1. 数列的概念；2. 数列极限的直观定义；3. 收敛数列的性质。
1. 理解数列的概念；
2. 理解数列极限的直观意义，会判断简单数列的收敛与发散；
3. 理解收敛数列的有界性与唯一性。
观察：收敛数列的点越来越密集地靠近某条水平线；发散数列则不会。
"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣"
正六边形 → 正十二边形 → … → 正 $6 \times 2^n$ 边形面积 $A_n$
$A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n, \cdots \longrightarrow$ 圆面积 $S$
"一尺之棰，日截其半，万世不竭"
第 $n$ 天截下的总长：$X_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = 1 - \dfrac{1}{2^n}$
核心思想：变量在某个变化过程中无限趋近于一个确定的常数——这就是极限。
数列是定义在自然数集 $\mathbb{N}$ 上的函数 $x_n = f(n)$，按 $n$ 的顺序排列：
简记为 $\{x_n\}$，$x_n$ 称为通项（第 $n$ 项的公式）。
例
(1) $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$：$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots$ 通项 $x_n = \dfrac{1}{n}$
(2) $\left\{\dfrac{n+1}{n}\right\}$：$2, \dfrac{3}{2}, \dfrac{4}{3}, \cdots$ 通项 $x_n = 1 + \dfrac{1}{n}$
(3) $\{(-1)^n\}$：$-1, 1, -1, 1, \cdots$ 通项 $x_n = (-1)^n$
结论：有的数列 $x_n$ 无限接近某个常数（收敛），有的不会（发散）。
定义 如果当 $n$ 无限增大时，数列 $\{x_n\}$ 的一般项 $x_n$ 无限接近于确定常数 $A$，则称 $A$ 为数列 $\{x_n\}$ 的极限，记为
此时称 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$。若极限不存在则称 $\{x_n\}$ 发散。
"无限接近"的直观理解：$|x_n - A|$ 越来越小，想多小就能多小，只要 $n$ 取得足够大。
图形理解：在 $A$ 附近画一个无论多窄的"带子"（$A-\varepsilon$ 到 $A+\varepsilon$），从某一项开始，所有的点都落入带内。带外最多只有有限个点。
例1 $\left\{\dfrac{1}{3^n}\right\}$：$\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27}, \cdots \longrightarrow 0$，故 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{3^n} = 0$
例2 $\{2 + (-1)^n\}$：$1, 3, 1, 3, \cdots$ 交替取值，不趋向某个常数 → 发散
例3 $\{5\}$：$5, 5, 5, \cdots$ → $\displaystyle\lim_{n \to \infty} 5 = 5$（常数列的极限等于它本身）
例4 $\left\{\dfrac{2n-1}{3n+1}\right\}$：分子分母同除 $n$，$\dfrac{2 - 1/n}{3 + 1/n} \to \dfrac{2}{3}$
① $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$（$k > 0$）
② $\displaystyle\lim_{n \to \infty} q^n = 0$（$|q| < 1$）
③ 常数列 $\{C\}$ 的极限为 $C$
④ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_0 n^k + a_1 n^{k-1} + \cdots}{b_0 n^m + b_1 n^{m-1} + \cdots} = \begin{cases} \dfrac{a_0}{b_0} & k = m \\ 0 & k < m \\ \text{不存在} & k > m \end{cases}$
技巧：多项式之比求极限——分子分母同除最高次幂 $n^{\max(k,m)}$。
1. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n+1}{2n+1}$
解 分子分母同除 $n$：$\dfrac{3 + 1/n}{2 + 1/n} \to \dfrac{3}{2}$
2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n}{3n^2 - 1}$
解 同除 $n^2$：$\dfrac{1 + 2/n}{3 - 1/n^2} \to \dfrac{1}{3}$
3. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{2^n}{3^n}$
解 $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0$（$|q| = 2/3 < 1$）
定理1 收敛的数列必定有界。
即：若 $\lim x_n = A$，则存在 $M > 0$，使一切 $|x_n| \le M$。
注意：有界是收敛的必要条件（收敛→有界），但反过来不成立！
反例：$\{(-1)^n\}$ 有界（$|x_n| \le 1$），但发散。
定理2 收敛数列的极限唯一。
即：一个数列不可能同时收敛到两个不同的值。
应用：若能证明数列不可能收敛到任何一个值，则发散。
(1) $n \to \infty$：$n$ 取自然数无限增大
(2) $x \to +\infty$：$x$ 取正实数无限增大；$x \to -\infty$：$x$ 取负值绝对值无限增大
(3) $x \to x_0$：$x$ 从两侧无限趋近 $x_0$
(4) $x \to x_0^+$：$x$ 从右侧趋近 $x_0$；$x \to x_0^-$：从左侧趋近
邻域 $U(x_0, \delta) = (x_0 - \delta,\; x_0 + \delta)$——以 $x_0$ 为中心、$\delta$ 为半径的开区间。
去心邻域 $\mathring{U}(x_0, \delta)$——去掉中心点 $x_0$ 的邻域。
1. 判断下列数列是否收敛，若收敛求极限：
(1) $\left\{\dfrac{5n-1}{2n+3}\right\}$；(2) $\left\{(-1)^n \cdot \dfrac{1}{n}\right\}$；(3) $\{1 + (-1)^n\}$
答 (1) 收敛，$\dfrac{5}{2}$；(2) 收敛，$0$；(3) 发散（交替取 0 和 2）。
2. 设 $\{x_n\}$ 有界，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n = 0$，证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$。
提示 $|x_n y_n| = |x_n| \cdot |y_n| \le M \cdot |y_n| \to 0$。
一、数列的概念——定义在 $\mathbb{N}$ 上的函数，通项 $x_n$ 是关键。
二、数列极限
$n \to \infty$ 时 $x_n$ 无限接近常数 $A$，则 $\lim x_n = A$（收敛）；否则发散。
三、求极限常用方法
① 多项式之比：分子分母同除最高次幂；② $|q|<1$ 时 $q^n \to 0$。
四、收敛数列的性质
① 有界性（必要非充分）；② 唯一性。