1. 函数极大值和极小值的求法；2. 函数最大值和最小值的求法。
教学要求：掌握求极值和最值的方法，会解决简单的应用问题。
定义 若 $\exists \delta > 0$，对 $|x-x_0|<\delta$ 内一切 $x$ 有 $f(x) \le f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为 极大值。类似定义极小值。
极值是局部概念，极大值不一定是最大值！
定理1（必要条件） 若 $f(x_0)$ 为极值且 $f'(x_0)$ 存在，则 $f'(x_0) = 0$。
使 $f'(x) = 0$ 的点称为驻点。极值可疑点 = 驻点 + 导数不存在的点。
注意：$f'(x_0)=0$ 不一定是极值点！如 $y=x^3$，$y'(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值。
定理2 设 $f'(x_0)=0$（或不存在），在 $x_0$ 去心邻域可导：
(1) 左 $+$ 右 $-$ → 极大值（先增后减）
(2) 左 $-$ 右 $+$ → 极小值（先减后增）
(3) 两侧同号 → 不是极值
求极值步骤：① 求 $f'(x)$；② 找极值可疑点；③ 列表判断 $f'$ 变号。
例1 求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的极值。
$f'(x) = 3x^2-6x-9 = 3(x+1)(x-3) = 0 \Rightarrow x=-1, x=3$
列表：$x<-1$：$f'>0$↗；$-1
极大值 $f(-1)=10$，极小值 $f(3)=-22$
定理3 若 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0) \ne 0$，则：
$f''(x_0) > 0$ → 极小值；$f''(x_0) < 0$ → 极大值。
例2 求 $f(x) = x-\cos x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的极值。
$f'(x) = 1+\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}$
$f''(x) = \cos x$，$f''(\frac{3\pi}{2}) = 0$（二阶判别失效，用一阶：$f'$ 两侧均 $\ge 0$，非极值！）
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 → 必有最大最小值。
求法：① 求所有极值可疑点的函数值；② 求端点值 $f(a), f(b)$；③ 比较取最大最小。
例3 $f(x) = x^3 - 3x + 1$，$[-3, 0]$
$f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1$，在 $[-3,0]$ 内只有 $x=-1$
$f(-3)=-17$，$f(-1)=3$，$f(0)=1$
最大值 $f(-1)=3$，最小值 $f(-3)=-17$
例4 用长 $l$ 的铁丝围成一个矩形，问长宽各为多少时面积最大？
设宽 $x$，长 $\frac{l}{2}-x$，面积 $S = x(\frac{l}{2}-x) = \frac{l}{2}x-x^2$
$S' = \frac{l}{2}-2x = 0 \Rightarrow x = \frac{l}{4}$，此时长=宽=$\frac{l}{4}$（正方形！）
$S''=-2<0$，确实是极大值。$S_{\max}=\frac{l^2}{16}$
例5 将面积为 $a^2$ 的正方形铁片做成无盖方盒，问截去角多大时容积最大？
设截去正方形边长 $x$，$V = x(a-2x)^2$
$V' = (a-2x)(a-6x) = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{6}$，$V_{\max} = \frac{2a^3}{27}$
例6 要做一个容积为 $V$ 的圆柱形罐头，底和侧面用料的单价不同，底 $2k$，侧 $k$，求最省材料的底半径。
设底半径 $r$，高 $h = \frac{V}{\pi r^2}$
总成本 $C = 2 \times 2k\pi r^2 + k \times 2\pi rh = 4k\pi r^2 + \frac{2kV}{r}$
$C' = 8k\pi r - \frac{2kV}{r^2} = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{4\pi}}$
1. 求 $f(x) = 3x-x^3$ 的极值。
答 极大 $f(1)=2$，极小 $f(-1)=-2$
2. $f(x) = x^4-2x^2+5$ 在 $[-2, 2]$ 上的最值。
答 $f'=4x^3-4x=0$→$x=0,\pm1$。$f(-2)=f(2)=13$，$f(0)=5$，$f(\pm1)=4$。最大13，最小4。
3. 将36cm长的铁丝截成两段，分别围成正方形和圆，使面积之和最小。
答 正方形边长 $\frac{36}{4+\pi}$cm
一、极值——驻点+不可导点为可疑点；一阶或二阶条件判断。
二、最值——比较可疑点与端点处的函数值。
三、应用题——建模（确定目标函数和约束）→ 求驻点 → 判断最值。