1. 罗尔定理；2. 拉格朗日中值定理；3. 柯西中值定理。
1. 深刻理解罗尔定理和拉格朗日中值定理；
2. 会用中值定理证明等式或不等式；
3. 了解柯西中值定理。
罗尔定理 若函数 $f(x)$ 满足：（1）在 $[a,b]$ 上连续；（2）在 $(a,b)$ 内可导；（3）$f(a) = f(b)$，
则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。
几何意义：两端点等高的光滑曲线，中间至少有一点切线水平。
三个条件缺一不可！不连续或端值不等时，结论可能不成立。
例1 $f(x) = x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$，$[a,b]=[-1,3]$
$f(-1)=f(3)=0$，$f'(x)=2x-2=0 \Rightarrow \xi=1 \in (-1,3)$。验证成功。
例2 证明曲线 $f(x) = (x-1)\sqrt{x}$ 在 $(0,1)$ 内有水平切线。
证 $f(0)=0, f(1)=0$，$f$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导。
$f'(x) = \dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow \xi = \dfrac{1}{3} \in (0,1)$。
例3 证明方程 $f'(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个根，其中 $f(x) = x(x-1)(x-2)$。
证 $f(0)=f(1)=0$，由罗尔定理 $\exists \xi_1 \in (0,1)$，$f'(\xi_1)=0$。
拉格朗日中值定理 若 $f(x)$ 满足：（1）在 $[a,b]$ 连续；（2）在 $(a,b)$ 可导，
则至少存在 $\xi \in (a,b)$，使得
几何意义：曲线弧上至少有一点，该点切线平行于弦 $AB$。
罗尔定理是特例：$f(a)=f(b)$ 时弦为水平线，切线也水平（$f'(\xi)=0$）。
例4 验证 $f(x)=\cos x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上满足拉格朗日中值定理。
解 $\dfrac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{\frac{\pi}{2}-0} = \dfrac{0-1}{\frac{\pi}{2}} = -\dfrac{2}{\pi}$
$f'(\xi) = -\sin\xi = -\dfrac{2}{\pi}$，$\xi = \arcsin\dfrac{2}{\pi} \approx 0.69 \in (0, \frac{\pi}{2})$ ✓
例5 证明：$|f(b)-f(a)| \le M|b-a|$，若 $|f'(x)| \le M$ 在 $(a,b)$ 内。
证 由拉格朗日定理：$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$，取绝对值即得。
推论1 若 $f'(x) \equiv 0$（$(a,b)$ 内），则 $f(x) \equiv C$（常数）。
推论2 若 $f'(x) = g'(x)$（$(a,b)$ 内），则 $f(x) = g(x) + C$。
例6 用拉格朗日定理证明：当 $x > 0$ 时，$\dfrac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$。
证 $f(t)=\ln(1+t)$ 在 $[0,x]$ 上用拉格朗日定理：
$\ln(1+x) = f'(\xi) \cdot x = \dfrac{x}{1+\xi}$，其中 $0 < \xi < x$
$\therefore \dfrac{1}{1+x} < \dfrac{1}{1+\xi} < 1$，即 $\dfrac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$
令 $a=x$，$b=x+\Delta x$，则：
即 $\Delta y = f'(x+\theta\Delta x)\cdot\Delta x$（精确的增量公式）。
对比微分的近似公式：$\Delta y \approx f'(x)\Delta x$（近似），
拉格朗日公式给出了精确的等式，只是 $\xi = x+\theta\Delta x$ 的具体值未知。
柯西中值定理 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：（1）$[a,b]$ 连续；（2）$(a,b)$ 可导；（3）$g'(x) \ne 0$，
则 $\exists \xi \in (a,b)$，使得
取 $g(x)=x$，即得拉格朗日中值定理（柯西是推广）。
柯西中值定理是洛必塔法则的理论基础。
1. 不用求导验证 $f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上是否满足罗尔定理条件？
答 $f(-1)=f(1)=1$，但 $f'(0)$ 不存在（不可导），不满足条件(2)。
2. 用拉格朗日定理证明 $e^x \ge 1+x$（$x \ge 0$）。
提示 $f(t)=e^t$ 在 $[0,x]$：$e^x-1 = e^\xi \cdot x \ge x$（$\xi > 0$，$e^\xi > 1$）
3. 证明 $3x^2+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
提示 令 $F(x)=x^3+\frac{x^2}{2}-x$，$F(0)=0, F(1)=\frac{1}{2}$，用介值定理+罗尔定理。
罗尔定理：$f(a)=f(b)$ → $\exists\xi$，$f'(\xi)=0$
拉格朗日定理：（去掉$f(a)=f(b)$条件）→ $f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$
柯西定理：（推广到两函数之比）→ $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
关系：Rolle $\xrightarrow{f(a)=f(b)}$ Lagrange $\xrightarrow{g(x)=x}$ Cauchy