1. 无穷小量的定义与性质；2. 无穷大量的定义；3. 无穷小与无穷大的关系。
1. 理解无穷小和无穷大的概念；2. 掌握无穷小的运算性质；3. 掌握无穷小与无穷大的关系。
定义 若 $\lim f(x) = 0$（$x \to x_0$ 或 $x \to \infty$），则称 $f(x)$ 为无穷小量（简称无穷小）。
例1 $\lim_{x \to 0}x^2 = 0$，故 $x^2$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小。
例2 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x} = 0$，故 $\dfrac{1}{x}$ 是 $x \to \infty$ 时的无穷小。
例3 $\lim_{x \to 0}(1-\cos x) = 0$，故 $1-\cos x$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小。
注意：① 无穷小是变量（趋0的过程），不是"很小的数"。② $0$ 是唯一可作无穷小的常数。③ 必须指明在什么过程下。
定理 $\lim f(x) = A$ $\iff$ $f(x) = A + \alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小。
意义：函数极限 = 极限值 + 无穷小误差。
例 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ $\iff$ $\dfrac{\sin x}{x} = 1 + \alpha$，$\alpha \to 0$
应用：求极限 $\lim f(x)$ 就是把 $f(x)$ 分解为"常数 + 无穷小"的形式。
性质1 有限个无穷小之和仍是无穷小。
性质2 有限个无穷小之积仍是无穷小。
性质3 有界量与无穷小之积仍是无穷小。
例4 $\lim_{x \to 0}x\sin\dfrac{1}{x}$：$|\sin(1/x)| \le 1$（有界），$x \to 0$（无穷小）→ 积为无穷小 → $= 0$
例5 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\cos x}{x} = 0$（有界 $\times$ 无穷小）
例6 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot x = 0$
$\sin x / x \to 1$（有界量），$x \to 0$（无穷小），有界×无穷小 = 无穷小。
例7 $\lim_{x \to 0}x^2\sin\dfrac{1}{x^2}$
$|\sin(1/x^2)| \le 1$（有界），$x^2 \to 0$（无穷小），$= 0$。
注意：无穷个无穷小之和不一定是无穷小！
反例：$\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} + \cdots + \dfrac{1}{n}$（$n$ 个）$= 1$（不是无穷小）
定义 若 $|f(x)|$ 无限增大（$x \to x_0$ 或 $x \to \infty$），则称 $f(x)$ 为无穷大量，记 $\lim f(x) = \infty$。
例8 $\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} = +\infty$
例9 $\lim_{x \to \infty}x^2 = +\infty$
例10 $\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x} = \infty$（$x \to 0^+$ 时 $\to +\infty$，$x \to 0^-$ 时 $\to -\infty$）
$\lim f(x) = \infty$ 实际是极限不存在的一种特殊情形（发散到无穷）。
$\lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$ → 直线 $x = x_0$ 是铅直渐近线。
例11 $y = \tan x$ 在 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 处：$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\tan x = \infty$，$x = \dfrac{\pi}{2}$ 是铅直渐近线。
定理 在同一极限过程中：
若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷小；
若 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \ne 0$，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷大。
例 $x \to \infty$ 时，$\dfrac{1}{x}$（无穷小）$\leftrightarrow$ $x$（无穷大），互为倒数。
1. 指出下列各极限过程中的无穷小：$\lim_{x \to 1}(x^2-1)$
答 $x^2-1 \to 0$，$x^2-1$ 是 $x \to 1$ 时的无穷小。
2. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$
答 $= 3\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$
3. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ 中，$\dfrac{1}{x}$ 是什么？
答 $\dfrac{1}{x}$ 是 $x \to \infty$ 时的无穷小（$\to 0$）。
4. $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{\ln x}$
答 $\ln x \to -\infty$（无穷大），$\dfrac{1}{\ln x} \to 0$（无穷小），$= 0$。
一、无穷小——极限为0的变量（不是"很小的数"）。
二、无穷小与极限——$\lim f(x) = A$ $\iff$ $f(x) = A + \alpha$（$\alpha$ 为无穷小）。
三、无穷小的性质——有限和/积仍无穷小；有界×无穷小=无穷小（最常用！）。
四、无穷大——$|f(x)|$ 无限增大的变量（铅直渐近线）。极限不存在的特例。
五、关系——无穷小与无穷大互为倒数。