1. 极限的运算法则；
2. 两个极限存在准则。
1. 熟练掌握极限的四则运算法则；
2. 了解两个极限存在准则（
下面仅给出 $x \to x_0$ 时的运算法则，对于 $x \to x_0^+$，$x \to x_0^-$，$x \to \infty$，$x \to +\infty$，$x \to -\infty$ 等情况的运算法则可类似。
定理 1 设 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，则有：
法则 1 $\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x)$
法则 2 $\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)$
特别地 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} Cf(x) = C\lim_{x \to x_0} f(x)$
$\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x)]^n = \left[\lim_{x \to x_0} f(x)\right]^n$
法则 3 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)}$，其中 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = B \ne 0$
指出：法则 1、2 都可推广到有限个具有极限的函数的情形.
回顾： $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$
1) 简单型 由运算法则直接求出结果：
例 1 求 $\displaystyle\lim_{x \to 2}(4x^3 - x^2 + 3)$.
解 $\displaystyle\lim_{x \to 2}(4x^3 - x^2 + 3) = \lim_{x \to 2} 4x^3 - \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 3$
$= 4(\lim_{x \to 2} x)^3 - (\lim_{x \to 2} x)^2 + 3 = 4 \times 2^3 - 2^2 + 3 = 31$
一般地，设 $n$ 次多项式为 $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$，
则 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} P_n(x) = a_n x_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + \cdots + a_1 x_0 + a_0$，
即 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} P_n(x) = P_n(x_0)$.
例 2 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 7}{x + 2} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to -1}(x^2 + 3x + 7)}{\displaystyle\lim_{x \to -1}(x + 2)} = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 7}{-1 + 2} = \frac{5}{1} = 5$
[注]： 一般地，求有理函数当 $x \to x_0$ 的极限时，若分母的极限不为零，则 = 代入有理函数直接求函数值，即为该函数的极限。
例 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{2x - 1}{x^2 - 3} = \frac{2 \times 2 - 1}{2^2 - 3} = 3$
例 3 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4$
[注] 对分子、分母极限均为 0 情形的有理式，先约去分子分母的公因子，再求极限，不能直接使用法则 3.
练习： 求 $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$.
解 $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} = \lim_{x \to 4}(x + 4) = 4 + 4 = 8$
例 4 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x + 1}{2x^2 - x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} = \frac{3}{2}$
例 5 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x + 5}{x^2 - 9} = \lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{x^2}}{1 - \dfrac{9}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$
[注] 对 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型的有理式函数的极限，由于分子分母极限为 $\infty$，不能用法则 3，先对分子、分母同除 $x$ 的最高次幂再求极限。
练习： 求 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 2x - 1}{x^2 + 3}$.
解 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 2x - 1}{x^2 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^3}} = \infty$
一般地，设 $a_0 \ne 0, b_0 \ne 0$，$m, n$ 为正整数，则
例 6 $\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}\right) = \lim_{x \to 1} \frac{1 + x + x^2 - 3}{1 - x^3}$
$= \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x+2)}{1+x+x^2} = -1$
[注] 对 $\infty - \infty$ 型的有理式函数求极限，先通分，后求极限.
练习： 求 $\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4}\right)$.
解 $\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4}\right) = \lim_{x \to 2} \frac{x+2-4}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{4}$
例 7 求 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x + 1}$. 因为 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{2x + 4} = 0$，
再利用无穷小与无穷大之间的关系，
可得：$\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x + 1} = \infty$
练习： 求 $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x + 4}{x^2 - 9}$.
解 $\because \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x + 4} = 0$，$\therefore \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x + 4}{x^2 - 9} = \infty$
(1)
都有不等式 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 成立，
且 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$，则 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$.
[注] 准则一对 $x \to \infty$ 等情形也成立。
利用两边夹法则可以证明：
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin x = 0$，$\quad \displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = 1$
(2)
定义 1 对于数列 $\{x_n\}$，如果存在正数 $M$，使得对于一切 $x_n$，都满足不等式 $|x_n| \le M$，则称数列 $\{x_n\}$ 是有界的；否则称数列 $\{x_n\}$ 是无界的.
定义 2 对于数列 $\{x_n\}$，如果满足不等式：
$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \le x_{n+1} \le \cdots$
则称数列 $\{x_n\}$ 为单调增加数列.
如果满足不等式：$x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n \ge x_{n+1} \ge \cdots$
则称数列 $\{x_n\}$ 为单调减少数列.
一、函数极限的四则运算
二、多项式商的极限
三、复合函数的极限