1. 自变量趋于无穷大时函数的极限；2. 自变量趋于有限值时函数的极限；3. 左极限与右极限；4. 函数极限的性质。
1. 理解函数极限的直观定义；2. 掌握左右极限及其与极限的关系；3. 了解函数极限的性质。
直观定义：当 $|x|$ 无限增大时，若 $f(x)$ 无限趋近于常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \to \infty$ 时的极限。
几何意义：直线 $y = A$ 是曲线 $y = f(x)$ 的水平渐近线。
例1 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0$
例2 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{2x+1}{x} = \lim_{x \to \infty}\left(2+\frac{1}{x}\right) = 2$
例3 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2-1}{x^2+x} = \lim_{x \to \infty}\frac{3-1/x^2}{1+1/x} = 3$
例4 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x} = 0$（$|\sin x| \le 1$ 有界，$1/x \to 0$）
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = A$：$x$ 取正值无限增大时 $f(x) \to A$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = A$：$x$ 取负值绝对值无限增大时 $f(x) \to A$
关系：$\lim_{x \to \infty}f(x) = A$ $\iff$ $\lim_{x \to +\infty}f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to -\infty}f(x) = A$
例5 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}e^{-x} = 0$，但 $\lim_{x \to -\infty}e^{-x} = +\infty$（发散），故 $\lim_{x \to \infty}e^{-x}$ 不存在。
例6 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$，$\lim_{x \to -\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$
直观定义：当 $x$ 无限趋近于 $x_0$（但 $x \ne x_0$）时，若 $f(x)$ 无限趋近于常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \to x_0$ 时的极限。
关键：极限看的是趋近过程，与 $f(x_0)$ 的值无关（$f(x_0)$ 甚至可以不存在）！
例7 $\displaystyle\lim_{x \to 1}(2x+3) = 5$（直接代入）
例8 $\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$
例9 $\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2$
例10 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ne 1 \\ 5, & x = 1 \end{cases}$，求 $\lim_{x \to 1}f(x)$
$x \ne 1$ 时 $f(x)=x^2$，故 $\lim_{x \to 1}f(x) = 1$（与 $f(1)=5$ 无关！）
例11 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
解 有理化：$= \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x \to 0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{2}$
例12 $\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x^2-5x+6} = \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3}\frac{x+3}{x-2} = 6$
例13 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$
$x > 0$：$|x|/x = 1$；$x < 0$：$|x|/x = -1$。左右趋近不同 → 极限不存在。
$x$ 从左侧趋近 $x_0$（$x < x_0$）→ 左极限 $f(x_0^-)$
$x$ 从右侧趋近 $x_0$（$x > x_0$）→ 右极限 $f(x_0^+)$
$\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = A$ $\iff$ $\lim_{x \to x_0^-}f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to x_0^+}f(x) = A$
即左极限 = 右极限 = $A$时极限才存在。
例14 $f(x) = \begin{cases} x-1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x+1, & x > 0 \end{cases}$
$f(0^-) = 0-1 = -1$，$f(0^+) = 0+1 = 1$。左 $\ne$ 右 → 极限不存在。
例15 $f(x) = e^{1/x}$，讨论 $\lim_{x \to 0}f(x)$。
$\lim_{x \to 0^+}e^{1/x} = e^{+\infty} = +\infty$（右极限不存在），故极限不存在。
例16 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ 2x-1, & x > 1 \end{cases}$，求 $\lim_{x \to 1}f(x)$。
$f(1^-) = 1^2 = 1$，$f(1^+) = 2(1)-1 = 1$。左 $=$ 右 $= 1$ → $\lim_{x \to 1}f(x) = 1$ ✓
何时必须分左右讨论？
① 分段函数在分段点处；
② 含 $|x|$ 的函数在 $x = 0$ 处；
③ 含 $e^{1/x}$ 的函数在 $x = 0$ 处；
④ 含 $\arctan(1/x)$ 的函数在 $x = 0$ 处。
性质1（唯一性） 若极限存在，则极限值唯一。
性质2（局部有界性） 若 $\lim_{x \to x_0}f(x) = A$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近有界。
性质3（保号性） 若 $\lim f(x) = A > 0$，则在 $x_0$ 附近 $f(x) > 0$。
这些性质与数列极限的性质完全类似（唯一、有界、保号）。
若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：
$\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
$\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$（$B \ne 0$）
例17 $\displaystyle\lim_{x \to 2}(x^2+3x) = 4+6 = 10$
例18 $\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x}{x+2} = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
1. $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+1}{2x^2-3}$
答 $\frac{1}{2}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
答 $6$
3. 讨论 $f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的极限。
答 $f(0^-)=0 \ne f(0^+)=1$，不存在。
4. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$
答 展开：分子 $= 6x + \text{高次项}$，$\therefore = 6$
一、$x \to \infty$——$f(x)$ 无限趋近 $A$（水平渐近线 $y=A$）。含 $x \to +\infty$、$x \to -\infty$。
二、$x \to x_0$——$x$ 趋近 $x_0$（$x \ne x_0$）时 $f(x) \to A$。极限与 $f(x_0)$ 无关！
三、左右极限——$\lim f = A$ $\iff$ 左极限 $=$ 右极限 $= A$。分段函数、$|x|$、$e^{1/x}$ 等必须分左右讨论。
四、性质——唯一性、局部有界性、保号性。
五、求极限方法——直接代入、约公因子、有理化、分左右。