1. $\dfrac{0}{0}$ 型未定式的洛必塔法则；2. $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型；3. 其他未定式的转化。
教学要求：熟练掌握洛必塔法则求各类未定式的极限。
两个无穷小之比 $\dfrac{0}{0}$，两个无穷大之比 $\dfrac{\infty}{\infty}$，结果不确定，称为未定式。
除此之外：$0 \cdot \infty$，$\infty - \infty$，$1^\infty$，$0^0$，$\infty^0$ 也是未定式。
定理（$\frac{0}{0}$ 型） 若 $\lim f(x) = 0$，$\lim g(x) = 0$，且 $g'(x) \ne 0$，$\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或 $\infty$），则
对 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型同样成立。
口诀：上下同时求导（不是商的求导法则！），可反复使用。
例1 $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x}{1} = -1$
例2 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$
例3 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2}$
例4 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$（分部两次）$= \lim \frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}$
例5 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$
例6 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim \frac{2x}{e^x} = \lim \frac{2}{e^x} = 0$
结论：$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$（指数增长"打败"任何多项式）
例7 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-1}} = \lim \frac{1/x}{-x^{-2}} = \lim (-x) = 0$
例8 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^2\sin x}$
解 先用等价无穷小：$x^2\sin x \sim x^3$（$x \to 0$）
$= \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \lim \frac{\tan^2 x}{3x^2} = \frac{1}{3}$
例9 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3} = \lim \frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2} = \lim \frac{x^2}{3x^2(1+x^2)} = \frac{1}{3}$
例10 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x$（$0 \cdot (-\infty)$）
解 $= \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$（$\frac{-\infty}{\infty}$型）$= \lim \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim (-x) = 0$
例11 $\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{\ln x}\right) = \lim \frac{\ln x - x + 1}{(x-1)\ln x}$（$\frac{0}{0}$）$= \lim \frac{1/x-1}{\ln x + 1 - 1/x}$...
方法：$y = f(x)^{g(x)}$，取 $\ln y = g(x)\ln f(x)$（转化为 $0 \cdot \infty$）
例12 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x$（$0^0$ 型）
解 $\ln y = x\ln x \to 0$（例10已求），$\therefore y \to e^0 = 1$
例13 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$（$1^\infty$ 型）
解 $\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) = \dfrac{\ln(1+1/x)}{1/x}$（$\frac{0}{0}$）$\to \dfrac{-1/x^2 \cdot 1/(1+1/x)}{-1/x^2} = 1$
$\therefore y \to e^1 = e$
① 每次用法则前必须检查是否为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型；
② 如果 $\lim\frac{f'}{g'}$ 不存在（且不是 $\infty$），法则失效，需换方法；
③ 有公因子或非零极限因子时，先提出来再用法则，更简便；
④ 其他未定式（$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$等）必须先转化。
反例 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x+\sin x}{x}$：用法则得 $\lim\frac{1+\cos x}{1}$ 不存在！
但原极限 $= \lim\left(1+\frac{\sin x}{x}\right) = 1$。先化简再用法则！
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$
答 $= \lim\frac{1/(1+x)}{1} = 1$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}$
答 $= \lim\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x} = 2$
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^{\sin x}$
答 $\ln y = \sin x \cdot \ln x$，$= \lim\frac{\ln x}{\csc x} = \lim\frac{1/x}{-\csc x\cot x} = \lim\frac{-\sin^2 x}{x\cos x} = 0$，$y \to 1$
4. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^p}$（$p > 0$）
答 $= \lim\frac{1/x}{px^{p-1}} = \lim\frac{1}{px^p} = 0$（对数增长比任何正幂慢）
一、洛必塔法则 $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$（$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）
二、未定式类型
$\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ → 直接用法则
$0 \cdot \infty$ → 化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$ → 通分后化为 $\frac{0}{0}$
$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ → 取对数化为 $0 \cdot \infty$
三、注意 每次必须验证类型；先化简再用法则；法则失效时换方法。