1. 两个重要极限；
2. 无穷小的比较。
1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；
2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。
证： 对于 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$，如图所示，作单位圆
则圆心角 $\angle AOB = x$，$BC = \sin x$，$AD = \tan x$
$\widehat{AB} = x$，显然有 $S_{\triangle AOB} < S_{\text{扇形}AOB} < S_{\triangle AOD}$
即 $\sin x < x < \tan x$
分别除以 $\sin x$ 有 $1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x}$
再取倒数，得 $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$ ……(1)
对于 $-\dfrac{\pi}{2} < x < 0$ 的情形，由于用 $-x$ 代替 $x$ 时 $\cos x$ 和 $\dfrac{\sin x}{x}$ 都不变号（偶函数），所以当 $-\dfrac{\pi}{2} < x < 0$ 时，
不等式 (1) 仍成立，从而当 $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，
恒有不等式 $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$ 成立。
由于 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = 1$，且 $\lim 1 = 1$，由
可知，$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. 证毕
注意： $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$
例 1 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}} = 1$
例 2 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3\lim_{3x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3$
例 3 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1$
例 4 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$（$a, b \ne 0$）
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{\sin ax}{ax}}{\dfrac{\sin bx}{bx}} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\displaystyle\lim_{ax \to 0} \dfrac{\sin ax}{ax}}{\displaystyle\lim_{bx \to 0} \dfrac{\sin bx}{bx}} = \frac{a}{b}$
例 5 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \cdot \sin\frac{\pi}{n}$
解 当 $n \to \infty$ 时，有 $\dfrac{\pi}{n} \to 0$，因此
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \cdot \sin\frac{\pi}{n} = \lim_{\frac{\pi}{n} \to 0} \pi \cdot \frac{\sin\dfrac{\pi}{n}}{\dfrac{\pi}{n}} = \pi \cdot 1 = \pi$
例 6 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\dfrac{1}{2}x^2}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\dfrac{1}{2}x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\dfrac{x}{2}}{\dfrac{1}{2}x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{\dfrac{1}{4}x^2} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\right)^2 = 1^2 = 1$
练习：
1. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x^2 - 1)}{x - 1}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x^2 - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1}(x+1) \cdot \frac{\sin(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 2$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$
解 令 $\arcsin x = t \Rightarrow x = \sin t$，$x \to 0$ 则 $t \to 0$.
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\cot x$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\cot x = \lim_{x \to 0} \frac{x\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1$
4. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{1}{x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{1}{x} = \lim_{\frac{1}{x} \to 0} \frac{\sin\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} = 1$
证明略（可用两个准则证明）。
使用条件：(1) $1^\infty$ 型 (2) $(1 + \cdots)$ 型 (3) 倒数关系
注意： $\displaystyle\lim_{x \to \infty}(1 + x)^{\frac{1}{x}} \ne e$，$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \ne e$
例 1 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$
解 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty}\left[\left(1 + \frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right]^3 = e^3$
例 2 求 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{4x+3}$
解法一 令 $-x = t$，则当 $x \to \infty$ 时 有 $t \to \infty$，所以
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{4x+3} = \lim_{t \to \infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{4(-t)+3}$
$= \displaystyle\lim_{t \to \infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-4t} \cdot \left(1 + \frac{1}{t}\right)^3 = 1^3 \cdot e^{-4} = e^{-4}$
例 3 $\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}$
解 令 $\dfrac{1}{x} = t$，当 $x \to 0$ 时，有 $t \to \infty$，所以
$\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$
练习：
1. 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + \tan x)^{5\cot x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + \tan x)^{5\cot x} = \lim_{\tan x \to 0}[(1 + \tan x)^{\frac{1}{\tan x}}]^5 = e^5$
2. 求 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{2}{x}\right)^x$
解 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty}\left[\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right]^{-2} = e^{-2}$
3. 求 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x$
解 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-x} = \lim_{x \to \infty}\left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^{-1} = e^{-1}$
由无穷小的性质可知，两个无穷小的和、差、积仍为无穷小，但两个无穷小的商会出现不同的情况。
如当 $x \to 0$ 时，函数 $2x$，$x^2$，$\sin x$ 都是无穷小。
但是
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$
(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x^2} = \infty$
(3) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2}$
事实上 $x^2 \to 0$ 比 $2x \to 0$ "快些"，反之 $2x \to 0$ 比 $x^2 \to 0$ "慢些"，而 $\sin x \to 0$ 与 $2x \to 0$ 的"快""慢"差不多。
定义 设 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，$\displaystyle\lim_{x \to x_0} \beta(x) = 0$
(1) 如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 0$，则称 $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小，记为 $\beta(x) = o(\alpha(x))$
(2) 如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \infty$，则称 $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 低阶的无穷小。
(3) 如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = C \;(\ne 0, 1)$，则称 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 是同阶无穷小。
(4) 如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$，则称 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 为等价无穷小，记为 $\beta(x) \sim \alpha(x)$
例如 $\because \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{3x} = 0$，$\therefore x^3 = o(3x) \; (x \to 0)$
$\because \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，$\therefore \sin x \sim x \; (x \to 0)$
$\because \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$
$\therefore x - 1$ 与 $x^2 - 1$ 同阶无穷小（$x \to 1$）
$\because \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$，$\therefore x = o(2) \; (x \to 0)$
可以证明：当 $x \to 0$ 时，有下列等价无穷小：
利用等价无穷小可以简化某些极限的运算，有下面定理：
定理 设当 $x \to x_0$ 时，$\alpha(x) \sim \alpha'(x)$，$\beta(x) \sim \beta'(x)$，
且 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta'(x)}{\alpha'(x)}$ 存在（或 $\infty$），则 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\beta'(x)}{\alpha'(x)}$
证明 因 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\beta'(x)} \cdot \frac{\beta'(x)}{\alpha'(x)} \cdot \frac{\alpha'(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\beta'(x)}{\alpha'(x)}$（证毕）
当 $x \to 0$ 时，$\sin 3x \sim 3x$，$\tan 2x \sim 2x$.
例 1 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$
$\because x \to \pi$ 时 $\sin x$ 是无穷小，而 $x$ 不是无穷小.
正确的解法如下. $\displaystyle\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{x \to \pi} \frac{\sin(\pi - x)}{\pi - x} = 1$
例 2 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
解 $\because$ 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$.
$\therefore \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^3} = 0$
这种解法是错误的！ 正确的解法如下.
解 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^3} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}(1 - \cos x)}{1}$
$= \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^3\cos x} \cdot (1 - \cos x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} \cdot \frac{2}{2\cos x} = \frac{1}{2}$
注意： 用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用等价无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或分母的因子，而对分子或分母中"+"，"-"号连接的部分不能分别作替换。
重要极限一： $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \Rightarrow \lim_{\varphi(x) \to 0} \frac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)} = 1$（$\dfrac{0}{0}$ 型）
重要极限二：
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \Rightarrow \lim_{\varphi(x) \to \infty}\left[1 + \frac{1}{\varphi(x)}\right]^{\varphi(x)} = e$（$1^\infty$ 型）
$\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \Rightarrow \lim_{\varphi(x) \to 0}[1 + \varphi(x)]^{\frac{1}{\varphi(x)}} = e$（$(1+\cdots)$ 型，倒数关系）