1. 函数的凹凸性及判别，拐点；2. 曲线的渐近线；3. 函数图形的描绘。
教学要求：掌握凹凸性判别和拐点求法；能利用导数描绘函数图形。
定义 曲线弧位于切线上方 → 凹（下凸，$f'' > 0$）；
曲线弧位于切线下方 → 凸（上凸，$f'' < 0$）。
定理 $f''(x)>0$ → 凹；$f''(x)<0$ → 凸。
例1 判断 $y = \ln x$ 的凹凸性。
$y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$（$x> 0$），故 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是凸的。
例2 判断 $y = e^x$ 的凹凸性。
$y'' = e^x > 0$，故 $y = e^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是凹的。
例3 $y = x^3$：$y'' = 6x$，$x<0$ 时凸，$x>0$ 时凹。$x=0$ 是凹凸分界。
定义 连续曲线上凹凸的分界点称为拐点。
求拐点步骤：① 求 $f''(x)$；② 找 $f''(x)=0$ 或不存在的点；③ 检验两侧 $f''$ 变号。
例4 求 $y = x^3-x$ 的拐点和凹凸区间。
$y'' = 6x = 0 \Rightarrow x=0$
$x<0$：$y''<0$（凸）；$x>0$：$y''>0$（凹）。拐点 $(0,0)$。
水平渐近线：$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c$ → $y = c$
铅直渐近线：$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ → $x = x_0$
例5 $y = \dfrac{1}{x-1}$：$x=1$ 铅直渐近线，$y=0$ 水平渐近线。
例6 $y = e^{-x}$：$y=0$ 水平渐近线（$x \to +\infty$），无铅直渐近线。
步骤：
① 确定定义域，检查对称性；
② 求 $f'(x)$，$f''(x)$；
③ 求驻点、极值、拐点；
④ 确定增减、凹凸区间；
⑤ 求渐近线；
⑥ 列表描点，连成光滑曲线。
例7 描绘 $y = x^3 - 3x$ 的图形。
$y' = 3x^2-3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$；$y'' = 6x = 0 \Rightarrow x = 0$
极大 $(-1, 2)$，极小 $(1, -2)$，拐点 $(0, 0)$。奇函数，关于原点对称。
例8 描绘 $y = xe^{-x}$。
$y' = (1-x)e^{-x} = 0 \Rightarrow x = 1$（极大值 $\frac{1}{e}$）
$y'' = (x-2)e^{-x} = 0 \Rightarrow x = 2$（拐点）
$x \to +\infty$：$y \to 0$（水平渐近线 $y=0$）；$x \to -\infty$：$y \to -\infty$
1. 求 $y = x^4 - 6x^2 + 1$ 的极值、拐点和凹凸区间。
答 极大 $(0,1)$，极小 $(\pm\sqrt{3},-8)$，拐点 $x = \pm 1$
2. 求 $y = \dfrac{x}{1+x^2}$ 的渐近线和图形特征。
答 水平渐近线 $y=0$；奇函数；极大 $(1,\frac{1}{2})$，极小 $(-1,-\frac{1}{2})$
一、凹凸性 $f''>0$ 凹，$f''<0$ 凸。
二、拐点 $f''=0$ 且两侧变号。
三、渐近线 水平（$x \to \pm\infty$）、铅直（$f \to \infty$）。
四、作图步骤 定义域→$f', f''$→极值/拐点→增减/凹凸→渐近线→描点连线。